massimo pasquetto 7 Marzo 2018

Transcript

1 F U N Z I O N I C O N T I N U E E D I S C O N T I N U I TÀ massimo pasquetto I.T.S. Cangrande della Scala Verona 7 Marzo 08 introduzione Dopo aver introdotto il concetto di ite per le funzioni parliamo della continuità delle funzioni in un punto. Abbiamo visto che il ite di una funzione in un punto c dà informazioni del comportamento della funzioni in prossimità del punto, escluso il punto c. Pertanto il risultato del ite di y = f(x) per x c non dipende dal valore che assume la funzione per x = c, se la y f funzione è definita in c. Per esempio data la funzione P x + 3 l interpretazione geometrica del ite x ( x + 3) = fornisce informazioni sul comportamento della funzione negli intorni H di escluso il punto. 0 x funzioni continue Figura : Deitazioni del grafico Definizione. Sia f: A R R e c un punto di accumulazione di A. Si dice che la funzione y = f(x) è continua in c se valgono tutte le seguenti condizioni:. c A, cioè f(c) esiste. esistono finiti e sono uguali i iti sx e dx di f(x) per x c, ovvero l x c x c + 3. la funzione calcolata in c coincide con il valore assunto dai iti sx e dx, f(c) = l Se c è un punto isolato di A allora si dice che la funzione f è continua in c se vale solo la condizione () delle precedenti.

2 funzioni continue (a) Esercizio, grafico di y = f(x) 3 (b) Funzione con un punto isolato Figura : Funzioni continue in un punto Esercizio. Sia f: A R R così definita x 3 +, se x < ;, se x = ; x +, se x >. x Verificare che la funzione è continua per x =. Svolgimento. Il dominio della funzione è A = R e è un punto di accumulazione per A. Verifichiamo le tre condizioni date nella definizione di continuità.. A e f() =. x x (x3 + ) = x + x + x + x = quindi l = x 3. il ite sx e il ite dx coincidono con il valore della funzione per x =, cioè f() = l La funzione data y = f(x) è continua per x =. Esercizio. Sia f: A R R così definita x + 3, se x 0; 3, se x = ; x, se x. Verificare che la funzione è continua per x =. Svolgimento. Il dominio della funzione è A = {x R x 0 x = x } e è un punto isolato per A qundi non si possono calcolare i iti sx e dx. Verifichiamo solo la prima condizione della definizione di continuità.. A e f() = 3 Per definizione la funzione data y = f(x) è continua per x =.

3 3 punti di discontinuità 3 3 punti di discontinuità Sia f: A R R una funzione e c un punto di accumulazione per A. Si dice che y = f(x) ha un punto di discontinuità per x = c, se per x = c la funzione non è continua. Se c non è un punto di accumulazione per A e c / A, allora non ha senso chiedersi se c è un punto di discontinuità. I punti di discontinuità di una funzione vengono classificati in base alla condizione di continuità che non verificano. Ipotizziamo che c sia un punto di accumulazione di A appartenente o non appartenente al dominio della funzione. 3. Punti di discontinuità di prima specie (o con salto) Definizione. Si dice cha la funzione y = f(x) ha un punto di discontinuità di prima specie per x = c se la funzione ammette ite sinistro e destro finiti ma diversi per x che tende a c. l x c s e x c + l d con l s l d La differenza in valore assoluto del ite sinistro e di quello destro si chiama salto della funzione nel punto di discontinuità. s = l s l d Esercizio 3. Sia f: A R R così definita x 3, se x < ; x +, se x. Verificare che la funzione nel punto x = ha una discontinuità di prima specie. Svolgimento. La funzione data è una funzione definita a tratti, è l unione di due semirette. Il dominio della funzione è A = R quindi è un punto di accumulazione per A. Per determinare il tipo di discontinuità procediamo come nella verifica della continuità.. A e f( ) = ( ) + =. x x ( x 3) = (l s = ) x + x +( x + ) = (l d = ) poiché il ite sx e dx sono diversi, l s l d, possiamo affermare che il ite per x che tende a della funzione data non esiste. Pertanto, x ( = non esiste) La funzione data ha una discontinuità di prima specie nel punto x = perché i iti sinistro e destro esistono finiti ma sono diversi. In figura 3 il grafico della funzione dell esercizio 3. La differenza in valore assoluto del ite sinistro e di quello destro si chiama salto della funzione. In questo caso s = l s l d = 3

4 3 punti di discontinuità 4 l d 4 3 c l s Figura 3: Esercizio 3, discontinuità di prima specie 3. Punti di discontinuità di seconda specie Definizione 3. Si dice che c è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione y = f(x) se, in x = c, almeno uno dei due iti, sinistro o destro, è infinito oppure non esiste. Esercizio 4. Sia f: A R R così definita 4, se x ; x, se x >. x + Verificare che la funzione nel punto x = ha una discontinuità di seconda specie. Svolgimento. La funzione data è una funzione definita a tratti, è l unione di due rami di iperboli equilatere traslate. Il dominio della funzione è A = R quindi è un punto di accumulazione per A. Per determinare il tipo di discontinuità procediamo come nella verifica della continuità.. A e f( ) =. x x 4 ( ) = 4 x = (l s = ) x + x + = + (l d = + ) poiché il ite sx e dx sono diversi, l s l d, possiamo affermare che il ite per x che tende a della funzione data non esiste. Pertanto, x + x La funzione data ha una discontinuità di seconda specie nel punto x = perché il ite destro è infinito. 3.3 Punti di discontinuità di terza specie (o einabile) Definizione 4. Si dice che c è un punto di discontinuità di terza specie per la funzione y = f(x) se, in x = c, la funzione ammette ite finito l, cioè il ite sinistro e quello destro sono uguali, ma f(c) l oppure la funzione non è definita in c.

5 4 esercizi svolti 5 Figura 4: Esercizio 4, discontinuità di seconda specie Esercizio 5. Sia f: A R R così definita { x 4x, se x ;, se x =. Verificare che la funzione nel punto x = ha una discontinuità di terza specie. Svolgimento. La funzione data è una funzione definita a tratti, è l unione di una parabola privata di un punto e di un punto. Il dominio della funzione è A = R quindi è un punto di accumulazione per A. Per determinare il tipo di discontinuità procediamo come nella verifica della continuità.. A e f() =. x x (x 4x) = 4 (l s = 4) x + x +(x 4x) = 4 (l d = 4) poiché il ite sx e dx sono uguali, l s = l d, possiamo affermare che il ite per x che tende a della funzione data esiste. Pertanto, 4 (l = 4) x Osservazione: in questo caso anche la seconda condizione per la continuità della funzione è verificato. 3. La funzione ha una discontinuità di terza specie per x = perché = f() l = 4. 4 esercizi svolti Finora abbiamo visto esempi di funzioni discontinue in punti appartenenti al dominio. In generale si dice che una funzione è discontinua in un punto anche se il punto non appartiene al dominio. Alcuni autori distinguono tra punti di discontinuità e punti singolari. Noi indicheremo entrambi i casi con il termine punti di discontinuità

6 4 esercizi svolti 6 Esercizio 6. Si consideri la funzione { 5x + 3, se x < ; x, se x >. Determinare il tipo di discontinuità nel punto x = e rappresentare graficamente la funzione data. Svolgimento. Classificazione: funzione algebrica definita a tratti, unione di due semirette. Dominio: A = {x R x < x > } = {x R x } è punto di accumulazione per A (in ogni intorno di ci sono infiniti punti di A). Analisi della funzione per x =.. A, quindi sicuramente la funzione non è continua per x =.. x x ( 5x + 3) =, (l s = ) x + x +(x ) = 0, (l d = 0) I sx e dx esistono finiti ma sono diversi l s l d, pertanto il f(x) x non esiste La funzione data ha una discontinuità di prima specie per x = con salto s = 0 = Esercizio 7. Studiare la continuità della funzione x + 4 x. Svolgimento. Classificazione: funzione algebrica razionale fratta, iperbole equilatera traslata. Dominio: A = {x R x }. Continuità: la funzione è continua in tutto R eccetto che comunque è punto di accumulazione per il dominio. Analisi della funzione per x = :. A, quindi la funzione è discontinua per x =. x + 4. x x =, (l s = ) x + 4 x + x = +, (l d = + ) Poiché almeno uno dei due iti (in questo caso entrambi) è infinito la funzione ha una discontinuità di seconda specie per x =. Esercizio 8. Sia data la funzione { x +, se x < 0; x +, se x > 0. Determinare il tipo di discontinuità nel punto x = 0 e rappresentare graficamente la funzione data.

7 4 esercizi svolti 7 Svolgimento. Classificazione: funzione algebrica definita a tratti, unione di un arco di parabola e di una semiretta. Dominio: A = {x R x 0} Continuità: la funzione è continua per tutti i numeri reali eccetto 0 che deve essere studiato a parte. Il punto 0 è un punto di accumulazione per A (cioè in ogni intorno di 0 ci sono infiniti punti di A).. 0 A, quindi sicuramente la funzione non è continua per x = 0.. x 0 x 0 (x + ) =, (l s = ) x 0 + x 0 +( x + ) =, (l d = ) I sx e dx esistono finiti inoltre sono uguali, l s = l d, pertanto il, cioè l =. x 0 3. la funzione non esiste per x = 0, f(0) =, dunque la funzione ha una discontinuità di terza specie per x = 0. Esercizio 9. Classificare i punti di discontinuità della funzione Svolgimento. x x x Classificazione: funzione algebrica razionale fratta. Dominio: A = {x R x ±} Continuità: la funzione è continua per tutti i numeri reali eccetto quelli che annullano il denominatore. Entrambi i punti ± sono punti di accumulazione per A. Discontinuità in x =.. A, quindi sicuramente la funzione non è continua per x =. x [ ] x 0 (x + )(x ). x x = F.I. = 0 x (x + )(x ) = x x x = 3, (l s = 3 ) x x x + x = F.I. [ ] 0 =... = 3 0, (l d = 3 ) I sx e dx esistono finiti inoltre sono uguali, l s 3 x, cioè l = 3. = l d, pertanto il 3. la funzione non esiste per x =, f( ) =, dunque la funzione ha una discontinuità di terza specie per x =.

8 4 esercizi svolti 8 Discontinuità in x =.. A, quindi sicuramente la funzione non è continua per x =. x x. x x = +, (l s = + ) x x x + x =, (l d = ) I sx e dx sono infiniti, pertanto il, cioè l =. La x funzione, nel punto x =, ha un punto di discontinuità di seconda specie.