Complementi di Probabilità e Statistica Laurea Magistrale Ing. Info. Soluzione degli Esercizi su catene di Markov a tempo continuo

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1 Complementi di Probabilità e Statistica Laurea Magistrale Ing Info Soluzione degli Esercizi su catene di Markov a tempo continuo M Abundo Si può modellizzare il sistema mediante una coda del tipo M/M/n modificata nel seguente modo Si considera un processo di nascita e morte con: µ k = λ k = { λ se k 5 { kµ se k =,, s sµ se k = s +,, s + N 0 se k > s + N Si osservi che la usuale coda M/M/n si ottiene per N Posto ρ = λ/µ, procedendo come per la coda M/M/n, si trova per la distribuzione stazionaria: ρ k k! se k s π k = ρ k π s!s k s 0 se k = s +,, s + N 0 se k > s + N La condizione di normalizzazione k p k = diventa ( s s+n k! + k=s+ ) s!s k s = Ponendo j = k s, la seconda somma si può riscrivere: ss! ρs+ N j=0 ( ρ s ) j = Pertanto: = N ( ρ ) i s! ρs s i= = ( s λ k k!µ k + λs s!µ s N i= ) ( s λ i µ i s i = k! + Ponendo i = j, la seconda somma diventa ( ) s λ µ s! N i= ( ) ) i λ sµ ρ s+ ss! N j=0 ( ) j λ = ρs+ (ρ/s) N sµ ss! ρ/s = ρs+ s! (ρ/s) N s ρ

2 Si ottiene infine: = ( s ) k! + ρs+ (ρ/s) N s! s ρ Volendo calcolare esplicitamente la distribuzione stazionaria per s = 3, N = e λ =, µ =, possiamo alternativamente procedere { come segue Risulta: λ se k 5 λ k = { kµ se k =,, 3 µ k = 3µ se k = 4, 5 Cerchiamo la distribuzione stazionaria come soluzione dell equazione di bilancio: ovvero π k λ k = π k+ µ k+ π k λ = π k+ µ k+ Esplicitando per i vari valori di k, otteniamo: λ = π µ π λ = π µ π λ = π 3 3µ π 3 λ = π 4 3µ π 4 λ = π 5 3µ La prima equazione fornisce π = ρ; sostituendo nella seconda si ottiene π = ρ ; sostituendo nella terza: π 3 = 3! ρ3 ; sostituendo nella quarta: π 4 = 3 3! ρ4 ; infine, sostituendo nell ultima: π 5 = 3 3! ρ5 Riassumendo: ρ π k 0 k! se k 3 π k = ρ π k 0 se k = 4, 5 s!s k s Imponendo la condizione π k =, si ottiene: = [ + ρ + ρ / + ρ 3 /6 + ρ 4 /8 + ρ 5 /54] (i) + (ii) Posto ρ = λ/µ, si ottiene ρ = < ; dunque è soddisfatta la condizione necessaria per l esistenza della distribuzione stazionaria La sua legge, come si sa dalla teoria, è geometrica di parametro ρ, cioé π k = ( ρ) Quindi P (X( = 0)) = = ρ = (iii) Ricordando le formule per media e varianza di una va con distribuzione geometrica, si ottiene: ( ρ) E(X( )) = = ρ ρ ρ =

3 (iv) Si ha: V ar(x( )) = ( ρ) ( ρ) = ρ ( ρ) = P (4 X( ) < 7) = P (X( ) = 4) + P (X( ) = 5) + P (X( ) = 6) = [ ( ( ρ)(ρ 4 + ρ 5 + ρ 6 ) = ) 4 + ( ) 5 + ( ) ] 6 (v) In tal caso sarebbe ρ = λ/µ = > e non sarebbe verificata la condizione necessaria per l esistenza della distribuzione all equilibrio 3 (i) + (ii) Per una coda M/M/ la distribuzione stazionaria esiste sempre ed è π k = k! e ρ, ove ρ = λ/µ Nel caso presente risulta ρ =, quindi si ottiene π k = k! e Inoltre P (X( ) = 0) = = e (iii) Siccome la distribuzione stazionaria è di Poisson di parametro ρ, risulta E(X( )) = V ar(x( )) = ρ = (iv) P (3 < X( ) 5) = π 4 + π 5 = e ( 4! + 5!) 4 (i) Dalla teoria si ha: P (X( ) = 0) = = Sostituendo ρ = λ/µ = / e n = 7, si ottiene = [ 7 [ n ] k! + ρn+ n!(n ρ) ] k k! + (/)8 7!(3/) (ii) La condizione per l esistenza della distribuzione stazionaria è ρ < n, cioé / < 7, che è verificata Dalla teoria, si ha poi: π k = (iii) P (X( = 4)) = π 4 = 4 6 { k k! se k 7 k 7!7 k 7 se k 8 5 (i) visto che λ = e µ = /, dalla teoria segue che il numero medio di clienti nel sistema è L = λ/(µ λ) = (ii) il numero medio di clienti in attesa nelle code è L c = λ /[µ(µ λ)] = / (iii) il tempo medio che un cliente trascorre nel sistema è: W = /(µ λ) = (iv) il tempo medio di attesa di un cliente nella coda è : W c = λ/[µ(µ λ)] = / 3

4 6 (i) + (ii) Si sa che { W = µ λ = W c = λ µ(µ λ) = Risolvendo il sistema nelle incognite λ e µ, si ottiene λ = / e µ = Dalla teoria delle code M/M/ si ha π k = ( ρ) con ρ = λ/µ = /, ovvero la distribuzione stazionaria è geometrica di parametro ρ = / (iii) Dalle formule per la media e la varianza di una va geometrica, si ottiene: E(X( )) = ( ρ) ρ =, V ar(x( )) = ( ρ) ( ρ) = (iv) P (5 X( ) < 8) = π 5 + π 6 + π 7 = ( ) 7 Nella coda M/M/ la distribuzione stazionaria è di Poisson di parametro ρ, ovvero π k = e ρ /k!; dunque: (i) L = k= kπ k = ρ = λ/µ (iii) dalla prima relazione di Little, W = L/λ = /µ (iv) dalla relazione W c = W /µ, si ottiene W c = 0 (i) dalla seconda relazione di Little, L c = λw c = 0 8 Per una coda M/M/n si ha che il numero medio di clienti in attesa nelle code è L c = (k n)π k = k=n Posto k n = h, la serie diventa k=n+ (k n)π k = k=n+ (k n) n!n k n ρ n n! h( ρ n )h h= Siccome, per q < risulta h=0 qh = q, derivando termine a termine, si trova: e quindi hq h = h= hq h = q h= ( q) hq h = h= Per q = ρ/n, riprendendo il calcolo, si trova: L c = ρn n! ( ρ n ) ( ρ n ) = 4 q ( q)

5 (per le relazioni di Little) Da ciò segue che = λw c = λ(w /µ) W = µ + [ nρ n+ ] λ n!(n ρ) = µ + [ ρ n+ ] λ (n )!(n ρ) 9 Ogni cassiera serve un cliente ogni minuti, quindi il tasso di servizio è µ = / (clienti/min), mentre il tasso di arrivo è λ = 0 (clienti/min) Modelizzando com una coda M/M/n, affinché esista la distribuzione invariante, posto ρ = λ/n, deve essere ρ < n, cioé λ/µ < n che fornisce n > 0, ovvero si può scegliere, al minimo, n = (i) Occorre imporre che il tempo medio di attesa globale sia inferiore a 5 min, cioé W < 5 L espressione per W è stata ricavata nell esercizio 8, ed è: W = µ + [ nρ n+ ] λ n!(n ρ) = µ + [ ρ n+ ] λ (n )!(n ρ), dove, come noto dalla teoria: = ( n ) k! + ρn+ ( ) n!(n ρ) Dunque, per λ = 0, µ = /, e ρ = 0, occorre imporre che + ( 0 n+ ) 0 (n )!(n 0) < 5 ( ) dove, per ogni n, è calcolato mediante (*) con ρ = 0 Procedendo per tentativi, calcolando l espressione di sopra per n =,, (con un computer si tratta di un operazione immediata), si trova che il primo intero n per cui (**) è verificata è n = 34; concludiamo, quindi, che il numero minimo di casse da predisporre affinché il tempo di attesa globale sia inferiore a 5 minuti è n = 34 (ii) Introducendo le casse veloci, per quelle normali il λ è pari a 7, il µ è pari a /, e ρ = 4, quindi, se n è il numero di casse normali, procedendo come in (i), occorre imporre che + ( 4 n+ ) 7 (n )!(n 4) < 5 che fornisce, procedendo per tentativi, n 4 (iii) Per le casse veloci il λ è pari a 3, il µ è pari a, e ρ = 3/, quindi, se n è il numero di casse veloci, la condizione affinché il tempo medio di attesa e servizio alle casse veloci sia minore di 4 min, diventa: / + 3 ( (5) n+ (n )!(n 5) ) < 4, che fornisce, procedendo per tentativi, n Quindi, se si introducono le casse veloci, invece di 34 casse, se ne possono usare 6, di cui veloci 5

6 0 (i) Richiamiamo le seguenti formule, riguardanti la funzione rischio di guasto istantaneo λ(t) : λ(t) = f(t) F (t) = d log( F (t)) ( ) dt F (t) = e t 0 λ(u)du ; S(t) = F (t) ( ) dove F (t) = P (T t) è la funzione di distribuzione di T, S(t) è la funzione di sopravvivenza e f(t) = F (t) è la sua densità Nel nostro caso, derivando l espressione assegnata per F (t), si ottiene la densità f(t) di T : f(t) = abt b e atb, e quindi, sostituendo nella formula ( ), l intensità di guasto istantaneo è: λ(t) = abtb e atb e atb = abt b Si noti che λ(t) risulta una funzione crescente di t se b >, decrescente se b > ; se b = si ottiene λ(t) = a = costante (ii) Se b = si ha λ(t) = a; usando ( ) si ricava F (t) = e at, ovvero T è una va con distribuzione esponenziale di parametro a (i) Se i componenti sono collegati in serie, si ha T = min(t, T ) Dunque, per la funzione di sopravvivenza dell apparecchiatura con tempo di vita T, si ha: S, (t) = F, (t) = P (T > t) = P (T > t, T > t) = = P (T > t)p (T > t) = S (t)s (t) Dalla formula per il rischio istantaneo di guasto: λ, (t) = d dt log S,(t), si ottiene: λ, (t) = d dt log(s (t)s (t)) = = d dt log S (t) d dt log S (t) = λ (t) + λ (t), ovvero, in accordo con l intuizione, i rischi di guasto si sommano, visto che nel collegamento in serie, se uno dei due componenti si guasta, l intero sistema cessa di funzionare 6

7 (ii) Se si collegano i due componenti in parallelo, si ha: T = max(t, T ) In tal caso, risulta: F, (t) = P (T t) = P (T t, T t) = = P (T t)p (T t) = F (t)f (t) Quindi, essendo F (t), F (t) [0, ], si ottiene: F, (t) F (t), F, (t) F (t) Allora: S, (t) = F, (t) F (t) = S (t), e analogamente S, (t) F (t) = S (t) Come naturale, la funzione di sopravvivenza dell apparecchiatura composta dai due componenti collegati in parallelo risulta di quelle dei due singoli componenti Il rischio di guasto ora è più complicato da calcolare; si ha: λ, (t) = d dt log S,(t) = d dt log( F (t)f (t)) = = f (t)f (t) + f (t)f (t) F (t)f (t) Per la funzione di sopravvivenza del prodotto commerciale si ha: (i) Si ottiene (ii) La probabilità cercata è: S(t) = e t 0 λ(u)du = e t = e 5 t5/ 0 u3/ du = S() = e 5 5/ = e 8 5 = 004 P (05 T 5) = F (5) F (05) = S(5) ( S(05)) = = S(05) S(5) = e 5 ( 5 )5/ e 5 ( 3 )5/ =