1.5 SISTEMI A CODA BASATI SU PROCESSI DI NASCITA E MORTE

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1 SISTEMI A CODA BASATI SU PROCESSI DI NASCITA E MORTE 5.5 SISTEMI A CODA BASATI SU PROCESSI DI NASCITA E MORTE In questo paragrafo verrano studiati sistemi di code che possono essere rappresentati da processi di nascita e morte. In particolare, assumendo che il sistema raggiunga l equilibrio, utilizzando i risultati ottenuti nel paragrafo precedente si possono facilmente ottenere le misure di prestazione (N, T, N q e T q ) di un sistema di code rappresentato da un processo di nascita e morte. Infatti, una volta ottenuti i valori p n delle probabilità in equilibrio, si possono calcolare il valore di N dalla (.2.) e il valore di N q dalla (.2.2), ovvero N = N q = np n (.5.) n=s+ (n s)p n. (.5.2) Lo scopo sarà quindi quello di determinare la distribuzione stazionaria utilizzando gli strumenti forniti dalla teoria dei processi di nascita e morte che abbiamo visto, ed in particolare, il Teorema.4.. Ovvero, si vuole determinare p n, per n 0, nella forma / ( ) + Π k per n = 0 p n = k= (.5.3) avendo definito Π n p 0 per n Π n = n i=0 λ i n. (.5.4) n µ j j= (Si osservi che con questa definizione di Π n la condizione di esistenza dello stato stazionario si può riscrivere n= Π n < ). Avendo a disposizione le p n si possono calcolare i valori di N ed N q rispettivamente dalle (.5.) e (.5.2). Il passo successivo consiste nell applicare il teorema di Little (.2.4) e la (.2.20) per ottenere il valori di T e T q. Nel fare ciò e necessario prestare attenzione al fatto che la costante λ che compare nella formula di Little (.2.4) e nella (.2.20) rappresenta, come è ben noto, la frequenza media degli arrivi. Ora, se il sistema di code è rappresentato attraverso un processo di nascita e morte in cui il coefficiente di natalità è costante (λ n = λ) allora esso coincide con tale frequenza media degli arrivi, altrimenti, se λ n può variare con lo stato n, il valore della frequenza media degli arrivi deve essere calcolato. Ciò può essere fatto facilmente ricordando che λ n rappresenta la frequenza media di

2 52 TEORIA DELLE CODE Frequenza media effettiva degli arrivi arrivo quando nel sistema ci sono n utenti e p n è la probabilità che n utenti siano presenti nel sistema, e quindi si ha la frequenza media effettiva degli arrivi che indichiamo con λ data da λ = λ n p n. (.5.5) Determinato questo valore di λ è possibile applicare il teorema di Little (.2.4) e la (.2.20) per ottenere T = N λ (.5.6) T q = Nq λ. (.5.7) Si osservi che una difficoltà potrebbe essere rappresentata dal fatto che nelle (.5.) (.5.2) sono presenti delle serie e non delle somme finite; tuttavia, come vedremo, in molti casi interessanti, queste serie convergono e può essere facilmente calcolato il loro valore. Prima di entrare nei dettagli dei vari modelli di code, analizziamo una proprietà di cui godono tutti i sistemi di code con arrivi poissoniani..5. Sistemi con arrivi poissoniani: proprietà PASTA Proprietà PASTA Supponiamo che un sistema di code sia caratterizzato da arrivi che seguono un processo di Poisson. Tale sistema gode di una importante proprietà detta Poisson Arrivals See Times Average (PASTA) che informalmente può essere così sintetizzata: gli utenti che arrivano nel sistema di code trovano, in media, nel sistema la stessa situazione che vedrebbe un osservatore esterno al sistema che osserva il sistema in un momento arbitrario nel tempo. Formalmente, definiamo a k (t) = P{un utente che arriva al tempo t trova il sistema nello stato k}. In generale, risulterà a k (t) p k (t) in quanto l evento e l evento {un utente che arriva al tempo t trova il sistema nello stato k} {lo stato del sistema in un generico istante t è pari a k} sono eventi distinti. Infatti, nel caso del primo evento l osservazione dello stato del sistema avviene in specifici istanti di tempo che dipendono dal processo di arrivo. Se invece gli arrivi sono poissoniani, allora si ha il seguente risultato.

3 SISTEMI A CODA BASATI SU PROCESSI DI NASCITA E MORTE 53 Proposizione.5. Proprietà PASTA Sia dato un sistema a coda con arrivi poissoniani. Allora la probabilità che un utente che arriva nel sistema al tempo t trova il sistema allo stato k (cioè con k utenti presenti) è uguale alla probabilità che il sistema sia allo stato k al tempo t, ovvero a k (t) = p k (t). Dimostrazione: Per dimostrare questo risultato, sia {X(t), t 0} il processo di Poisson degli arrivi, ovvero il processo di sole nascite che descrive gli arrivi al sistema a coda. Allora se n(t) è il numero degli utenti presenti nel sistema al tempo t e p k (t) = P(n(t) = k), per le probabilità composte: a k (t) = P{un utente che arriva al tempo t trova il sistema nello stato k} = lim P (n(t) = k X(t+ t) X(t) = ) t 0 P (X(t+ t) X(t) = n(t) = k)p (n(t) = k) = lim t 0 P (X(t+ t) X(t) = ) = lim t 0 P (X(t+ t) X(t) = )P (n(t) = k) P (X(t+ t) X(t) = ) = P (n(t) = k) = p k (t). Si osservi che è stato utilizzato il fatto che il processo X(t) è di Poisson, e quindi vale P (X(t+ t) X(t) = n(t) = k) = P (X(t+ t) X(t) = ). Una giustificazione intuitiva di questa proprietà è la seguente: se di un arbitrario arrivo secondo Poisson conoscessimo l istante di tempo al quale esso è avvenuto, la distribuzione condizionata di ciò che l utente in arrivo vede all arrivo nel sistema è uguale alla distribuzione non condizionata dello stato del sistema al tempo t. Ma sapere che un arrivo c è stato al tempo t non fornisce alcuna informazione su che cosa è accaduto prima del tempo t, in quanto, avendo il processo di Poisson incrementi indipendenti, sapere che un evento è accaduto ad un certo tempo t non influenza la distribuzione di ciò che è accaduto prima del tempo t. Quindi un utente in arrivo vedrebbe solamente il sistema secondo la probabilità p n (t). Si osservi che la proprietà PASTA non è vera in generale; infatti se si considera un sistema di code del tipo D/D/ con queste caratteristiche: il sistema è vuoto al tempo t = 0 e gli arrivi si verificano agli istanti t =, t = 3, t = 5, t = 7,... e il tempo di servizio è pari a. Allora ogni utente che arriva trova il sistema vuoto, ovvero la probabilità che un utente che arriva trova il sistema allo stato 0 è pari a, mentre la probabilità p 0 (t) = /2 per ogni t.

4 54 TEORIA DELLE CODE Abbiamo visto come nello studio di un sistema a coda in equilibrio è possibile definire (se esiste) la distribuzione stazionaria come p k = lim t p k (t) e interpretando queste quantità come la frazione di tempo che il sistema è nello stato k. Analogamente si possono definire le quantità a k = lim t a k (t) interpretandole come frazione di arrivi che trovano k utenti nel sistema. Poiché dalla proprietà PASTA si ha a k (t) = p k (t), passando al limite per t si ottiene anche l uguaglianza a k = p k. (.5.8) In maniera analoga alla quantità a k (t) che considera la distribuzione all arrivo di un cliente, si può studiare la distribuzione dopo la partenza di un cliente dal sistema dopo che ha usufruito del servizio definendo d k (t) = P{un utente che esce al tempo t lascia il sistema nello stato k} e, in condizioni di stazionarietà, d k = lim t d k (t), interpretando d k come frazione di clienti che lascia nel sistema k clienti quando esce dal sistema. Per un qualsiasi sistema di code a coda singola, non necessariamente con arrivi poissoniani, vale l uguaglianza a k = d k (.5.9) purchéi clienti arrivano al sistema uno alla volta e sono serviti uno alla volta. Ma quando gli arrivi sono poissoniani vale la proprietà PASTA e quindi vale la(.5.8). Quindi, in questo caso dalla (.5.8) e dalla (.5.9) si ha p k = a k = d k, ovvero, sia un cliente che arriva, sia un cliente che parte da un sistema in condizioni di stazionarietà, vede un sistema che è statisticamente equivalente ad un sistema visto da un osservatore che osserva il sistema dall esterno in un arbitrario istante di tempo.

5 SISTEMI A CODA BASATI SU PROCESSI DI NASCITA E MORTE Sistemi M/M/s I sistemi M/M/s sono sistemi di code ove si assume che gli intertempi di arrivo sono indipendenti, identicamente distribuiti secondo la distribuzione esponenziale (ovvero arrivi poissoniani), i tempi di servizio indipendenti, identicamente distribuiti secondo un altra distribuzione esponenziale e il numero di serventi pari a s. Questi modelli possono essere rappresentati come processi di nascita e morte; infatti, come abbiamo già osservato nel paragrafo.4.7, se il sistema ha un solo servente (s = ) allora esso è rappresentabile mediante un processo di nascita e morte con coefficiente di natalità costante λ n = λ, n = 0,,... e coefficiente di mortalità costante µ n = µ, n =,2,... Infatti assumere che i tempi di interarrivo sono esponenziali equivale ad avere arrivi secondo un processo di Poisson di tasso λ. Analogamente, avere tasso di mortalità costante corrisponde ad avere i tempi di servizio esponenziali. Se il sistema ha s > serventi (che, ricordiamo, abbiamo assunto lavorino in parallelo) il sistema è sempre rappresentabile mediante un processo di nascita e morte, ma il coefficiente di mortalità µ n non può essere espresso in maniera così semplice. Si ricordi che µ n rappresenta il coefficiente di mortalità, ovvero la velocità media alla quale avvengono i completamenti dei servizi e quindi la velocità media alla quale gli utenti escono dal sistema, quando n utenti sono presenti nel sistema. Abbiamo visto che per la Proprietà E3 della distribuzione esponenziale, quando la velocità media di servizio di ciascun server è pari a µ, la velocità media di servizio complessiva quando si hanno n serventi occupati (cioè che stanno erogando il servizio) è pari a nµ. Quindi si ha µ n = { nµ per n s sµ per n s, (.5.0) perché quando n s, i serventi occupati continuano ad essere sempre s. Quando ρ = λ/sµ <, un modello di code di questo tipo soddisfa la condizioni per l esistenza dello stato stazionario e quindi possono essere applicati i risultati ottenuti nel paragrafo.4 per il calcolo della distribuzione stazionaria di un processo di nascita e morte. Sistemi M/M/ Consideriamo, ora i sistemi M/M/, ovvero con un singolo servente, assumendo Sistemi ρ = λ/µ <. In questo caso risulta Π n = (λ/µ) n = ρ n e quindi si ha soddisfatta M/M/ la condizione di esistenza dello stato stazionario (.4.3) in quanto 0 < ρ < e risulta ρ n = ρ. Dal Teorema.4. si ha n=

6 56 TEORIA DELLE CODE da cui p 0 = ρ = ρ e p n = ρ n p 0, per n, p n = ( ρ)ρ n per n = 0,,2,... (.5.) Calcolate le p n, si possono facilmente determinare le misure di prestazione N, N q, T e T q rispettivamente dalle (.5.) e (.5.2): N = np n = n( ρ)ρ n = ( ρ) nρ n = ( ρ)ρ nρ n dρ n = ( ρ)ρ dρ = ( ρ)ρ d ρ n dρ = ( ρ)ρ d ( ) = ( ρ)ρ dρ ρ ( ρ) 2 ρ = ρ = λ µ λ. Si osservi che nei passaggi ora svolti, il passaggio fuori dal segno di serie della derivata rispetto a ρ è possibile perché sono soddisfatte le opportune ipotesi sulla convergenza delle serie coinvolte. Il calcolo diretto della N q si può omettere e calcolare N q direttamente dalla (.2.23), ovvero N q = N ( p 0 ). Si ottiene quindi, utilizzando anche la (.2.24) N q = N ρ = ρ2 ρ = λ 2 µ(µ λ). Applicando, poi il Teorema di Little, si ha T = N λ = µ λ T q = Nq λ = λ µ(µ λ). Si osservi, inoltre, che ovviamente la (.2.2) risulta soddisfatta.

7 SISTEMI A CODA BASATI SU PROCESSI DI NASCITA E MORTE 57 Abbiamo così ottenuto le misure di prestazione per un sistema di code M/M/ che riassumiamo nello schema seguente: N = N q = T = T q = λ µ λ λ 2 µ(µ λ) µ λ λ µ(µ λ). Riscrivendo le espressioni di N, N q, T e T q in termini di ρ, ovvero N = ρ ρ, Nq = ρ2 ρ, T = /µ ρ, Tq = ρ µ( ρ) si evince come al tendere di ρ ad queste quantità tendono tendono a +, come è ovvio aspettarsi. In particolare, esaminiamo come cambia il valore di T al variare di ρ. Nella Figura.5. è riportato l andamento tipico di T al variare di ρ, nel caso in cui µ =. In generale, tale curva intercetta l asse delle ordinate nel punto (0,/µ) e al tendere di ρ ad, il valore di T cresce indefinitamente, con un andamento asintotico alla retta ρ =. Osservando l andamento della curva, si vede come per valori piccoli di ρ (diciamo inferiori a 0.5 o 0.4), la variazione di T è poco sensibile all aumento di ρ. Mentre anche una piccola variazione di ρ quando il suo valore è vicino ad provoca un grosso aumento del valore di T. Possiamo concludere questa analisi grafica, dicendo che un buon trade-off tra l aspettativa di un utente (che ovviamente auspicherebbe un valore di T abbastanza piccolo) e il punto di vista di un gestore del sistema a coda (che vorrebbe invece avere un fattore di utilizzazione del servente ρ prossimo ad ), si possa individuare nello scegliere valori di ρ intermedi, in corripondenza dei quali il grafico di T è ancora abbastanza piatto prima della crescita repentina che si ha all avvicinarsi di ρ ad. Esempio.5.2 Inunaeroportoconunasolapistachiedediatterrare,inmedia, unaereo ogni 6 minuti e la distribuzione degli intervalli di tempo tra due richieste successive è esponenziale. Gli aerei vengono autorizzati ad atterrare dal controllore del traffico aereo sulla base del criterio primo arrivato, primo servito. Gli aerei che non possono atterrare immediatamente per la congestione del traffico, vengono inseriti in un circuito di attesa.

8 58 TEORIA DELLE CODE Figura.5. Grafico di T in funzione di ρ (per µ = ) Il tempo necessario per l atterraggio è distribuito esponenzialmente con un valore medio pari a 4 minuti. Determinare:. il numero medio di aerei tenuti contemporaneamente sotto controllo dal controllore del traffico aereo; 2. il numero medio di aerei che si trovano nel circuito di attesa; 3. il tempo medio passato nel circuito di attesa; 4. la probabilità che nel circuito di attesa ci siano più di 3 aerei. Si tratta di un sistema di code M/M/ in cui gli utenti sono gli aerei e la coda è costituita dagli aerei nel circuito di attesa. Assumendo come unità di tempo il minuto, si ha λ = /6, µ = /4, ρ = 2/3. Poiché risulta ρ < è soddisfatta la condizione di esistenza della distribuzione stazionaria.. Il numero di aerei che il controllore deve tenere sotto controllo è pari al numero di aerei presenti nel sistema che è dato da N = λ/(µ λ) = 2; 2. il numeromediodi aereichesi trovanonel circuitodi attesaèn q = λ 2 /[µ(µ λ)] = 4/3; 3. il tempo medio passato nel circuito di attesa è T q = N q /λ = 8 minuti; 4. la probabilità che nel circuito di attesa ci siano più di 3 aerei coincide con la probabilità che nel sistema ci sono più di 4 utenti; tale probabilità si può ottenere

9 SISTEMI A CODA BASATI SU PROCESSI DI NASCITA E MORTE 59 come 4 p n = p n = ( ρ) 4 n=5 = (/3)(+2/3+4/9+8/27+6/8) = 0.3. ρ n Esercizio.5.3 Realizzare un foglio elettronico in Excel che, dati in ingresso i valori di λ e µ di un sistema di code M/M/, determini N, N q, T, T q e la distribuzione p n per n = 0,,...,25, rappresentando su un grafico questi valori di p n. Nel caso di sistemi M/M/, oltre il valore atteso, si può ricavare anche la distribuzione di probabilità del tempo di permanenza nel sistema t w di un arbitrario utente che arriva. Infatti vale il seguente risultato. P (t w > t) Proposizione.5.4 In un sistema M/M/ con disciplina della coda FIFO, il tempo di permanenza nel sistema t w è distribuito esponenzialmente con parametro µ λ, ovvero P (t w > t) = e (µ λ)t, t 0. Dimostrazione: Supponiamo che l utente che arriva trovi già un certo numero n di utenti presenti nel sistema. Se n = 0 il tempo di permanenza nel sistema dell utente che arriva è pari al tempo di servizio. Nel caso n il nuovo utente che arriva trova un utente che sta usufruendo del servizio e n utenti in coda. Per poter uscire dal sistema, questo nuovo utente che arriva dovrà aspettare i tempi di servizio degli n utenti che sono in coda, tempi che sono distributi esponenzialmente di parametro µ; il tempo di completamento del servizio dell utente che sta usufruendo del servizio quando questo nuovo utente arriva, tempo che, per la proprietà di assenza di memoria della distribuzione esponenziale (Proprietà E2), è distributo esponenzialmente di parametro µ; il tempo del proprio servizio, ovvero il tempo necessario per espletare il servizio relativo al nuovo utente che arriva che è distributo esponenzialmente di parametro µ. Ovvero l utente arbitrario che arriva dovrà aspettare n + tempi distribuiti esponenzialmente di parametro µ. Se indichiamo con T,T 2,...,T n+ questi tempi,

10 60 TEORIA DELLE CODE si ha che il tempo di permanenza nel sistema dell utente che arriva sarà dato S n+ = T + + T n+. Per la Proprietà E5, si ha che la variabile S n+ segue la distribuzione di Erlang di parametri µ ed n+, ovvero la sua densità di probabilità è f Sn+ (x) = µe µx (µx) n, n! e quindi risulta ( P t w t n utenti presenti nel sistema all arrivo del nuovo utente ) = P (S n+ t) = t 0 µe µx(µx)n dx. (.5.2) n! Ora, applicando il Teorema delle probabilità totali si può scrivere ( ) P (t w t) = P t w n utenti presenti nel sistema t all arrivo del nuovo utente ( ) n utenti presenti nel sistema P all arrivo del nuovo utente dove la prima delle probabilità che compaiono nella serie è data dalla (.5.2), mentre la seconda, per la proprietà PASTA, è pari a p n. Si ha quindi P (t w t) = = = t 0 t 0 t 0 µe µx(µx)n dx ρ n ( ρ) n! (µ λ)e µx (λx) n dx n! (µ λ)e (µ λ)x dx = e (µ λ)t, ovverot w segueladistribuzioneesponenzialeconparametroµ λelaproposizione è dimostrata. Osservazione.5.5 Da questa proposizione è immediato determinare il valore atteso della variabile t w, ovvero T, che è pari a /(µ λ), come già sappiamo. Osservazione.5.6 Ovviamente la probabilità P(t w > t) può essere scritta nella forma P (t w > t) = P (S n+ > t)p n. (.5.3) P (t q > t) Nel caso di un sistema di code M/M/, si può facilmente determinare anche la distribuzione di probabilità del tempo di attesa nella coda t q di un utente che

11 SISTEMI A CODA BASATI SU PROCESSI DI NASCITA E MORTE 6 arriva. Vale infatti il seguente risultato. Proposizione.5.7 In un sistema M/M/ con disciplina della coda FIFO, per il tempo di attesa in coda t q vale P (t q > t) = ρe (µ λ)t, t 0. Dimostrazione: Si ragiona in maniera del tutto analoga alla dimostrazione della Proposizione.5.4 considerando il fatto che se il nuovo utente che arriva non trova utenti nel sistema (ovvero n = 0), allora il nuovo utente viene servito immediatamente, cioè t q = 0 e probabilità che questo accada è P (t q = 0) = p 0 = ρ. Rimane quindi da determinare P (t q > t) per t > 0. In questo caso si ha che all arrivo del nuovo utente c è un numero n non nullo di utenti presenti nel sistema, ovvero n. Il nuovo utente dovrà quindi aspettare n tempi esponenziali per l inizio del proprio servizio (si tratta di n tempi e non più n+ come nella dimostrazione precedente perchè deve essere escluso il tempo relativo al servizio del nuovo utente stesso). Risulta quindi P (t q t) = P (t q = 0)+ = ( ρ)+ = ( ρ)+ρ = ( ρ)+ρ P n= t n= 0 t ( t q t ) n utenti presenti nel sistema p n all arrivo del nuovo utente µe µx(µx)n (n )! dx ρn ( ρ) (µ λ)e (µ λ)x dx 0 ( e (µ λ)t) = ρe (µ λ)t. La dimostrazione può essere alternativamente basata sull uso dell espressione data dalla (.5.3). Questa proposizione mostra che il tempo di attesa nella coda t q non segue la distribuzione esponenziale come invece accade nel caso del tempo di permanenza nel sistema. Tuttavia, se calcoliamo la probabilità che t q > t, condizionata a t q > 0, si ha P (t q > t t q > 0) = P (tq > t) P (t q > 0) = e (µ λ)t, ovvero il tempo di attesa in coda t q di un utente arbitrario che arriva nel sistema, condizionato a t q > 0 è distribuito esponenzialmente con parametro µ λ.

12 62 TEORIA DELLE CODE Sistemi M/M/s multiservente Sistemi Consideriamo ora un sistema M/M/s multiservente, ovvero con s >, assumendo M/M/s ρ = λ/(sµ) <. Per quanto già visto nell introduzione al paragrafo, si può ricondurre questo caso ad un processo di nascita e morte con coefficiente di natalità λ n = λ e coefficiente di mortalità dato da { nµ se n < s µ n = sµ se n s, ovvero µ n = min{nµ, sµ}. Il diagramma di transizione di stato in questo caso è riportato in Figura.5.2. Si ottiene, quindi ( ) λ n per n =,2,...,s n! µ Π n = ( ) λ s ( ) λ n s = ( ) λ n s! µ sµ s!s n s per n = s,s+,... µ Verifichiamo la condizione di esistenza dello stato stazionario (.4.3). Si ha Π n = n= = s n= s n= n! n! che è soddisfatta per ρ = λ sµ <. Inoltre risulta p 0 = s ( ) λ n ( ) λ s ( λ + µ s! µ sµ n=s ( ) λ n + ( ) λ s µ s! µ n! ( ) λ n + µ s! ( ) λ s µ ρ ) n s ( ) λ n < sµ (.5.4) λ λ λ λ λ λ λ λ s- s s+ µ 2 µ 3 µ 4µ ( s ) µ s µ s µ sµ Figura.5.2 Diagramma di transizione di stato per un sistema M/M/s

13 SISTEMI A CODA BASATI SU PROCESSI DI NASCITA E MORTE 63 ed il valore di p n dato da p n = n! ( ) λ n p 0, per n =,2,...,s µ s!s n s ( ) λ n p 0, per n = s,s+,... µ (.5.5) Calcoliamo ora il valore di N q : N q = (n s)p n = ip s+i = i ( ) λ s+i s!s i p 0 µ n=s i=0 i=0 = i ( ) λ s ( ) λ i p 0 = ( ) λ s p 0 iρ i s! µ sµ s! µ i=0 i=0 = ( ) λ s p 0 ρ iρ i = ( ) λ s dρ i p 0 ρ s! µ s! µ dρ i=0 i=0 = ( ) λ s p 0 ρ d ρ i = ( ) λ s p 0 ρ d ( ) s! µ dρ s! µ dρ ρ i=0 = ( ) λ s ρ p 0 s! µ ( ρ) 2. Applicando il Teorema di Little si ricavano i valori di T q, T e N. Quindi per un sistema di code M/M/s multiservente si hanno le seguenti misure di prestazione: N q = s! T q = Nq λ T = T q + µ ( ) λ s ρ µ ( ρ) 2p 0 N = λt = N q + λ µ. Anche nel caso di sistema M/M/s multiservente è possibile ricavare la distribuzione di probabilità del tempo di permanenzanel sistema t w e del tempo di attesa

14 64 TEORIA DELLE CODE nella coda t q. Si riportano questi risultati senza dimostrazione. Risulta [ ( )] P (t w > t) = e µt +(λ/µ) s p 0 e µt(s λ/µ) s!( ρ) s λ/µ sostituendo ( e µt(s λ/µ) s λ/µ ovvero se s λ/µ = 0, ed inoltre s dove P (t q = 0) = p n. ) con µt nel caso in cui il denominatore si annulli, P (t q > t) = ( P (t q = 0))e s(µ λ)t (.5.6) È molto utile avere un espressione per il calcolo della probabilità di dover attendere nella coda un tempo non nullo, P (t q > 0) che, ovviamente, è un caso particolare della (.5.6). Si può ricavare direttamente nel seguente modo: P (t q > 0) = p n = n=s n=s s! = ( ) λ s p 0 s! µ i=0 = ( ) λ s s! µ ( ) λ s ( ) λ n s p 0 µ sµ ( ) λ i sµ λ p 0 = s! sµ ( ) λ s µ ρ p 0 Quest ultima formula che fornisce la probabilità che un utente che arriva trova tutti i serventi occupati è nota come formula di Erlang C. Esempio.5.8 Un bar ha due barman ugualmente efficienti, ciascuno dei quali è in grado di servire, in media, 60 clienti l ora e i tempi di servizio sono distribuiti esponenzialmente. I clienti entrano nel bar secondo un processo di Poisson, con frequenza media di 00 l ora. Determinare:. il numero medio di clienti in attesa di essere serviti; 2. il tempo medio di attesa prima di essere serviti; 3. la probabilità che nel bar vi siano più di 5 clienti; 4. se utilizzando un terzo barman è possibile dimezzare il tempo medio di attesa in coda. Si tratta di un modello di code M/M/2. Assumendo come unità di tempo l ora, si ha λ = 00 e µ = 60. Inoltre, poiché risulta ρ = λ/(2µ) = 5/6 <, la condizione per l esistenza della distribuzione stazionaria è verificata.

15 SISTEMI A CODA BASATI SU PROCESSI DI NASCITA E MORTE 65. Per determinare il il numero medio di clienti in attesa di essere serviti N q abbiamo bisogno del valore di p 0 che può essere calcolato dalla (.5.4) dalla quale si ottiene p 0 = /. Quindi possiamo calcolare il valore di N q che risulta pari a 25/33 = 3.78; 2. il tempo medio di attesa prima di essere serviti è T q = N q /λ = ore, ovvero circa 2.28 minuti; 3. la probabilità che nel bar vi siano più di 5 clienti è data da (p 0 +p +p 2 +p 3 +p 4 +p 5 ); è necessario, quindi, calcolarei valori di p n per n = 0,,2,3,4,5che possono essere facilemente ottenuti dalla (.5.5). Risulta quindi (p 0 +p +p 2 +p 3 +p 4 +p 5 ) = ; 4. con un terzo barman il sistema diventa di tipo M/M/3 con ρ = 5/9. Per questo sistema si ottiene p 0 = 0.73, N q = e T q = e quindi il tempo medio di attesa in coda è ridotto a circa un decimo del precedente. Esempio.5.9 In un pronto soccorso di un ospedale si vuole migliorare il servizio offerto. Sulla base dei dati disponibili, si stima che arriva in media un paziente ogni 30 minuti e che, in media, per le cure richieste sono necessari 20 minuti per ogni paziente. Uno studio preliminare ha evidenziato che gli arrivi sono casuali (distribuiti secondo Poisson) e i tempi impiegati per le cure sono approssimativamente distribuiti secondo la distribuzione esponenziale. Costruire un modello di code analizzando le due possibili alternative di continuare ad operare con un solo medico oppure aggiungere un secondo medico. Prendiamo come unità di tempo l ora. Risulta λ = 2 e µ = 3. Per s = si ottiene: ρ = 2/3, N q = 4/3, N = 2, T q = 2/3 di ora e T = ora. Per s = 2 si ottiene: ρ = /3, N q = /2, N = 3/4, T q = /24 di ora e T = 3/8 di ora. Si lascia allo studente il calcolo di p n, P(t q > t), P(t w > t) ed i casi particolari P(t q > 0), P(t q > ) nel due casi di singolo servente e di due serventi. Confrontanto i risultati ottenuti appare chiaro che l utilizzo di un solo medico è del tutto inadeguato. Esercizio.5.0 In un ufficio arriva, in media, un cliente ogni 2 minuti. Attualmente in questo ufficio c è un solo addetto che esegue il servizio richiesto da ciascun cliente, in media, in 5 secondi. Si assuma che gli arrivi siano poissoniani e che i tempi di servizio siano distribuiti esponenzialmente. Si consideri un modello di code M/M/s verificando se è preferibile cambiare l addetto con un altro due volte più veloce oppure aggiungere all addetto attualmente utilizzato un altro addetto che lavora alla stessa velocità di quello attuale.

16 66 TEORIA DELLE CODE Esercizio.5. Un sistema di elaborazione è costituito da 3 server. Poichè ciascun server può essere anche utilizzato singolarmente, ogni server può essere anche considerato come un sistema singolo. I processi arrivano al sistema secondo la distribuzione di Poisson con media 9 l ora e il tempo di servizio di ciascun server è distribuito esponenzialmente con media 0 minuti. Un operatore deve decidere come far operare il sistema. Esistono tre possibili modalità operative:. tre sistemi singoli indipendenti: i processi arrivano al sistema e si distribuiscono casualmente nelle tre code presenti (una per ciascun server); 2. i processi in arrivo sono posizionati in un unica fila di attesa e il primo processo viene lavorato non appena si libera uno dei server; 3. come nel punto 2 processi sono in un unica fila, ma i 3 server sono connessi tra loro in modo da funzionare come un unico sever con velocità di servizio tripla. Per la modalità operativa : a) descrivere un sistema a coda che può rappresentare la situazione descritta; b) determinare il tempo medio di permanenza nel sistema e il tempo medio di attesa in coda. c) calcolare il numero medio di processi presenti nel sistema e il numero medio dei processi presenti in attesa di essere lavorati; d) determinare la probabilità che il tempo di permanenza nel sistema superi i 0 minuti. Per la modalità operativa 2: e) descrivere un sistema a coda che può rappresentare la situazione descritta; f) determinare il tempo medio di permanenza nel sistema e il tempo medio di attesa in coda. g) calcolare il numero medio di processi presenti nel sistema e il numero medio dei processi presenti in attesa di essere lavorati; h) determinare la probabilità che un processo arrivi nel sistema e venga lavora immediatamente senza attesa; i) determinare come è distribuito il numero dei processi presenti nel sistema. Per la modalità operativa 3: l) descrivere un sistema a coda che può rappresentare la situazione descritta; m) determinare il tempo medio di permanenza nel sistema e il tempo medio di attesa in coda. n) calcolare il numero medio di processi presenti nel sistema e il numero medio dei processi presenti in attesa di essere lavorati; o) determinare come è distribuito il tempo di attesa in coda; p) descrivere come si riconduce questo sistema ad un processo di nascita e morte.

17 SISTEMI A CODA BASATI SU PROCESSI DI NASCITA E MORTE 67 Dall analisi delle 3 modalità q) concludere qual è la modalità più conveniente e la meno conveniente in termini di tempi di risposta del sistema, ovvero di tempi di permanenza media dei processi nel sistema. Esercizio.5.2 Completare il foglio Excel dell Esercizio.5.3 includendo anche il caso di code M/M/s con s >.