Esercizi 5: Limiti, asintoti, studio parziale del grafico di una funzione e derivate. Limiti notevoli
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- Emilia Di Gregorio
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1 Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in Farmacia - anno acc. 2012/2013 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 5: Limiti, asintoti, studio parziale del grafico di una funzione e derivate Calcolare i seguenti limiti. tgx Esercizio 1. lim x 0 x Soluzione. 1 sinx 3 Esercizio 2. lim x 0 + x 4 Esercizio 3. lim x 0 + sin x 3 x Limiti notevoli Soluzione. 1 3 sin 2 x Esercizio 4. lim x 0 x sinx Esercizio 5. lim x 0 x 4 Soluzione. Esercizio 6. lim x 0 ( sin6x 3x x2) Soluzione. 2 3x+5sinx Esercizio 7. lim x 0 4x+7sinx 8 Soluzione. 11 Esercizio 8. lim x ( x 1 x ) 6x Soluzione. e 6 1
2 2 ( Esercizio 9. lim 1+ 1 ) x porre t = x+2 x x+2 Soluzione. e ( Esercizio 10. lim 1 4 ) x+2 x x+3 Soluzione. e 4 ( Esercizio 11. lim 1+ 1 ) 3x x x 5 Soluzione. e 3 Esercizio 12. lim x 0 ln(1 7x) x Soluzione. 7 ln 2 (x+1) Esercizio 13. lim x + x+2 Esercizio 14. lim x + Calcolare i seguenti limiti. e x 3 x 4 +3 e x +1 Esercizio 15. lim x + e x Soluzione. 1 Esercizio 16. lim x 2 + ( ) x 3 Esercizio 17. lim x 0 ln 1 x2 1+x 2 1+x2 Esercizio 18. lim ln x + x 2 1 Limiti
3 3 1+x2 Esercizio 19. lim ln x x 2 1 sin(2x) Esercizio 20. lim x 0 xcosx Soluzione. 2 Esercizio 21. lim x 1 x 1 x 1 Soluzione e x 5 Esercizio 22. lim x + 1+4e x Soluzione e x 5 Esercizio 23. lim x 1+4e x Soluzione. 5 ( 1 )1 3x 1 x Esercizio 24. lim x 1 2 ( 1 )1 3x 1 x Esercizio 25. lim x x 2 x 6 Esercizio 26. lim x 2 x 2 Soluzione. 7 lnx 2 Esercizio 27. lim x + e x 3e 4 +x Esercizio 28. lim x + e x 2 3x 1 Esercizio 29. lim x + x 3 +7
4 4 Studio parziale del grafico di una funzione Determinare il dominio, le eventuali intersezioni con gli assi, il segno, le eventuali simmetrie particolari e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni (gli asintoti delle funzioni sono specificati nelle varie soluzioni). Esercizio 1. y = x x 2 4 Soluzione. x = 2, x = 2 asintoti verticali; y = 0 asintoto orizzontale. Esercizio 2. y = 3x2 +7 x 2 5x+6 Soluzione. x = 2, x = 3 asintoti verticali; y = 3 asintoto orizzontale. Esercizio 3. y = x2 4x 1 x Soluzione. x = 1 asintoto verticale; y = x+3 asintoto obliquo Esercizio 4. y = x2 5x+4 x 5 Soluzione. x = 5 asintoto verticale; y = x asintoto obliquo. Esercizio 5. y = 2x2 2x+3 x+2 Soluzione. x = 2 asintoto verticale; y = 2x 6 asintoto obliquo Esercizio 6. y = 4x2 8x 5 3x+6 Soluzione. x = 2 asintoto verticale; y = 4 3 x 16 3 asintoto obliquo. Esercizio 7. y = x e x Soluzione. y = 0 asintoto orizzontale per x +. Esercizio 8. y = e x+1 2x 2 Soluzione. x = 1 asintoto verticale destro; y = e asintoto orizzontale. Esercizio 9. y = x x 2 2x Soluzione. y = 1 asintoto orizzontale per x + ; y = 2x 1 asintoto obliquo per x. Esercizio 10. y = 2x x 2 4
5 Soluzione. y = x asintoto obliquo per x + ; y = 3x asintoto obliquo per x. Determinare il dominio, le eventuali intersezioni con gli assi, il segno, le eventuali simmetrie particolari e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni (senza soluzioni). Esercizio 11. y = x 1 x 2 +x 2 Esercizio 12. y = ex 1 e x +1 Esercizio 13. y = ln x 1 x 2 +4 Esercizio 14. y = ln x 1 x 2 4 Esercizio 15. y = x 2 6x Esercizio 16. y = 3 x 2 6x Esercizio 17. y = 2 x 3 x+2 Esercizio 18. y = ( )x+2 1 x 8 3 Esercizio 19. y = 1+lnx lnx Esercizio 20. y = lnx 2 x 4 Esercizio 21. y = x+5 lnx e x Esercizio 22. y = x 2 4x+3 Derivate (sfruttando la definizione) Calcolareilrapportoincrementaledelleseguentifunzioninelpuntox 0 enell incremento h segnato a fianco di ciascuna. Esercizio 1. y = 2x x 3 (x 0 = 1, h = 1) Soluzione. 5 Esercizio 2. y = 2x 1 x+1 (x 0 = 0, h = 1) 5
6 6 Soluzione. 3 2 Esercizio 3. y = e 2x 1 (x 0 = 1 2, h = 1 4 ) Soluzione. 4( e 1) Esercizio 4. y = 3+ x 3 (x 0 = 3, h = 1) Soluzione. 1 Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata delle seguenti funzioni nel punto x 0 segnato a fianco di ciascuna. Esercizio 5. y = x 2 +1 (x 0 = 0) Esercizio 6. y = x (x 0 = 4) Soluzione. 1 4 Esercizio 7. y = e 2x +1 (x 0 = 0) Soluzione. 2 Esercizio 8. y = 2x 3 (x 0 = 1) x Soluzione. 3
Esercizi 6: limiti di funzioni e applicazioni. Calcolare i seguenti limiti. Esercizio 1. lim x x. 2 x. Soluzione. 0. Esercizio 2.
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