γ 4 γ 2 λ 2 λ 4 r 42 γ 3 λ 3 r 24 r 04

Transcript

1 Capitolo 5 Reti di code Tipicamente una risorsa non viene utilizzata in modo isolato, pi u facilmente diverse risorse sono interconnesse fra loro per costituire un unico sistema. Un esempio e offerto da un`officina meccanica dove un pezzo deve eseguire nell`ordine una sequenza di operazioni utilizzando una serie di macchine. Entrato in officina, il pezzo si pone in attesa di fronte alla prima macchina, quando ha terminato prosegue immediatamente verso la seconda, e cos i fino al completamento quando esce dal sistema. In alcuni casi la stessa operazione pu o essere effettuata su pi u di una macchina in alternativa, in questo caso, al termine dell`operazione precedente, e necessario decidere verso quale delle possibili macchine la prossima operazione dovr a essere effettuata, si parla in questo caso di instradamento o routing. Una volta effettuata una operazione, dopo un controllo di qualit a, pu o essere necessario ritornare su una delle macchine precedentemente visitate per ripetere una delle operazioni gi a fatte, si hanno in questo caso anelli di ricircolo nel percorso dei pezzi. Gli utenti di un sistema possono essere della stessa classe oppure di classi diverse, e ciascuna classe pu a avere un suo programma di visite alle risorse diverso dalle altre. In un sistema con pi u classi di utenti in attesa della stessa risorsa alcune classi possono essere servite in modo privilegiato rispetto ad altre, si parla in questo caso di sequenziamento o schedulazione. Il sistema si pu o rappresentare come una rete di cui le singole risorse sono i nodi e dove i rami indicano i flussi di utenti da una risorsa all`altra, si parla di una rete di code. Fra le classificazioni che distinguono una rete di code la principale e sicuramente quella di rete di code aperta e rete di code chiusa. Nel primo caso il numero di utenti della rete non e prefissato, vi saranno arrivi e partenze da e verso l`esterno. Nell`altro caso il numero degli utenti nella rete e fisso, non vi sono ingressi ed uscite dall`esterno, e gli utenti presenti continuano a circolare fra le risorse. Un`officina dove i pezzi da lavorare devono preventivamente essere montati su attrezzaggi offre un esempio di quest`ultimo tipo di rete. Il numero degli attrezzaggi presenti in officina

2 e fissato, e soltanto quando un pezzo ha finito il suo ciclo di operazioni, e stato scaricato ed ha liberato un attrezzaggio un nuovo pezzo pu o entrare per prenderne il suo posto. Poich e i pezzi possono circolare nella rete soltanto sui loro attrezzaggi, il numero di utenti rimane costante. 5.1 La propriet a della forma prodotto Studiare una rete di code significa definire e studiare il comportamento del suo stato. Lo stato di una rete di code e dato dall`unione degli stati di ciascun nodo, rappresentato, per code Markoviane, dal vettore di variabili casuali discrete del numero di utenti presenti presso ciascuna risorsa: x =[x1;:::;x M ] con probabilit a di stato: ß(n1;:::;n M )=P[x1 = n1;:::;x M = n M ]: Per le reti di code, come nel caso di code isolate, e interessante stabilire quelle condizioni che permettono di offrire soluzioni analitiche al problema. L`idea di base per una soluzione semplice della rete e che ciascuna risorsa continui a comportarsi come una coda Markoviana, isolata ed indipendente dalle altre, e che la probabilit a congiunta degli stati della rete sia il prodotto delle probabilit a marginali di ciascuna delle risorse che compongono la rete: condizione che prende il nome di propriet a della forma prodotto. Questa propriet a e verificata per alcune classi di reti di code. La classe pi u importante e certamente costituita dalle reti di code Markoviane, dove gli arrivi alla rete sono processi di Poisson, i servizi forniti hanno tempi con distribuzione esponenziale e gli instradamenti sono casuali. In presenza di ricircoli, i processi all`interno della rete non sono pi u processi di Poisson e tuttavia la rete continua a comportarsi come una rete di code Markoviane. Un punto chiave per garantire la forma prodotto nelle reti di code e che gli instradamenti siano casuali. Questo significa che appena un utente ha terminato un servizio su una risorsa e immediatamente avviato alla prossima risorsa mediante l`estrazione di una variabile casuale indipendente. Consideriamo il processo di Poisson in uscita ad una coda Markoviana di parametro 1, ed assumiamo che con probabilit a r i, Pi r i = 1, ogni utente in uscita viene instradato in modo casuale verso uno di I possibili percorsi alternativi. Consideriamo l`i esimo percorso. Se ad un certo evento l`ultimo utente e stato instradato lungo quel percorso, la probabilit a che lo sia anche il prossimo e r i,che lo sia quello dopo e r i (1 r i ), e cos i via con una probabilit a che ha l`andamento di una serie geometrica. Quindi il tempo di interarrivo 1 Si dimostra che il processo in uscita da una coda Markoviana possiede la propriet a dell`assenza di memoria

3 lungo il percorso i esimo corrisponde con probabilit a r i (1 r i ) k 1 alla somma di k tempi di interarrivo del processo di Poisson. Pertanto si ha ancora un processo di Poisson con tasso di arrivo r i che rappresenta la frazione r i del tasso di uscita dalla risorsa precedente. 5.2 Reti di code aperte In Figura 5.1 e rappresentata una rete di code Markoviane aperta. γ 3 γ 1 λ 1 µ 1 λ 3 µ 3 r 32 γ 2 λ 2 r 42 λ 4 µ 4 r 04 γ 4 r 24 Figura 5.1: Rete di code aperta. Inizialmente ipotizziamo che vi sia un`unica classe di utenti. I processi di ingresso sono processi di Poisson indipendenti,lecodesono M=M=m (in particolare m = 1), la disciplina di coda se non indicato diversamente e FIFO, gli instradamenti sono casuali, con probabilit a (coefficienti di routing) r ij assegnati, indipendenti dallo stato. Si dimostra che questa rete gode della propriet a della forma prodotto anche se, in presenza di ricircoli, i processi in ingresso alle code non sono propriamente di Poisson. Il suo comportamento a regime pu o essere studiato considerando i differenti nodi della rete isolatamente e la funzione di probabilit a e ottenuta come prodotto delle funzioni di probabilit a marginali del numero di utenti presso ciascun nodo. Considerata la rete a regime ed indicati con fl i i tassi medi dei flussi in ingresso alla rete dall`esterno verso il nodo i esimo, con i i tassi medi d`attraversamento del nodo i esimo e con r ij i coefficienti d`instradamento dal nodo j al nodo i, si dimostra con una tecnica di bilanciamento dei flussi che i processi in ingresso a ciascun nodo hanno tassi dati da: i = fl i +X j r ij j ; oppure, unendo le equazioni per tutti i nodi, in forma matriciale: = fl + R ; [I R] = fl

4 dove R e la matrice delle probabilit a di routing. La soluzione di questo sistema lineare di equazioni, che esiste poich e, essendovi flussi da e verso l`esterno, la matrice R non ha autovalori uguali a 1, fornisce i tassi di ingresso a ciascun servizio: =[I R] 1 fl: La rete si dice ergodica quando ciascuna coda della rete e ergodica; e necessario quindi che i m i μ i ; 8i: Il numero medio di utenti nella rete e pari alla somma dei numeri medi di utenti presenti in ciascun nodo ed, attraverso la legge di Little si ricava il tempo medio di permanenza nella rete: N =X i N i T = N Pi fl i In una rete di code Markoviane ergodiche con le condizioni poste all`inizio del paragrafo, indicati con n i il numero di utenti presenti presso la risorsa i esima, a regime la funzione densit a di probabilit a congiunta della distribuzione degli utenti presso i diversi nodi e il prodotto delle funzioni di densit a di probabilit a marginali del numero di utenti presso ciascun nodo (teorema di Jackson): ß(n1;:::;n M )=ß1(n1) ß M (n M ) dove le probabilit a marginali ß i (n i ) sono calcolate con la teoria classica delle code, assumendo come tassi di arrivo a ciascuna coda i valori forniti dalla soluzione del sistema: =[I R] 1 fl Va osservato, a conclusione, che due aspetti sono critici per l`esistenza della forma prodotto, questi sono gli instradamenti casuali ed indipendenti dallo stato e le code a capacit a infinita. In altri termini, la presenza di una politica d`instradamento deterministico, come ad esempio quando ogni utente in uscita ad un servizio e indirizzato fra i servizi in alternativa a quello con la coda minore, fa cadere la forma prodotto. Lo stesso avviene quando il riempimento di una coda di capacit a finita causa il bloccaggio dei nodi all`origine impedendo lo scarico degli utenti che hanno completato il servizio. Esempio Si consideri la rete di code Markoviane rappresentata in Figura 5.2, dove fl = 10, μ1 = 50, μ2 = 25, μ3 =25eμ4 =30.

5 γ µ 1 M 2 µ 4 M 1 µ 3 M 4 M3 Figura 5.2: Rete di code aperta. 1. Descrivere il tipo di rete e determinarne le condizioni di ergodicit a. 2. Calcolare il numero medio di pezzi nel sistema. 3. Calcolare il tempo medio di attraversamento del sistema. Soluzione. Si tratta di una di una rete di code aperta, in quanto il numero di utenti nella rete non e prefissato, con partenze ed arrivi da e verso l`esterno. Consideriamo la rete a regime e denotiamo con i i tassi di ingresso alle macchine M i. Applicando una tecnica di bilanciamento dei flussi a ciascun nodo (servizio) della rete si ottiene: i =X fl ih +X h j r ij j ; i =1;:::;n (5.1) dove fl ih rappresenta il tasso medio del flusso h in ingresso dall`esterno della rete verso il nodo i, ed r ij e il coefficiente di instradamento dal nodo j al nodo i. In forma matriciale: = Hfl + R = I R Λ 1 Hfl (5.2) dove R e la matrice delle probabilit a di routing, ed H e la matrice dei pesi dei flussi in ingresso alla rete i cui elementi possono soltanto assumere valori 0 ed 1. dell`esercizio si ha fl = [10], H = :5 0: ; R = 0: : :5 0:5 0 Con i dati e =[20; 10; 10; 10] T. La rete si dice ergodica quando ciascun servizio e ergodico, ovvero: ρ i = i m i μ i» 1; 8i (5.3)

6 dove m i e il numero di serventi relativo alservizio i. In questo caso la rete risulta ergodica in quanto: ρ1 = =0:4; ρ 2 = =0:4; ρ 3 = =0:4; ρ 4 = =0:3333: Il numero medio di pezzi presenti nel sistema e pari alla somma dei numeri medi di pezzi presenti in ciascun servizio. Assumendo ciascun servizio del tipo M=M=1 si ottiene: N =X N i =X i i ρ i 1 ρ i =2:5: Il tempo medio di attraversamento del sistema (tempo medio di permanenza nella rete) viene calcolato applicando la legge di Little: T tot = P Pi N i i Ph fl ih = 2:5 10 = :25: Ξ Esempio Si consideri la rete di code rappresentata in Figura 5.3, dove =1,μ1 =4, μ2 =2,μ3 =0:2. λ Μ 1 µ Μ 2 1 r 21 M/M/1 r 31 Μ 3 µ 3 M/M/1/2 M/M/1 Figura 5.3: Rete di code aperta. 1. Stabilire una politica di routing che consenta di lavorare tutti i pezzi in arrivo al sistema e determinare di conseguenza i coefficienti di routing r21 e r Con riferimento alla politica di routing indicata al punto precedente, calcolare per quali valori di μ3 il tempo medio di attraversamento della rete e minore di 2 unit a ditempo. Soluzione. Si tratta di una di una rete di code aperta, per la quale la politica di instradamento ottimale per i pezzi in ingresso alla rete consiste nel proporre i pezzi in uscita dalla macchina M1 alla macchina M2, avente una capacit a finita, fino a saturare la sua massima capacit a. In tal caso i pezzi vengono proposti in ingresso alla macchina M3 che ha invece

7 una capacit a infinita. Pertanto, secondo questa politica di instradamento, la macchina M2 accetta pezzi in uscita dalla macchina M1 solo se e vuota" oppure ha un solo pezzo in coda di attesa. Si noti che la propriet a della forma prodotto nelle reti di code e garantita quando gli instradamenti sono casuali. In questo caso per o i pezzi in uscita dalla macchina M1 non sono instradati casualmente verso uno dei vari percorsi alternativi. Tuttavia possiamo in prima approssimazione considerare ciascun servizio isolatamente e definire dei coefficienti di routing che ci consentono di studiare la rete come se gli instradamenti fossero casuali. Consideriamo dapprima la macchina M2 di tipo M=M=1=2. Il suo stato (numero di pezzi presenti nel servizio) e rappresentato dall`automa in Figura λ 1 λ 2 Figura 5.4: Automa della coda M=M=1=2. 8>< >: Indicando con ß2(i) la probabilit a per la macchina M2 di trovarsi nello stato i ed applicando una tecnica del bilanciamento dei flussi ricaviamo: ß2(0) = μ2ß2(1) 2X ß2(1) = μ2ß2(2) ß2(i) =1 i=0 ) 8>< >: ß2(0) = 0:5714 ß2(1) = 0:2857 ß2(2) = 0:1429 Alternativamente, potevamo calcolare le probabilit a di stato per la macchina M2 applicando la seguente formula: ß2(i) = 1 ρ 2 1 ρ 3 ρ i 2 ; i =0; 1; 2 (5.4) 2 dove ρ2 = μ 2 e il fattore di utilizzo della macchina M2. In condizione stazionarie, il tasso medio di attraversamento della macchina M2 risulta: 2 = μ2 ß 2(1) + ß2(2) Λ = ß2(0) + ß2(1) Λ =0:8571 e quindi 8 <: r21 = 2 =0:8571 r31 =1 r21 =0:1429

8 da cui 3 = r31 = 0:1429 e il tasso di attraversamento della macchina M3. Per calcolare il tempo medio di attraversamento della rete applichiamo la legge di Little, calcolando dapprima il numero medio N i di pezzi presenti in ciascun servizio. Ovvero: N1 = ρ 1 1 ρ1 =0:3333; ρ 1 = μ1 =0:25 N2 = ß2(1)+2ß2(2) = 1 ρ 2 1 ρ2 3 ρ Λ 2 +2ρ 2 =0:5714; ρ 2 = 2 μ2 =0:4286 N3 = ρ 2 1 ρ2 = 3 μ3 3 = 0:1429 μ3 0:1429 dove il tasso di servizio μ3 e il parametro incognito ottenuto risolvendo: da cui μ3 0:2733. T tot = 1 3X i=1 N i» 2 ) 0: :1429 μ3 0:1429» 2 Ξ 5.3 Problemi proposti Problema Si consideri la rete di code aperta di Figura 5.5, dove le stazioni sono M=M=1, con μ1 =5, μ2 =4, μ3 =1, fl1 =4. Si determinino i coefficienti d`instradamento in una politica probabilistica che minimizzano il tempo d`attraversamento della rete e si calcolino in queste condizioni tassi di utilizzo delle stazioni numero medio di utenti nella rete e tempi d`attraversamento. γ 1 r 21 λ 2 λ 1 µ 1 r 31 λ 3 µ 3 Figura 5.5: Rete di code aperta. Problema Si consideri la rete di code aperta di Figura 5.5. Si determini una politica d`instradamento intelligente che minimizzi il numero medio di utenti nella rete (multiservente asimmetrico). Nelle condizioni precedenti si determinino i tassi di utilizzo delle stazioni ed il tempo medio d`attraversamento Problema Si consideri la rete di code aperta di Figura 5.5, dove, per o la stazione 2 e M=M=1=2. Strettamente parlando la rete non e risolubile con tecniche classiche, a motivo

9 del bloccaggio della stazione 1. Dire se esiste e determinare una politica d`instradamento (non probabilistica) che eviti il bloccaggio della prima stazione; nelle condizioni precedenti calcolare tutti i dati statistici d`interesse della rete.