Metodi e Modelli Matematici di Probabilità per la Gestione Prova scritta 12/6/2010

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1 Metodi e Modelli Matematici di Probabilità per la Gestione Prova scritta /6/00 Nota. E obbligatorio sia scegliere le risposte negli appositi spazi (numeriche, o le formule nali a seconda del caso), sia dare la risoluzione per esteso sul foglio a parte. Esercizio. Esaminiamo una ditta che fornisce lastre di marmo e serve i clienti in sequenza, non contemporaneamente. Tra un arrivo e l altro di richieste di fornitura passano in media giorni. i) In 0 giorni, che probabilità c è che arrivino esattamente 5 richieste? Giusti care accuratamente la risposta, partendo rigorosamente dai dati del problema. 0:078; ::: ii) Se deve evadere una sola richiesta, la ditta impiega mediamente 5 giorni (perché nel frattempo si occupa di altro). Se deve evadere richieste, impiega mediamente giorni; se ne deve evadere, mediamente giorni ed in ne, se deve evadere o più richieste, impiega mediamente giorni. Vogliamo calcolare, all equilibrio, la probabilità di avere richieste da evadere. Tracciare il grafo della catena da considerare, indicando con chiarezza i tassi di transizione: iii) Calcolare il coe ciente a: a = : 556; ::: e la probabilità di avere richieste da evadere: 0:9; ::: Esercizio. Il custode del museo di San Marco a Pasi, impiega in media minuto a fare il biglietto d entrata.

2 i) Nelle mattine dei giorni feriali non arriva troppa gente: una persona ogni minuti in media. Il custode, appena termina di fare il biglietto all ultima persona che lo richiede, si reca a spostare delle casse da sistemare e torna in media dopo 5 minuti. Disegnare il grafo coi tassi di transizione, facendo attenzione alla transizione allo stato senza custode. ii) Se una volta il custode si ferma esattamente 6 minuti a spostare le casse, con che probabilità ne trova in attesa al suo ritorno? 0:707; ::: iii) La domenica arrivano in media persone ogni minuti. Il custode si fa allora aiutare da un secondo addetto. Calcolare il numero medio di persone ferme nell area della biglietteria. :86; ::: Esercizio. La funzione F (x) che vale 0 per x < 0, e F (x) = e x per x > 0 è una cdf. i) Calcolare il quantile di ordine 0.95, spiegando bene come si è scelto il range delle x. ii) Tracciare, in uno stesso disegno, il gra co di F e della densità corrispondente, sull intervallo scelto. Esercizio. Consideriamo le variabili aleatorie X ; X ; X e sia A una tabella di dati relativi ad esse. Supponiamo che in una certa base ortonormale V ; V ; V la matrice di covarianza relativa ai nostri dati sia 0 Q : :8 A :

3 Se applichiamo il metodo PCA alla tabella A, quanto sarà la varianza spiegata dal piano principale? Giusti care la risposta nel modo più completo possibile. ; ::: [Parte delle risposte alle domande e dev essere la descrizione di come si farebbe con R a svolgere quelle cose, elencando i comandi e commentando la risoluzione.]

4 Soluzioni Esercizio. Il numero di arrivi N t entro un tempo t è una v.a. di Poisson di parametro t ed il tempo di interarrivo T una v.a. esponenziale di parametro. Il testo dice che il tempo medio è di giorni, quindi E [T ] = (in giorni), pertanto = e quindi N 0 è una Poisson di parametro 0. In conclusione P (N 0 = 5) = e ! = 0:078: ii) Descriviamo il numero di richieste da evadere con una catena di Markov di nascita e morte, quindi gli stati sono gli interi 0,,, ecc. ma le transizioni sono = a salire, mentre da a 0 è =, da a è 5 =, da a è =, da a è := = e così via i successivi sono tutti uguali a =. iii) Allora a 0 =, a = = 5 ; a = = 5 = 0 9 ; a = = 5 = 0 9 a = = 5 = 0 9 ; a 5 5 = = 0 9 ; ::: a +k = 0 k 9 per ogni k 0: Quindi e quindi a = X k=0 k = = : 556 = a a = 0 : = 0:9: Esercizio. i) E come un esercizio già dato varie volte. In sintesi, gli stati sono i soliti 0,,, ecc. che indicano il numero di persone che chiedono il biglietto, quando il custode è al lavoro, e degli stati ausiliari 0A, A, A, ecc. che indicano il custode assente e 0,,, ecc. persone in attesa nell area biglietti. Tra gli stati 0,,, ecc. le transizioni sono quelle tradizionali, con tassi = (in min ) e =, escuso che dallo stato non si passa allo stato 0 ma allo stato 0A, con tasso (appena si completa l ultimo servizio).

5 Tra gli stati ausiliari 0A, A, A, ecc. ci sono le transizioni a salire con tassi =, e le transizioni nei corrispondenti stati 0,,, ecc. con tasso. 5 ii) Dall istante in cui il custode si assenta parte un processo di Poisson di arrivi, ti tasso =. Il numero N 6 di arrivi in 6 minuti è una v.a. di Poisson di parametro 6 =. La probabilità che ci siano due arrivi è P (N 6 = ) = e! = 0:707: iii) E una coda a due serventi, con =, = quindi le formule sono (con = = ) a = + +! = + +! = 7 0 = a = 7 ; +k = a = a! k = 7 = 7 =! k = 9 56 k E [N] = X n n = + n= X ( + k) +k = k=0 = ( ) = X ( + k) k k= = : 86: Esercizio (Simile alla prova scritta del //00, esercizio ). densità f (x) vale 0 per x < 0, e La f (x) = x e x per x > 0: i) La F vale praticamente per valori anche modesti di x, a causa della potenza x : ad es. per x = vale già F () = e 6 = 8: Quindi i numeri tra 0 e sono su cienti per trovare il quantile desiderato. Il quantile q desiderato si ottiene dai seguenti comandi: x<-*(:000)/000 p<- -exp(-x^) 5

6 q <- x[which.min(abs(p-0.95))] ii) Basta aggiungere i seguenti comandi: d<-*x^*exp(-x^) plot(x,p) lines(x,d) Esercizio. Dalla forma diagonale deduciamo che gli autovalori di Q sono pari a., 0.8, e 0 rispettivamente. La varianza spiegata dal piano principale è allora pari a :+0:8 =. Infatti, la varianza spiegata :+0:8+0 è il rapporto tra la varianza del piano principale e quella delle variabili di partenza. La varianza del piano principale è la somma delle varianze delle due componenti principali, quindi pari a +, che è : + 0:8. La varianza delle variabili di partenza è la traccia di Q, che non cambia per cambio di base, quindi è pari a + +, che è : + 0: