FUNZIONI POLINOMIALI

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1 FUNZIONI POLINOMIALI f:r R, f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +.+a 1 x + a 0, si dice funzione polinomiale, dove n N è il grado della funzione polinomiale, a 0, a 1,., a n R sono i coefficienti della funzione polinomiale, dove a n 0 Si osserva che, per x molto grande in valore assoluto, l addendo a n x n è molto più grande degli altri addendi, per cui il comportamento di f(x) per x molto grande è determinato da a n x n

2 FUNZIONI POLINOMIALI ESEMPIO 1: f(x)= 2x 4 +x 3 2x+1 lim x + ( 2x 4 +x 3 2x+1) = lim x + 2x 4 = Infatti, evidenziando 2x 4 nel polinomio, abbiamo 2x 4 (1 1/(2x) + 1/x 3 1/(2x 4 )) Inoltre, per x>0 1 1/(2x) + 1/ x 3 1/(2x 4 )> 1 1/(2x) 1/(2x 4 ) Determiniamo x in modo tale che 1 1/(2x) 1/ (2x 4 )>1/2, vale a dire 1/2 1/(2x) 1/(2x 4 )>0, da cui 1 (1/x + 1/x 4 )>0, sicuramente soddisfatta, ad esempio per x>10, quindi si avrà, per ogni x>10 2x 4 (1 1/2x + 1/ x 3 1/2x 4 ) < 2x 4 (1/2) = x 4 che al tendere di x a + tende a

3 FUNZIONI POLINOMIALI ESEMPIO 2: f(x)= 4x 5 3x 4 2x 3 +1 lim x + 4x 5 3x 4 2x 3 +1 = lim x + 4x 5 = + Infatti, evidenziando il termine 4x 5, abbiamo 4x 5 (1 3/(4x) 1/(2x 2 )+ 1/(4x 5 )) Per x>0 1 3/(4x) 1/(2x 2 )+ 1/(4x 5 ) > 1 3/(4x) 1/(2x 2 ) Determiniamo x tale che 1 3/(4x) 1/(2x 2 )>1/2, da cui 1/2 3/(4x) 1/(2x 2 )> 0, e quindi 1 (3/(2x) 1/x 2 )>0, valida, ad esempio, per ogni x>10. Essendo, per x>10 4x 5 (1 3/(4x) 1/(2x 2 )+ 1/(4x 5 ))> (4x 5 )(1/2) = 2x 5 + ne segue che anche 4x 5 (1 3/(4x) 1/(2x 2 )+ 1/(4x 5 )) +

4 FUNZIONI POLINOMIALI In particolare: se a n > 0 ed n è pari allora lim x ± a n x n + a n-1 x n-1 +.+a 1 x + a 0 = lim x ± a n x n = + se a n > 0 ed n è dispari allora lim x ± a n x n + a n-1 x n-1 +.+a 1 x + a 0 = lim x ± a n x n = ±

5 FUNZIONI POLINOMIALI In particolare: se a n < 0 ed n è pari allora lim x ± a n x n + a n-1 x n-1 +.+a 1 x + a 0 = lim x ± a n x n =- se a n < 0 ed n è dispari allora lim x + a n x n + a n-1 x n-1 +.+a 1 x + a 0 = lim x + a n x n =- lim x - a n x n + a n-1 x n-1 +.+a 1 x + a 0 = lim x - a n x n =+

6 FUNZIONI POLINOMIALI Per determinare un polinomio di grado n occorrono n+1 condizioni; ad esempio, il passaggio del suo grafico per n+1 punti. ESEMPIO 3: Supponiamo di avere raccolto dati relativi alla temperatura rilevata in una data località il giorno 1 gennaio alle ore 8, in anni successivi. Sia 0 l anno 2000, -1 l anno 1999 con temperature rispettivamente -1 C e -7 C. Abbiamo, quindi, i punti (-1,-7) e (0,-1). Per due punti possiamo far passare una retta y=mx+q m=(-1+7)/(0+1) = 6, q= = -1, dunque y = 6x - 1

7 FUNZIONI POLINOMIALI Aggiungiamo un dato: stessa località 1gennaio 2001, stessa ora, temperatura rilevata 1 C Per i tre punti (-1,-7), (0,-1), (1,1), cerchiamo una funzione quadratica: f(x)=ax 2 + bx +c -7=a -b +c -1=c 1= a+ b+c, da cui -6= a- b 2= a+ b Sottraendo la prima equazione dalla seconda, si ottiene b=4 e dunque a=-2 f(x)=-2x 2 + 4x -1

8 FUNZIONI POLINOMIALI Aggiungiamo un dato: stessa località 1gennaio 2002, stessa ora, temperatura rilevata 17 C Per i quattro punti (-1,-7), (0,-1), (1,1), (2,17) cerchiamo una funzione cubica: f(x)=a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x +a 0-7=-a 3 + a 2 - a 1 + a 0-1=a 0 1= a 3 +a 2 +a 1 + a 0 17=8a 3 +4a 2 +2a 1 +a 0

9 18=8a 3 +4a 2 +2a 1 2= a 3 +a 2 +a 1-6=-a 3 + a 2 - a 1-1=a 0 FUNZIONI POLINOMIALI Sottraiamo dalla prima equazione la seconda moltiplicata per 8; sommiamo alla seconda equazione la terza 18 = 8a 3 +4a 2 +2a 1 2 = -4a 2-6a 1-4 = 2 a 2-1=a 0

10 18 = 8a 3 +4a 2 +2a 1 2 = -4a 2-6a 1 FUNZIONI POLINOMIALI -4 = 2 a 2-1=a 0 da cui a 0 = -1, a 1 =1, a 2 =-2, a 3 =3 quindi f(x) =3x 3-2x 2 + x - 1

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12 FUNZIONI POLINOMIALI Se x 0 è una radice del polinomio f(x)= a n x n + a n-1 x n-1 +.+a 1 x + a 0 (vale a dire f(x 0 )=0 ), dividendo il polinomio per x- x 0 otteniamo un polinomio quoziente q(x) di grado < n e resto 0, quindi f(x) = (x- x 0 )q(x). Se q(x) è ancora divisibile per x - x 0, possiamo ancora dividere, ottenendo f(x) = (x- x 0 ) 2 q 1 (x). In generale, se il polinomio è divisibile per x-x 0 r volte, possiamo scrivere f(x) = (x- x 0 ) r q r (x). dove chiameremo r molteplicità della radice

13 FUNZIONI RAZIONALI Si chiama funzione razionale una funzione esprimibile come rapporto tra due polinomi f(x)=[a n x n +a n-1 x n-1 + +a 0 ]/[b m x m +b m-1 x m-1 + +b 0 ] m,n N a n, a n-1,, a 0, b m, b m-1,, b 0 R, a n, b m 0 Il numero max(n,m) è detto grado della funzione razionale Esempi: f(x) = ( 3x 3 - x 2 +2)/(x 4-2x 2-1); f(x) = 2/x ; f(x) = (x 3-1) /(x+1)

14 FUNZIONI RAZIONALI f(x) = k /x = kx -1, a 0 Rappresenta la relazione di proporzionalità inversa un punto (x,y) appartiene al grafico di f se e solo se xy=k iperbole equilatera Dominio: R/{0} Per k>0 ed x>0, quando x diventa molto piccolo, 1/x diventa molto grande M>0 δ>0 : 0 < x < δ f(x) > M lim x 0 + k/x = + limite destro

15 FUNZIONI RAZIONALI Per k>0 ed x<0, quando x diventa molto piccolo in valore assoluto, 1/x diventa molto grande in valore assoluto, rimanendo negativo M> 0 δ>0 : - δ < x < 0 f(x) < - M lim - x 0 k/x = - limite sinistro Il grafico di f, considerati questi limiti, si avvicina sempre di più all asse delle ordinate. Si dice che l asse delle ordinate è asintoto verticale della funzione. Per k<0, ovviamente i segni dei due limiti si scambiano

16 FUNZIONI RAZIONALI Per k>0 (ma anche per k<0), quando x diventa molto grande in valore assoluto, 1/x diventa molto piccolo in valore assoluto, rimanendo positivo o negativo a seconda che x >0 oppure x<0 rispettivamente (con segno contrario per k<0). ε> 0 Μ>0 : x >M o x< -M f(x) < ε lim x ± k/x = 0 Il grafico di f, considerati questi limiti, si avvicina sempre di più, al crescere di x in valore assoluto, all asse delle ascisse. Si dice che l asse delle ascisse è asintoto orizzontale della funzione. Analogamente per k<0.

17 FUNZIONI RAZIONALI 0< x 1 < x 2 0 < 1/x 2 < 1/x 1 Se k>0, 0 < k/x 2 < k/x 1 quindi f è strettamente decrescente sulla semiretta (0, + ) analogamente, f risulta strettamente decrescente anche sulla semiretta (-, 0). Quando k<0, f risulta strettamente crescente (dimostralo!) su entrambe le semirette. Attenzione! f(x)=k/x, k>0, non è strettamente decrescente (o per k<0, strettamente crescente) sull intero dominio (perché?)

18 La funzione 1/x

19 f(x) = 1/x, zoom intorno all origine

20 FUNZIONI RAZIONALI Lo studio di funzioni razionali fratte del tipo f(x)=(ax +b)/(cx+d) può essere ricondotto a quello di f(x)=k/x, infatti f(x) = (ax +b)/(cx+d) = [(a/c)x+b/c]/[x+d/c]= [(a/c)(x+d/c) +b/c -ad/c 2 ]/[x+d/c]= = a/c +[(bc-ad)/c 2 ]/(x+d/c) Posto k = (bc-ad)/c 2, dal grafico di k/x si passa a quello di k/(x+d/c) spostando il grafico di k/x a destra, se d/ c<0, a sinistra, se d/c>0. Dunque la singolarità che k/x ha per x=0, diventa per k/(x+d/c) il punto x=-d/c (asintoto verticale). Dominio, quindi, R/{-d/c}

21 FUNZIONI RAZIONALI f(x)=(ax +b)/(cx+d) = a/c +[(bc-ad)/c 2 ]/(x+d/c) Basta ora traslare di a/c verticalmente il grafico di k/(x+d/ c) verso l alto se a/c>0, verso il basso se a/c <0. Quindi y=a/c diventa asintoto orizzontale per f(x). lim x ± f(x) =a/c ε> 0 Μ>0 : x >M o x< -M f(x)-a/c < ε

22 FUNZIONI RAZIONALI L asintoto verticale x =-d/c = x 0, per bc-ad >0, avrà il significato di lim x x0 + f(x) = + M> 0 δ>0 : 0< x- x 0 < δ f(x) > M e lim x x0 - f(x) = - M> 0 δ>0 : - δ < x- x 0 < 0 f(x) < - M Inoltre si osserva che tutti i punti del grafico soddisfano alla condizione (x+d/c)(y-a/c) = (bc-ad)/c 2

23 ESEMPIO GRAFICO: f(x) = 1/(x+2)

24 ESEMPIO GRAFICO: f(x)=(2x+1)/(x-1)

25 FUNZIONI RAZIONALI Esempio: v(p)= 0.95 (70-p)/(p+12), esprime la velocità (in cm/sec) con cui un muscolo sartorio della coscia di una rana si estende per sollevare un peso p (in grammi). Come funzione v(p) è definita per p -12; per il suo significato biologico deve essere p 0; a=-0.95, b=70 (0.95)=66.5, c=1, d=12, dunque k=(bcad)/c 2 = 77.9>0 per cui v è strettamente decrescente per p>-12 e quindi per p 0 (maggiore è il peso, minore la velocità di estensione), quindi la velocità massima di estensione si ha per p=0, v(0) 5.54 cm/sec. v(p)=0 per p=70, la rana non riesce a sollevare un peso p 70 grammi

26 LIMITI Quale significato dare a lim x x0 f(x)=l? ε>0, δ>0 tale che 0< x-x 0 <δ f(x) - l <ε Possiamo usare il concetto di limite per definire la continuità di una funzione f: I R R, dove I è un intervallo, è continua in un punto x 0 I, se lim x x0 f(x)= f(x 0 ). La funzione è continua in I se lo è per ogni punto di I.

27 LIMITI Proprietà algebriche dei limiti, valide per limiti finiti: lim x x0 [f(x) ± g(x)] = lim x x0 f(x) ± lim x x0 g(x) lim x x0 [f(x) g(x)] = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x) lim x x0 f(x)/ g(x) = lim x x0 f(x)/ lim x x0 g(x) Quest ultima valida se lim x x0 g(x) 0 Alcune di queste regole valgono anche per limiti infiniti, ad esempio vale ± ± = ±, ma non vale, in generale per + -!

28 Non creano problemi: ± ± = ± LIMITI c ± = ± c / ± =0 c (± ) =± /c=±, per c>0 c (+ ) = + /c = -, c ( ) = /c = +, per c<0

29 LIMITI Forme indeterminate (quando abbiamo bisogno di avere maggiori informazioni per decidere se il limite esiste e, se esiste, quanto vale): + - ± 0 ± / ± 0/0

30 FUNZIONI RAZIONALI Nel caso generale la funzione razionale f(x)=[a n x n +a n-1 x n-1 + +a 0 ]/[b m x m +b m-1 x m-1 + +b 0 ] Sarà definita su tutti i reali escluso le eventuali radici del polinomio al denominatore, vale a dire esclusi quei valori di x per i quali si ha b m x m +b m-1 x m-1 + +b 0 =0 Esempio: f(x)= (x 3 +1)/(x 2-1) essendo x 2-1=0 per x=1 oppure x=-1, dunque la funzione è definita per R/{-1,1}

31 FUNZIONI RAZIONALI Nel caso delle funzioni razionali f(x)=[a n x n +a n-1 x n-1 + +a 0 ]/[b m x m +b m-1 x m-1 + +b 0 ] Quando x tende all infinito, il numeratore si comporta come a n x n ed il denominatore come b m x m, quindi f(x) si comporta come a n x n / b m x m = a n / b m x n-m 0 se n<m lim x ± f(x) = lim x ± a n / b m x n-m = a n / b m se n=m ± se n > m