Catene di Markov a tempo continuo. Richiami teorici

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1 Catene di Marov a tempo continuo Richiami teorici Pagina di 55 Data ultima revisione 2/5/

2 Definizione di catena di Marov a Una catena di Marov a è definita come: M(X, P(t)) t R + dove gli stati x,..., x n X sono variabili casuali tali che, dato un intervallo t sufficientemente piccolo, valga l assenza di memoria della catena, cioè sia verificata la seguente relazione: Pr{x(t+ t) x i x(τ) x τ, τ R +, τ t} Pr{x(t+ t) x i x(t) x t } Pagina 2 di 55 Data ultima revisione 2/5/

3 Equazione descrittiva di una catena di Marov a ove ( t) P( t, t con p T [ i ( t) ], con i ( t) Pr{ x( t ) x i } i,...,n ) [ pij ( t, t) ], i, j,..., N ( t, t) P x( t + t ) x / x( t) x ij { } è la matrice delle probabilità di transizione. i j Pagina di 55 Data ultima revisione 2/5/

4 Equazione descrittiva di una catena di Marov a (continua) Definita la matrice delle frequenze di transizione Q( t) lim, t t [ P( t t) I] si ottiene la seguente descrizione completa della catena nel continuo: &( t) Q( t) ( t). Pagina 4 di 55 Data ultima revisione 2/5/

5 Proprietà di Q(t) q ii (t) q ij (t), i j n i q ij t ( ) La matrice Q(t) ha sempre un autovalore nullo. Pagina 5 di 55 Data ultima revisione 2/5/

6 Catene di Marov omogenee a Se Q(t)Q (costante), la catena di Marov è detta omogenea ed è descritta da: ovvero da: &( t) Q Dato un generico istante iniziale, si ha quindi: ( t) Q t + ( t + t) e ( t ) t, t R Q( tt ) ( ) ( ) + t e t t, t R, t t Pagina 6 di 55 Data ultima revisione 2/5/

7 Catene di Marov omogenee ergodiche Una catena di Marov omogenea a è ergodica se e solo se tutti gli autovalori di Q (eccetto quello nullo) hanno parte reale strettamente negativa. In tal caso Q e i n i. Pagina 7 di 55 Data ultima revisione 2/5/

8 Grafo delle frequenze di transizione Data una catena di Marov a M(x,Q(t)), si definisce grafo delle frequenze di transizione un grafo orientato pesato in cui l insieme dei nodi N coincide con quello degli stati x e in cui ogni arco a ij, diretto da x j a x i, ha peso q ij. Pagina 8 di 55 Data ultima revisione 2/5/

9 Processo di nascita-morte a tempo continuo Un processo di nascita-morte a è una ca-tena di Marov omogenea in cui le transizioni avvengono solamente fra stati contigui. Le frequenze di servizio sono definite come: q i +, i i >, i,2,,... q i, i i >, i 2,,4,... Pagina 9 di 55 Data ultima revisione 2/5/

10 Processo di nascita-morte a (Esempio) -(l2+m2) m2 m x x2 x -l l l 2 -m N.B.: la somma dei pesi degli archi uscenti da un nodo deve essere nulla. Pagina di 55 Data ultima revisione 2/5/

11 Processo di nascita-morte a (continua) Condizione sufficiente di ergodicità per un processo di nascita-morte a è che esista Ν tale che: j j + <, j R, j In tal caso, le probabilità di equilibrio sono date da: i j j+, i i i i j j + + i 2 j j + i 2 + j j j + 2,,4,... Pagina di 55 Data ultima revisione 2/5/

12 Processo di nascita-morte a (continua) Se i e i, si definisce il fattore di utilizzo: ρ/. Il denominatore di e i di equilibrio converge al valore /(-ρ) sotto la condizione ρ <, cioè /<. Il valore atteso delle probabilità di equilibrio sarà quindi: ( ) i ρ i ρ ρ i 2,,4,... Pagina 2 di 55 Data ultima revisione 2/5/

13 Processo di sola nascita a (m i, i2,,4,...) Se i, i,2,,..., e per t il sistema si trova in x n ( n (), i (), i n), allora: n ( t) n+ h ( t) e t ( t) h! h t e t R + h Distribuzione di Poisson N.B.: il processo di sola nascita non è ergodico. Pagina di 55 Data ultima revisione 2/5/

14 ( t) nh ( t) Processo di sola morte a tempo continuo (l i, i,2,,...) Se i, i2,,4,..., e per t il sistema si trova in x n ( n (), i (), i n), allora: n ( t) e t ( t) h! n2 h h t e t R + h [,..., n 2] h ( t ) t + h! e t R Pagina 4 di 55 Data ultima revisione 2/5/

15 Esercizi risolti Pagina 5 di 55 Data ultima revisione 2/5/

16 Es Sia X t un processo di nascita-morte nel quale n per n,, 2,... n n per n, 2,,... Calcolare il vettore delle probabilità di equilibrio. Pagina 6 di 55 Data ultima revisione 2/5/

17 Es soluzione + j j j ! e Pagina 7 di 55 Data ultima revisione 2/5/

18 Es soluzione Dalla convergenza di tale serie si ottiene n e n j j j+ n! e e Pagina 8 di 55 Data ultima revisione 2/5/

19 Es Sia X r un processo di nascita-morte nel quale n (n+) n,,2,...; > n n n,2,...; > Calcolare il vettore delle probabilità di equilibrio. Ricordiamo il valore di. + i i+ i Pagina 9 di 55 Data ultima revisione 2/5/

20 Es soluzione Nel nostro caso la sommatoria si riduce a... [ (... ) ] [ (... ) ]... Tale serie è una di quelle note e si sa che essa converge se e solo se < Pagina 2 di 55 Data ultima revisione 2/5/

21 Pagina 2 di 55 Data ultima revisione 2/5/ Es soluzione (cont.) ossia il tasso di mortalità deve essere maggiore di quello di natalità. ( ) 2 + ( ) + + n n n n j j j n

22 Es Si consideri l arrivo di clienti ad un servizio con M sportelli regolato da un processo di Poisson con parametro 6 (cioè con 6 arrivi al minuto). La disciplina della coda è una FIFO. Si assuma che i tempi di servizio siano indipendenti e distribuiti esponenzialmente con valor medio di / al minuto. ) Qual è il numero minimo di sportelli necessari a garantire che non si crei una coda infinita? Pagina 22 di 55 Data ultima revisione 2/5/

23 Es (cont.) 2) Indicato con N t il numero di utenti presenti nel sistema, cioè la somma degli utenti in coda e degli utenti che stanno ricevendo il servizio, al tempo t, posto M4 e che il comportamento degli utenti è il seguente: N t 4 l utente si ferma; N t 5 l utente si ferma con probabilità.5; N t 6 l utente va via calcolare il vettore delle probabilità di equilibrio. Pagina 2 di 55 Data ultima revisione 2/5/

24 Es soluzione ) L esempio descrive un processo di nascita-morte con 6 ; M infatti Mper > Mil servizio ha sempre uno sportello libero ed un cliente verrà servito non appena arriva, mentre se > M il servizio è saturo ed il cliente in arrivo deve andare in coda. Imponiamo ora che la coda non diventi infinita, cioè che converga la sommatoria Pagina 24 di 55 Data ultima revisione 2/5/

25 Es soluzione (cont.) Ciò vuol dire che 6 < M + cioè M > 6 e, quindi, M Pagina 25 di 55 Data ultima revisione 2/5/

26 Es soluzione (cont.) M > 2 che è equivalente alla condizione M Dalla condizione appena trovata si deduce che il mini-mo numero di sportelli deve essere. Pagina 26 di 55 Data ultima revisione 2/5/

27 Es soluzione (cont.) 2) Il comportamento che la coda assume è il seguente: 6 i 4 i i 5 i 6 si ottiene dalla relazione 2 4 > Pagina 27 di 55 Data ultima revisione 2/5/

28 Es soluzione (cont.) Gli altri valori del vettore delle probabilità di equilibrio si deducono dall espressione n+ n n+ n Le soluzioni saranno dunque Pagina 28 di 55 Data ultima revisione 2/5/

29 Es Una compagnia di taxi ha un tecnico che ripara i serbatoi di benzina dei taxi. Si assuma che il tempo atteso (in giorni) tra due rotture di una pompa sia esponenzialmente distribuito con parametro /, cioè si supponga che passino giorni tra due rotture. Si assuma, inoltre, che il tempo di attesa per la riparazione di un guasto ad un taxi sia distribuito esponenzialmente e tale tempo di attesa sia /4 di giorno Si sa, infine, che la compagnia possiede taxi. Pagina 29 di 55 Data ultima revisione 2/5/

30 Es (cont.) Calcolare il vettore delle probabilità di equilibrio del processo X t, dove X t rappresenta il numero di macchi-ne col serbatoio rotto. Pagina di 55 Data ultima revisione 2/5/

31 Es soluzione Per il processo da noi considerato una nascita corrisponde ad una rottura di un serbatoio, mentre una morte alla sua avvenuta riparazione. Utilizzando come unità di misura per il tempo i giorni, avremo n n+ n n 4 n [,] [,] Il vettore delle probabilità di equilibrio esiste perché converge la serie Pagina di 55 Data ultima revisione 2/5/

32 Es soluzione (cont.) essendo n > per n [, ], per cui essa si riduce a n+ n n+ n Pagina 2 di 55 Data ultima revisione 2/5/

33 Es Calcolare il vettore delle probabilità di equilibrio dell esercizio 2.2. con M4 e con clienti che aspettano indipendentemente dalla lunghezza della coda. Pagina di 55 Data ultima revisione 2/5/

34 Pagina 4 di 55 Data ultima revisione 2/5/ Es soluzione [ ] 4 2,

35 Es soluzione (cont.) Ricordando che, per q <, vale q e q q q - avremo Pagina 5 di 55 Data ultima revisione 2/5/

36 Es Si consideri un negozio di barbiere con due barbieri. I tempi di servizio sono indipendenti ed identicamente distribuiti (in minuti) con parametro /2 (cioè l attesa è di 2 minuti), quando ci sono al massimo 2 clienti e /5 se ci sono tre clienti o più. Si assuma che i clienti arrivino secondo un processo di Poisson con parametro / quando ci sono al massimo due clienti e con parametro / se ce ne sono o più. Sia X t il numero di clienti nel negozio al tempo t. Calcolare il vettore delle probabilità di equilibrio. Pagina 6 di 55 Data ultima revisione 2/5/

37 Es soluzione Se indico con il numero di clienti, ho > 2 2 > 2 Pagina 7 di 55 Data ultima revisione 2/5/

38 Es soluzione (cont.) Pagina 8 di 55 Data ultima revisione 2/5/

39 Es soluzione (cont.) n+ n n+ n Pagina 9 di 55 Data ultima revisione 2/5/

40 Es Sia X t un processo di nascita-morte nel quale ; n n (-/2) per n, 2,... n 2n (/2) per n, 2,,... Calcolare il vettore delle probabilità di equilibrio. Pagina 4 di 55 Data ultima revisione 2/5/

41 Pagina 4 di 55 Data ultima revisione 2/5/ Es soluzione + + j j j 2! e + +

42 Es soluzione Dalla convergenza di tale serie si ottiene e 2 n j n j j + 2 n n! e 2 2e 2 Pagina 42 di 55 Data ultima revisione 2/5/

43 Es Sia X r un processo di nascita-morte nel quale n (n+) (-/2) n,,2,...; > n n (/2) n,2,...; > Calcolare il vettore delle probabilità di equilibrio. Ricordiamo il valore di. + i i + i Pagina 4 di 55 Data ultima revisione 2/5/

44 Es soluzione Nel nostro caso la sommatoria si riduce a......! e n j n j j + n! n e Pagina 44 di 55 Data ultima revisione 2/5/

45 Es Si consideri l arrivo di clienti in una banca con M sportelli regolato da un processo di Poisson con parametro 22 (cioè con 22 arrivi all ora). Si assuma che i tempi di servizio siano indipendenti e distribuiti esponenzialmente con valor medio di /2 all ora. ) Qual è il numero minimo di sportelli necessari a garantire che non si crei una coda infinita? Pagina 45 di 55 Data ultima revisione 2/5/

46 Es (cont.) 2) Indicato con N t il numero di utenti presenti nel sistema, cioè la somma degli utenti in coda e degli utenti che stanno ricevendo il servizio, al tempo t, posto M5 e che il comportamento degli utenti è il seguente: N t 5 l utente si ferma; N t 6 l utente si ferma con probabilità /n; calcolare il vettore delle probabilità di equilibrio. Pagina 46 di 55 Data ultima revisione 2/5/

47 Es soluzione ) L esempio descrive un processo di nascita-morte con n 22 ; 2 2M > M M infatti per M la banca ha sempre uno sportello libero ed un cliente verrà servito non appena arriva, mentre se > M il servizio è saturo ed il cliente in arrivo deve andare in coda. Imponiamo ora che la coda non diventi infinita, cioè che converga la sommatoria Pagina 47 di 55 Data ultima revisione 2/5/

48 Es soluzione (cont.) Ciò vuol dire che M < M cioè 2M > 22 e, quindi, Pagina 48 di 55 Data ultima revisione 2/5/

49 Es soluzione (cont.) M >. che è equivalente alla condizione M 2 Dalla condizione appena trovata si deduce che il mini-mo numero di sportelli deve essere 2. Pagina 49 di 55 Data ultima revisione 2/5/

50 Es soluzione (cont.) 2) Il comportamento che la coda assume è il seguente: i i si ottiene dalla relazione + i i > > 5 5 Pagina 5 di 55 Data ultima revisione 2/5/

51 Pagina 5 di 55 Data ultima revisione 2/5/ Es soluzione (cont.) ( ) ! 5! ! ( ) e 22! 22 5!! 5!

52 Es soluzione (cont.) Gli altri valori del vettore delle probabilità di equilibrio si deducono dall espressione n n+ n n+ Pagina 52 di 55 Data ultima revisione 2/5/

53 Esercizi proposti Pagina 5 di 55 Data ultima revisione 2/5/

54 Es Per ognuna delle catene di Marov omogenee a caratterizzate dalle matrici delle frequenze di transizione riportate di seguito, disegnare il grafo delle frequenze di transizione e verificare l ergodicità della catena. Q 2 Q Pagina 54 di 55 Data ultima revisione 2/5/

55 Pagina 55 di 55 Data ultima revisione 2/5/ Es (cont.) Q Q Q