Analisi Matematica 3, a.a Scritto del quarto appello, 10 luglio 2019 Testi 1

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1 Scritto del quarto appello, luglio 29 Testi. Data f : [ π, π] C di classe C, scrivere i coefficienti di Fourier complessi di f in funzione di quelli di f e del numero mf := fπ f π. 2. Calcolare la Trasformata di Fourier della funzione ux := x2 x Detto D il disco chiuso in C con raggio e centro nell origine, trovare la funzione u : D R continua e armonica all interno di D che soddisfa la condizione al bordo ue it = t Sia I := [, ] e sia X il sottospazio di L 2 I dato dalle funzioni u : I R di classe C 2 tali che u =. Data a : I R funzione di classe C, consideriamo l operatore T : X L 2 I dato da T u := a u. a Dire per quali funzioni a l operatore T è autoaggiunto. b Tra le funzioni a del punto a, dire per quali T è semi-definito positivo. c Tra le funzioni a del punto a, dire per quali T è definito positivo. 5. Sia f : R d R una funzione misurabile, siano, 2,... una successione di insiemi misurabili contenuti in R d e a due a due disgiunti, e sia l unione di questi insiemi. Dimostrare che l uguaglianza f dx = f dx n vale nei seguenti casi: a f ; b f L ; c f è integrabile su. 6. Data una funzione u : R C di classe C 3 e 2π-periodica, consideriamo il problema u tt = u xx + 3u u, π = u, π, u x, π = u x, π u, = u, u t, = a Risolvere il problema per u x := cosx. b Dire per quali u la soluzione del problema è definita su tutto R [ π, π] ed è limitata. 7. a Usando la trasformata di Fourier, trovare una funzione u L R che risolve l equazione u u = + x 2. b Quante soluzioni u in L R ammette di quest equazione? c quante in L 2 R? 8. Sia f : R 3 R la funzione data fx := / x per x e f :=, sia u una funzione in L R 3 e sia A un aperto in R 3 tale che u = q.o. su A; sia infine B := B, la palla chiusa con centro l origine e raggio. a Dire per quali p la funzione f appartiene agli spazi L p R 3, L p B, L p R 3 \ B. b Dimostrare che il prodotto di convoluzione u fx è ben definito per quasi ogni x R 3. c Dimostrare che u fx è ben definito e finito per ogni x A, e che u f è continua su A. d Dimostrare che u f è armonica su A. *

2 2 Scritto del quarto appello, luglio 29 Soluzioni. Indicando come al solito con c n f i coefficienti di Fourier di una funzione f, ottengo π c n f := f x e inx dx 2π π = π 2π fx e inx = n 2π π fπ f π + in 2π π fx ine inx dx 2π π π π Nel secondo passaggio ho integrato per parti. fx e inx dx = n 2π mf + in c nf. 2. Siccome u è una funzione reale e pari, la TdF û è pure reale e pari. Calcolo ûy per y usando il metodo dei residui; indico quindi con f la funzione meromorfa data da fz := z2 e iyz z 4 + 4, e per ogni r > indico con γ,r : [ r, r] C e γ 2,r : [, π] C i cammini dati da γ,r t := t, γ 2,r t := re it ; infine γ r è il cammino ottenuto giungendo γ,r e γ 2,r. In particolare γ r parametrizza in senso antiorario il bordo del semidisco D r ottenuto intersecando il semipiano {z : Imz > } e il disco con centro e raggio r. Osservo ora che per ogni z nel semipiano superiore si ha e iyz = e y Imz, dunque fz z 2 z = O/ z 2, da cui segue che fz dz πr O/r2 =/r γ 2,r ed in particolare questo integrale tende a per r +. Pertanto x 2 ûy := x e iyx dx = lim fz dz r + γ,r = lim fz dz = 2πi Resf, z i, r + γ r dove nell ultimo passaggio ho applicato il teorema dei residui, e in particolare z,2 sono i poli di f nel semipiano {z : Imz > }, vale a dire i=,2 z,2 = ± + i. 2 Osservo ora che f si scrive come rapporto delle funzioni intere gz := z 2 e iyz e hz := z 4 + 4, e siccome h ha uno zero semplice in z,2, ho che Resf, z i = gz i h z i = e iyzi 4z i = z i e iyzi 4 z i 2 = z i e iyzi 8 Mettendo insieme questa formula e le, 2 ottengo infine che per ogni y vale ûy = πi i e iy + i e +iy = π 4 2 ey cos y + sin y, e quindi, ricordando che û è una funzione pari, ûy = π 2 e y cos y sin y. 3. Come al solito, comincio scrivendo la funzione ue it = t 2 in serie di Fourier complessa. Il calcolo dei coefficienti di Fourier mi dà { π 2 /3 per n =, c n = 2 n /n 2 per n.

3 Scritto del quarto appello, luglio 29 Soluzioni 3 Siccome c n < + ue it = π n n 2 e int + e int e la serie converge totalmente, e abbiamo visto a lezione che l estensione armonica di u a tutto il disco è uz = π n n 2 z n + z n = π Re n n 2 z n. 4. Presi u, v X una semplice integrazione per parti e il fatto che a = danno T u ; v = a u v dx = a u v a u v dx, 3 da cui segue che T u ; v u ; T v = a u v u v. 4 a T è autoaggiunto se e solo se a =. L implicazione se segue immediatamente dalla formula 4. Per dimostrare l implicazione solo se mi basta trovare due funzioni u, v X tali che u v u v per esempio ux = x e vx = sinπx e a questo punto l ipotesi che T sia autoaggiunto più la formula 4 implicano che a =. b T è semi-definito positivo se e solo se ax per ogni x I. Osservo per cominciare che essendo a = la formula 3 implica T u ; u = a u 2 dx. 5 Da questa identità segue immediatamente l implicazione se dell enunciato. Dimostro l implicazione solo se per assurdo: se esistesse x I tale che a x > allora, essendo a una funzione continua, esisterebbe anche un intervallo J contenuto all interno di I tale che a > su J, e quindi, presa una funzione u X non identicamente nulla con supporto contenuto in J, la formula 5 implicherebbe T u ; u <, in contraddizione con l ipotesi che l operatore T sia semi-definito positivo. b T è definito positivo se e solo l insieme aperto A := {x: ax < } è denso in I. Comincio con la dimostrazione dell implicazione se : suppongo quindi che A sia denso e faccio vedere che data u X tale che T u ; u = allora u = su I. Siccome g := a u 2 è una funzione negativa o nulla, la formula 5 implica che g = quasi ovunque in I, e quindi ovunque perché g è continua. Ma allora u = su A, da cui segue che che u = su tutto I perché A è denso in I e u è continua. Dunque u è costante, e il fatto che u = implica che u è nulla. Dimostro l implicazione solo se per assurdo, supponendo che A non sia denso in I. Se così fosse dovrebbe esistere un intervallo J contenuto in I tale che a su J, e presa quindi una funzione u X non identicamente nulla con supporto contenuto in J, la formula 5 implicherebbe T u ; u, in contraddizione con l ipotesi che T sia definita positiva. 5. Per ogni m =, 2,... pongo f m := f m. 6 Allora le funzioni f m convergono puntualmente a f su e m f m dx = f dx, m per cui la tesi diventa lim f m dx = f dx. 7 m a Se la funzione f è positiva, allora, la funzioni f m sono positive e convergono a f crescendo, e quindi la 8 segue dal teorema di convergenza dominata. Noto che l ipotesi che A sia denso e la continuità di a implicano che a ovunque.

4 4 Scritto del quarto appello, luglio 29 Soluzioni b Si tratta di un caso particolare del punto c. c Indichiamo con f ± le parti positive e negative di f, e definiamo f m ± come in 6, con f ± al posto di f. Per via del punto a abbiamo che lim f m + dx = f + dx, lim fm dx = f dx. 8 m m Siccome f è integrabile su, almeno uno dei due limiti è finito, e quindi posso sommare i due limiti e scambiare la somma con il limite ottenendo la Al solito, per ogni t indico con c n t i coefficienti di Fourier complessi della soluzione ut, e ottengo che le funzioni c n devono soddisfare il problema di Cauchy { ÿ + n 2 3y = y = c n, ẏ = dove c n sono i coefficienti di Fourier del dato iniziale u. Un semplice calcolo dà { c n cosh 3 n c n t = 2 t per n =, ±, c n cos n 2 3 t per n, ±, e quindi l eventuale soluzione del problema è data dalla serie ut, x = c n cosh 3 n 2 t e inx + c n cos n 2 3 t e inx. 9 }{{} n=,± n,± u n a Se u x = cos x = 2 eix + e ix allora c ± = 2 e c n = per ogni n ±, e quindi la formula 9 si riduce a ut, x = cosh 2 t cosx, e chiaramente questa funzione risolve il problema. b Se u è una funzione 2π-periodica di classe C 3 allora i suoi coefficienti di Fourier soddisfano n 2 c n < +. n Usando questa stima faccio vedere che la formula 9 definisce una funzione u di classe C 2 su R R che risolve. Divido la dimostrazione in più passi. Passo. La prima somma in 9 è finita, e chiaramente definisce una funzione di classe C ; per far vedere che u è una funzione di classe C 2 mi basta far vedere che la seconda somma in 9, quella infinita, converge totalmente su R R, e convergono totalmente anche le serie delle derivate di ordine o 2. In effetti un semplice calcolo mostra che per ogni n u n = sup t,x e anzi per ogni coppia di interi h, k =,,... si ha e quindi la tesi segue dalla stima. c n cos n 2 3 t e inx = c n, D h t D k xu n = n 2 3 h/2 n k c n n k+h c n, Passo 2. La funzione u soddisfa le condizioni al bordo in perché è 2π-periodica in x, e soddisfa le condizioni iniziali in perchè per t = il lato destro della 9 si riduce alla serie di Fourier di u, mentre le derivate in t di tutti gli addendi sono identicamente nulle. Passo 3. La funzione u soddisfa l equazione differenziale in perchè la soddisfano tutti gli addendi che appaiono nel lato destro della 9, e per via della convergenza dimostrata al passo posso scambiare derivate e integrali. Per concludere l esercizio osservo che la seconda somma in 9 definisce una funzione limitata Passo e quindi la soluzione u è limitata se e solo se la prima somma in 9 è limitata. Chiaramente questo succede se c n = per n =, ±, e questa condizione è anche necessaria perché le funzioni cosh 3 t e cosh 2 t tendono a + per t ±, e la prima è di un ordine di infinito superiore alla seconda.

5 Scritto del quarto appello, luglio 29 Soluzioni 5 7. Utilizzando il fatto che F / + x 2 = πe y e che F u u = û 2, l equazione u u = + x 2. 2 può essere riscritta come û 2 = πe y, 3 nel senso che ogni funzione u L R che soddisfa la 2 deve necessariamente soddisfare la 3 e per l iniettività della TdF vale anche il viceversa. a In particolare u risolve 3 se e siccome una soluzione di 2 è data da πe y/2 = F σ /2 û = πe y /2, + x 2 = F ux := 2 π + 4x x 2 b Detta u la soluzione trovata al punto a, si vede subito che anche u è una soluzione di 2. Voglio far vedere che non ci sono altre soluzioni: risolvendo l equazione 3 per ogni y R ottengo ûy = πe y /2 gy, 4 dove g è una qualunque funzione misurabile su R con valori ±. Ma se u appartiene a L R allora û è una funzione continua, e quindi anche gy = e y /2 ûy π è una funzione continua, e pertanto deve essere la funzione costante oppure la funzione costante. Quindi l equazione 2 ammette al più due soluzioni. c Se u L 2 R allora la funzione û non è necessariamente continua, e quindi l argomento usato al punto b non è più valido. Anzi, siccome la funzione e y /2 appartiene a L 2 R e la TdF è una bigezione da L 2 R in sé, ogni funzione della forma ux = F πe y /2 gy 5 con g funzione misurabile arbitraria a valori ± appartiene a L 2 R e risolve l equazione 2, Siccome u non appartiene a L R, quest ultima affermazione va verificata: in effetti è ovvio che u risolve la 7.2, e applicando ad entrambi i termini di questa equazione l anti-trasformata F ottengo la L equazione 2 ha dunque infinite soluzioni in L 2 R. 8. a Usando le coordinate sferiche ottengo f Lp B = B dx x p = 4π dρ ρ d 2 e dunque f appartiene a L p B se e solo se p < 3. Analogamente si dimostra che f appartiene a L p R 3 \ B se e solo se p > 3 incluso p = +. In particolare f non appartiene a L p R 3 per alcun p. b Scompongo f come f = g +g 2 con g := f B e g 2 := f R 3 \B. Poiché u ed g appartengono a L R 3 il prodotto di convoluzione u g x è ben definito per q.o. x R 3, nel senso che l integrale che lo definisce esiste ed è finito. Poiché inoltre g 2 appartiene a L R3, il prodotto u g 2 x è ben definito per ogni x R 3. Da queste due affermazioni segue che u fx è ben definito per q.o. x R 3 e vale u g x + u g 2 x. c Indico con A c il complementare di A in R 3, e per ogni r > indico con A r l insieme dei punti x A tali che distx, A c > r, e pongo f r := f R 3 \B,r. 2 In questo passaggio ho usato il seguente fatto, visto a lezione per F : date u, u 2 L 2 R allora il prodotto u u 2 appartiene a L R e F u u 2 = 2π F u F u 2.,

6 6 Scritto del quarto appello, luglio 29 Soluzioni Osservo ora che per ogni x A r vale che u fx = uy fx y dy = A c uy f r x y dy = u f r x. A c 6 Nel primo e terzo passaggio ho usato che uy = per q.o. y A, nel secondo passaggio ho usato che per ogni x A r e y A c si ha x y > r e quindi fx y = f r x y. Siccome la funzione f r appartiene a L R 3, il prodotto u f r x è ben definito e continuo per ogni x R 3, e di conseguenza la 6 implica che anche u fx è ben definito e continuo per ogni x in A r. Per concludere basta osservare che l unione di tutti gli aperti A r con r > è proprio A. c Dimostro che u f la proprietà della media su A. Prendo una palla chiusa B = Bx, r contenuta in A ed osservo che u fx dx = uy fx y dy dx B B A c = uy fx y dx dy = uy fz dz dy 7 A c B A c B y dove B y := Bx y, r. Nel secondo passaggio ho usato il teorema di Fubini, che giustifico dopo, e nel terzo il cambio di variabile z = x y. Osservo ora che per ogni y A c si ha x y > r, quindi la palla B y non contiene l origine, e siccome la funzione f è armonica su R 3 \ {}, ha la proprietà della media su B y, cioè fz dz = fx y. B y Inserendo questa uguaglianza nella 7 ottengo infine u fx dx = uy fx y dy = u fx, B A c e la proprietà della media è dimostrata. Per giustificare l uso del teorema di Fubini in 7, prendo ρ > tale che distx, A c = r + ρ, e osservo che per ogni x B = Bx, r si ha distx, A c ρ, e quindi per ogni y A c si ha x y ρ, che a sua volta implica fx y /ρ. Pertanto uy fx y dx dy A c B ρ uy dy u A ρ c < +. Commenti sercizio 2. Nella soluzione sopra ûy è stata calcolata solo per y, usando poi che û è funzione pari per ottenere la formula per y >. Tuttavia è possibile calcolare direttamente ûy anche per y > : in questo caso il cammino γ r a cui si applica il teorema dei residui è quello che parametrizza in senso orario il bordo del semidisco D r dato dall intersezione del semipiano {z : Imz < } con il disco di centro e raggio r. Così facendo si ottiene: ûy = 2πi Resf, z i, i=3,4 dove z 3,4 sono i poli di f nel semipiano {z : Imz < }, vale a dire z 3,4 = ± i. Molti dei presenti hanno scritto la formula con il segno opposto forse dimenticando che in questo caso γ r percorre D r in senso orario e non antiorario. Questo errore poteva essere rilevato, perché dà luogo a una funzione û discontinua in mentre le TdF di funzioni : L sono sempre continue. sercizio 2. Una soluzione alternativa parte dall identità 4x x = x 2 2x + 2 x 2 2x + 2 = x 2 + x

7 Scritto del quarto appello, luglio 29 Soluzioni 7 Usando infatti le formule F vx h = e ihy ˆvy e F x 2 = πe y + ottengo la TdF di x/x Usando poi la formula F ix vx = ˆv y ottengo infine la TdF di x 2 /x sercizio 4. Molti dei presenti hanno scritto le caratterizzazioni richieste ai punti a e b correttamente, ma stranamente hanno fatto vedere solo alcune delle implicazioni necessarie a dimostrare queste caratterizzazioni. sercizio 6b. Diversi dei presenti hanno omesso di dimostrato solo che la seconda somma nella formula 9 converge totalmente, ma non che convergono le serie delle derivate. Questo basta a dimostrare che un eventuale soluzione u del problema è limitata se e solo se vale la, ma non basta a dimostrare che u esiste per tutti i tempi cosa che è necessaria per risolvere completamente l esercizio. sercizio 7b. Diversi dei presenti hanno scritto che l equazione 2 ha un unica soluzione, dimenticando per qualche fatale istante che ogni numero diverso da zero ammette due radici quadrate...