( x) ( ) = lim. x = = lim. lim. lim. lim = = + sin. lim 1 = lim + +

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1 Esercizi pongo quindi Pongo e e Pongo e

2 e [ ln ln ] ln [ ln ln ] ln ln ln cos ln cos ln ln cos,7,69,6 ln ln, 7 ln 5,69 ln ln cos ln ln ln e Calcolare il dominio e gli eventuali atoti verticali e orizzontali per le eseguenti funzioni R \ { 5; } Atoti verticali

3 La retta 5 è atoto verticale La retta è atoto verticale. Atoti orizzontali La retta è atoto orizzontale. 7 5 valori interni, ± Quindi il dominio è dato dall intervallo 5 5. Poiché non vi sono punti di discontinuità per la funzione nell intervallo 5 5 e gli estremi sono valori compresi, non vi sono atoti verticali. Inoltre poiché il dominio della funzione è itato inferiormente da 5 e superiormente dal 5 i valori ite per la, cioè ± non sono valori compatibili con il dominio, pertanto non esistono nemmeno atoti orizzontali. e L unico problema per la funzione è dato dal denominatore dell esponente, pertanto

4 Atoti verticali e e e e e e Il punto non è un atoto verticale per la funzione ma una discontinuità di terza specie. e e Atoti orizzontali e e e e e e e e La retta e è atoto orizzontale. Questionario Dimostrare il ite notevole ln ln ln. ln ln ln e pongo Spiega come si determina l atoto obliquo. Definizione: si definisce atoto obliquo per una funzione f una retta del tipo quale risulti e q f m l R \ m { } [ f m ] R m q per la

5 Per determinare l esistenza dell atoto obliquo possiamo considerare il seguente schema: Atoto Obliquo m f m ± ] ;[ ] ; [ Atoto Obliquo m [ f m] ± R Atoto Obliquo Atoto Obliquo Soltanto alla fine del processo illustrato possiamo concludere l esistenza dell atoto obliquo, in tutti gli altri casi l atoto obliquo non esiste e la funzione tende ad infinito in maniera generica. La funzione f esiste per assume valore: Individuare la risposta e giustificare la scelta effettuata. assume valore diverso sia da che da non La risposta corretta è la seconda, infatti Infatti poiché, cioè il seno assume valori itati le quantità e sono anch esse itate, pertanto i rapporti e rappresentano la divisione tra una quantità oscillante ma in ogni caso finita ed una quantità infinitamente grande, pertanto il loro quoziente vale per [ ] Il dominio della funzione ln è l insieme: < < < <

6 Individuare la risposta e giustificare la scelta effettuata. Consideriamo gli estremi degli intervalli proposti e sostituiamo i valori compresi all interno della f [ ]. [ ] ln[ ] ln[ ] ln funzione proposta ln f ln impossibile Pertanto è un valore che non può appartenere al dominio della funzione, quindi possiamo scartare le risposte e. [ ] [ ] [ ] [ ] ln[ ] ln[ ] f ln ln ln f ln Il dominio richiede inoltre che, quindi, essendo - un valore accettabile la risposta corretta ne deve tener conto pertanto la va scartata perché esclude tale valore dal dominio. La risposta corretta quindi è la. 5 Spiegare la differenza per una funzione tra discontinuità di prima specie e l atoto obliquo. Una discontinuità di prima, seconda o terza specie dipende da eventuali punti critici per la funzione che si ottengono determinando il dominio e studiando il comportamento della funzione in corrispondenza dei esclusi. L indicazione che se ne trae è il comportamento della funzione in corrispondenza di goli valori finiti. Lo studio dell atoto obliquo invece serve per determinare il comportamento della funzione all infinito, in particolare per verificare se essa ha un andamento atotico ad una retta inclinata rispetto l asse orizzontale. 6 È sempre possibile calcolare per una funzione l atoto orizzontale? Spiegare la risposta con degli esempi. No, non è sempre possibile determinare gli atoti orizzontali per una funzione, infatti per esempio detto k >, si ha che: una funzione f con domino [ k ; [ non ammette atoto orizzontale istro, in quanto la funzione non può assumere tale valore perché itata inferiormente, mentre può esistere l atoto orizzontale destro; una funzione f con domino ] ;k] non ammette atoto orizzontale destro, in quanto la funzione non può assumere tale valore perché itata superiormente, mentre può esistere l atoto orizzontale istro; una funzione f con domino ] k;k[ non ammette atoto orizzontale né destro né istro, in quanto la funzione non può assumere tali valore perché itata inferiormente e superiormente.

7 7 La funzione f Calcoliamo il ite e ha un atoto verticale nel punto? e Poiché i iti destro e istro esistono finiti e sono uguali, nel punto la funzione non presenta atoto verticale ma una discontinuità di terza specie. Determina il dominio e gli eventuali atoti verticali per la funzione ln > tale relazione è sempre verificata tranne per il caso in cui, si dovranno pertanto einare quei valori che annullano l argomento del valore assoluto. che rappresenta il dominio. Verifichiamo la presenza di atoti verticali. ln ln ln ln ln ln La retta è un atoto verticale per la funzione assegnata.