4. Calcolare sin d; 38 dove = S (0; ) = fe i ; [0; ß]g: Dalla formula integrale di Cauchy applicata alla funione f () = sin, sin d = 38 37! sin(37) (0

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1 4. Integrali curvilinei complessi. Teorema di Cauchy, formula di Cauchy.. Calcolare d; dove = S (0; ) = fre i ; [0; ß]g; la circonferena di centro 0 e raggio, oppure e il quadrato di vertici 0; ; +i; i, oppure e il segmento di estremi 0; +i. La funione f () = e olomorfa su tutto C. Gli integrali di f sulla circonferena di centro 0 e raggio, e sul quadrato di vertici 0; ; +i; i sono entrambi nulli. Il segmento di estremi 0; +i e dato da (t) =t( + i); t [0; ]: Inoltre 0 (t) =(+i); t [0; ] d = 0 5( + i) 5 t 4 ( + i) 4 t 3 +(+i)dt = ::: =(+i) 5 ( + i) 4 =4 + ( + i):. Calcolare μ + μd; dove = S (0;r)=fre i ; [0; ß]g; la circonferena di centro 0 e raggio r>0. La curva diintegraione e (t) =re it ; t [0; ß]. Inoltre 0 (t) =ire it. ß μ + μd = (re it + r 3 re it re it )ire it dt = ::: = r : 0. Calcolare + d; dove = S (0; 5) = f5e i ; [0; ß]g: Applichiamo la formula integrale di Cauchy alla funione f (), tenendo conto che la curva e percorsa in senso orario: d = f( ) = : + 3. Calcolare ( +4)d; dove = fe i ; [0;ß]g: La funione f e olomorfa su tutto C. Per il teorema di Cauchy, l'integrale di f sulla semicirconferena (percorsa in senso orario), e uguale all'integrale di f sull'intervallo [ ; ] ( +4)d = x +4xdx = ::: =6=3:

2 4. Calcolare sin d; 38 dove = S (0; ) = fe i ; [0; ß]g: Dalla formula integrale di Cauchy applicata alla funione f () = sin, sin d = 38 37! sin(37) (0) = ::: = 37! 5. Calcolare ( )3 d; dove = S (0; ) = fe i ; [0; ß]g: cos(0) = 37! : Scriviamo ( )3 = ( ) 3 8 ( =) 3 e applichiamo la formula integrale di Cauchy alla funione f () = ( ) 3 =8: ( )3 d = f () (=) = ::: = ßi( 9=8): (la derivata seconda e data da f () () = 3 (= )). 6. Siano jaj < < jbj. Per n; m, calcolare dove = S (0; ) = fe i ; [0; ß]g: ( b) m ( a) n d; (questo era il testo esatto dell'eserciio) 8n» 0; m : la funione f () = ( b)m ( a) n e olomorfa all'interno di ( b) m d =0: ( a) n 8n ; m la funione f () =( b) m e olomorfa all'interno di 7. Calcolare ( b) m ( a) n d = (n )! f (n ) (a): e dove = S (0; ) = fe i ; [0; ß]g: d; e ( =) d;

3 Applichiamo la formula integrale di Cauchy alla funione f () =e : 8. Calcolare e d =f(0) = : e p d = ( =) f 0 (=) = ßi e: dove = S (0; 4) = f4e i ; [0; ß]g: ( )( i) d; Scriviamo ( )( i) = 5 ( +i +i ). Osserviamo che =e =i si trovano all'interno del ( ) ( i) disco delimitato da. Applicando la formula di Cauchy alla funione f (), troviamo Alternativamente: ( )( i) d = +i 5 ( ) d +i = f () f (i) =0: 5 ( i) ( )( i) d = ( )( i) d + ( )( i) d; dove e sono due curve chiuse che racchiudono rispettivamente = i e = (ottenute dividendo in due parti e chiudendo le semicirconferene ottenute con una corda, percorsa una volta in un senso e una volta in senso contrario...). Applicando la formula di Cauchy alle funioni f () = ( ), olomorfa all'interno di,ef () = ( i), olomorfa all'interno di,troviamo ( )( i) d + ( )( i) d = f (i) +f () = (i ) + ( i) =0: In questo caso abbiamo usato il fatto (citato, ma non dimostrato) cherff f ()d =Rfi f ()d, se ff e fi sono curve chiuse omologhe. 9. Calcolare dove = S (; 5) = f +5e i ; [0; ß]g: + ( +3)( i) d; Scriviamo + =( +3)( i) +(i ) +6i e + ( +3)( i) + ( + 3)( i) d = =+ (i ) +6i ( +3)( i) =+ d + 3 ( 8 + i +3 + i ( 8 )d i ): i +4i ( 8 )d 3 i

4 = ::: =0+ ( 8 + i i) = +i: 3 (Osservando che i punti = 3 e =istanno all'interno della circonferena e usando la formula di Cauchy, come nell'eserciio precedente). Alternativamente: come nell'eserciio precedente, si puo' speare la curva in modo da applicare la formula di Cauchy alle funioni f () = + ( i) e f () = +. In questo modo si trova (+3) + ( + 3)( i) d = f ( 3) + f (i) = +i: 0. Siano = S (0; ) = fe i ; [0; ß]g; e = S (0; 3) = f3e i ; [0; ß]g: Calcolare +5 ( ) d +5 ( ) d d d ( +)( +4) d ( +)( +4) d La funione f () = +5 ( ) e olomorfa all'interno di,mentre g() = +5 e olomorfa all'interno di : +5 ( ) d +5 d =0+g() = 4 ( ) La funione g() = e olomorfa all'interno di e all'interno di : d d = g(0) g(0) = 0: La funione f () = (+)(+4) e olomorfa all'interno di, quindi d = f (0) = 3=4: ( +)( +4) Scriviamo (+)(+4) = (3=4) + ( ) + + (5=4), e osserviamo che =0e = si trovano all'interno +4 di,mentre = 4 si trova all'esterno ( + )( +4) d = (3=4) + ( ) + + (5=4) d = (3=4 +0)=5=4: +4 In totale, l'integrale richiesto e uguale a =. 4

5 . Sia = S (0; ) = fe i ; [0; ß]g: Per ogni numero reale, dare un esempio di una funione olomorfa non costante sull'anello A = f= < jj < g tale che F ()d = : Consideriamo la funione F () = =: e olomorfa e non costante sull'anello A. Inoltre ( e percorsa in senso orario). F ()d = :. Sia f = u + iv una funione olomorfa su un disco. Fare vedere che (u; v) = gradf e (v; u) = gradg, dove F e G sono funioni armoniche coniugate. Per ogni curva chiusa contenuta nel disco f ()d = udx vdy + i vdx + udy =0,(R udx vdy =0 R vdx + udy =0: Segue che esistono F; G: R! R, taliche gradf =(u; v) e gradg =(v; u): Poiché u; v soddisfano le condiioni di Cauchy-Riemann F e G sono armoniche: x F + y F = Sono inoltre armoniche coniugate: x u + y ( v) =0; x G + y G = x F = y G = u; y F = x G = v: x v + (u) =0: y 5