Capitolo 7. Studio di funzione

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1 Capitolo 7 Studio di funzione Consideriamo una funzione f : (a, b) R R. Abbiamo che 0 (a, b) è un punto di minimo relativo se esiste un intorno I( 0 ) (a, b) tale che f() f( 0 ) per ogni I( 0 ). massimo relativo se esiste un intorno I( 0 ) (a, b) tale che f() f( 0 ) per ogni I( 0 ) punto di estremo relativo se è punto di massimo relativo o minimo relativo per f. punto stazionario se f ( 0 ) = 0; punto critico se ivi la derivata non esiste o è f ( 0 ) = 0; Siano, y (a, b) tali che < y. Allora diremo che: f è crescente in (a, b) se f() f(y); f è strettamente crescente in (a, b) se f() < f(y); f è decrescente in (a, b) se f() f(y); f è strettamente decrescente in (a, b) se f() > f(y); 7. Alcuni teoremi sulle funzioni derivabili Teorema 7. (Fermat). È data una funzione f : (a, b) R R derivabile, con a, b R. Se 0 (a, b) è un punto di estremo, allora 0 è un punto stazionario. Dimostrazione. Faremo la dimostrazione solo nel caso in cui 0 sia un punto di minimo. Il caso in cui 0 è di massimo viene lasciato per esercizio. Dunque, sia 0 (a, b) un punto di minimo per f, allora esiste un intorno I( 0, r) tale che f() f( 0 ) I( 0, r). Per < 0 si ha f() f( 0 ) 0 e 0 < 0 e quindi f() f( 0 ) 0 0, 88

2 7. - Alcuni teoremi sulle funzioni derivabili e invece per > 0 si ha f() f( 0 ) 0 e 0 > 0 e quindi f() f( 0 ) 0 0. Per l inverso del teorema della permanenza del segno (vedi il capitolo sui iti) si ha che (7.) 0 f() f( 0 ) f() f( 0 ) 0 0. Poiché per ipotesi la funzione è derivabile in 0 allora i iti in (??), che derivata di f rispettivamente sinistra e destra in 0, sono uguali a zero. Quindi la derivata di f in 0 è zero. Teorema 7. (Rolle). È data una funzione f : [a, b] R R, con a, b R. Se f è derivabile in (a, b), continua in [a, b] e f(a) = f(b), allora esiste un punto c (a, b) tale che f (c) = 0. Dimostrazione. Siamo in presenza di una funzione f continua in un intervallo chiuso e itato. Ne consegue, per il teorema di Weierstraß, che f ammette punto di massimo M e punto di minimo m assoluti. Distinguiamo due casi: Se m = M allora la funzione f è costante e quindi f () = 0 per ogni [a, b]. Se m < M allora almeno uno dei due m o M appartiene a (a, b), ed in tal punto la derivata esiste ed è nulla per il teorema di Fermat. Esempio 7.3. Il teorema di Rolle è applicabile alla funzione f() = ( ) nell intervallo [0, ]. Infatti f è continua in [0, ] e derivabile in (0, ). Inoltre f(0) = f(). Allora esiste un valore c (0, ) tale che f (c) = 0. Infatti f (c) = = 0 c =. Esempio 7.4. Le ipotesi del teorema di Rolle sono le più larghe possibili per cui vale l enunciato stesso. La funzione f() = è continua in [, ], è tale che f( ) = f(), però f non è derivabile in = 0. Infatti non esiste punto dell intervallo (, ) in cui f si annulla. La funzione f() = è continua in [0, ], derivabile in (0, ) però f(0) f(). Infatti non esiste punto dell intervallo (0, ) in cui f si annulla. La funzione f() = { 0 = e [0, ) Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 89

3 Capitolo 7 - Studio di funzione è continua e derivabile in (0, ), è tale che f(0) = f(). La funzione f però non è continua in = 0 e =. Infatti non esiste punto dell intervallo (0, ) in cui f si annulla. Teorema 7.5 (Lagrange). È data una funzione f : [a, b] R R, con a, b R. Se f è derivabile in (a, b), continua in [a, b]. Allora esiste un punto c (a, b) tale che f (c) = f(b) f(a). b a Dimostrazione. Consideriamo la funzione g() = (f(b) f(a)) (b a)f(). La funzione g è continua in [a, b], derivabile in (a, b) ed è g(a) = g(a): quindi, per il teorema di Rolle esiste un c (a, b) per cui g (c) = 0. Abbiamo g () = (f(b) f(a)) (b a)f () e e quindi g (c) = (f(b) f(a)) (b a)f (c) = 0 f (c) = f(b) f(a). b a Esempio 7.6. Il teorema di Lagrange è applicabile alla funzione f() = nell intervallo [0, ]. Infatti f è continua in [0, ] e derivabile in (0, ). Allora esiste un valore c (0, ) tale che f (c) = f() f(0) =. Infatti 0 f (c) = = c =. 7. Derivata prima e monotonia Il teorema di Fermat ci porge un metodo per la ricerca dei punti di estremo relativo per una funzione derivabile. I punti di estremo si devono cercare fra i punti stazionari. Esempio 7.7. Consideriamo la funzione f() = la quale ammette = 0 come punto stazionario che è punto di minimo essendo f() > 0 per 0. Però non tutti i punti stazionari sono di estremo. Esempio 7.8. Consideriamo la funzione f() = 3 la quale ammette = 0 come punto stazionario che non è punto di estremo essendo f() > 0 per > 0 e f() < 0 per < 0. La derivata prima fornisce anche informazioni sulla monotonia (crescenza e decrescenza) delle funzioni. 90 Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

4 7. - Derivata prima e monotonia Teorema 7.9. È data una funzione f : (a, b) R R derivabile. f () 0 per ogni (a, b) se e solo se f è ivi crescente. f () 0 per ogni (a, b) se e solo se f è ivi decrescente. Dimostrazione. Dimostreremo soltanto la, lasciando la dimostrazione della per esercizio. Sia f avente derivata prima positiva in (a, b). Applicando il teorema di Lagrange alla funzione f nell intervallo [ 0, ] (a, b), abbiamo che esiste un punto c ( 0, ) tale che f (c) = f( ) f( 0 ) 0 0 e quindi f( ) f( 0 ). Vediamo ora l altra implicazione. Sia 0 (a, b) e h R tale che 0 + h (a, b). Siccome per ipotesi f è crescente abbiamo che f( 0 + h) f( 0 ) h 0. e per l inverso del teorema della permanenza del segno si ha che f( 0 + h) f( 0 ) = f ( 0 ) 0. h 0 h Quest ultimo teorema suggerisce un metodo per la ricerca dei punti di estremo per una funzione derivabile. Sia 0 un punto stazionario per una funzione f: 0 è un punto di minimo relativo se prima di 0 la derivata prima è negativa e dopo è positiva, 0 0 è un punto di massimo relativo se prima di 0 la derivata prima è positiva e dopo è negativa, 0 0 è un punto di flesso a tangente orizzontale se la derivata prima ha lo stesso segno prima e dopo 0. Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 9

5 Capitolo 7 - Studio di funzione 0 0 Esempio 7.0. Consideriamo la funzione f() = la cui derivata prima è f () =. La derivata prima è positiva per > 0, e negativa per < 0, e = 0 è punto stazionario per f Dunque = 0 è punto di minimo per f() =. Esempio 7.. Consideriamo la funzione f() = 3 la cui derivata prima è f () = 3. La derivata prima è positiva per 0, e = 0 è punto stazionario per f Dunque = 0 è punto di minimo per f() =. I punti di massimo o minimo si devono cercare anche nei punti critici non stazionari in cui f è continua. Esempio 7.. Consideriamo la funzione f() = 3. Abbiamo già studiato cosa accade alla funzione per = 0: la funzione è ivi continua ma non derivabile. La derivata prima è positiva per > 0, e negativa per < Dunque = 0 è punto di minimo per f. 9 Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

6 7.3 - Derivata seconda e concavità 7.3 Derivata seconda e concavità È data una funzione f : (a, b) R R. Diremo che f è una funzione convessa se il suo epigrafico è un insieme convesso. Se f è convessa, allora la funzione f è detta concava. Funzione convessa Funzione concava Ricordando che un sottoinsieme A di R è convesso se ogni segmento che ha come estremi elementi di A è interamente contenuto in A, un altro modo per definire le funzioni convesse e concave è il seguente. y f(y) y t f() f( t ) Consideriamo il punto di coordinate ( t, y t ) appartenente al segmento congiungente i punti di coordinate (, f()) e (y, f(y)). Possiamo esprimere le coordinate del punto tramite combinazione lineare convessa: t = ( t) + ty, y t = ( t)f() + tf(y), t [0, ]. La funzione f è convessa in (a, b) se per ogni, y (a, b) si ha f (( t) + yt) f()( t) + f(y)t, per ogni t [0, ]. La funzione f è concava in (a, b) se per ogni, y (a, b) si ha f (( t) + yt) f()( t) + f(y)t, per ogni t [0, ]. Esempio 7.3. Proviamo che la funzione f() = è concava in R, ovvero che (7.) (( t) + yt) ( t) + y t, per ogni t [0, ] è verificata per, y R. t y L epigrafico di una funzione f è la parte di piano sopra il grafico di f. Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 93

7 Capitolo 7 - Studio di funzione La (??) equivale a ( t) + y t [( t) + yt] 0 da cui ( t) + y t [ ( t) + y t + yt( t) ] 0 da cui [ ( t) ( t) ] + y (t t ) y(t t ) 0 da cui [ t t ] + y (t t ) y(t t ) 0 da cui (t t )( y) 0. Essendo l ultima disequazione sempre verificata, allora f() = è convessa in R. La derivata seconda fornisce informazioni sulla concavità delle funzioni. Teorema 7.4. ordine. È data una funzione f : (a, b) R R derivabile fino al secondo f () 0 per ogni (a, b) se e solo se f è ivi convessa. f () 0 per ogni (a, b) se e solo se f è ivi concava. Esempio 7.5. Consideriamo la funzione f() =. Avremo che f () =. Poiché f è sempre positiva, allora la funzione f è convessa nell insieme di definizione. Esempio 7.6. Consideriamo la funzione f() = 3. Avremo che f () = 6. Si ha f () > 0 per > 0 allora f è ivi convessa; f () < 0 per < 0 allora f è ivi concava. Un punto è di flesso se ivi la funzione cambia concavità. I flessi sono di tre tipi: a tangente orizzontale: si trovano in quei punti in cui la derivata prima e seconda si annullano; a tangente obliqua: si trovano in quei punti in cui la derivata prima è diversa da 0 e la derivata seconda si annulla; a tangente verticale: si trovano in quei punti in cui la derivata prima destra e sinistra sono infiniti dello stesso segno. Esempio 7.7. La funzione f() = 3 in = 0 ha un flesso a tangente orizzontale. La funzione f() = 3 in = 0 ha un flesso a tangente obliquo. La funzione f() = 3 in = 0 ha un flesso a tangente verticale. 94 Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

8 7.4 - Funzioni lipschitziane 7.4 Funzioni lipschitziane Sia f : I R R una funzione con I un intervallo di R. lipschitziana in I se per ogni, y I si ha che La funzione f è detta f() f(y) K y o equivalentemente con K costante reale. f() f(y) y K, y Esempio 7.8. Consideriamo la funzione f() =. Se, y R allora vale la disugualianza triangolare inversa per cui f() f(y) = y y. da cui discende che la funzione valore assoluto è lipschitziana in R. L esempio precedente mostra come la lipschitzianità non implichi la derivabilità. Ma il seguente teorema lega la derivabilità alla lipschitzianità. Teorema 7.9. Sia f : (a, b) R R derivabile. La funzione è lipschitziana in (a, b) se e solo se f () è ivi itata. Dimostrazione. Se una funzione è lipschitziana allora per ogni, y (a, b) con y abbiamo f() f(y) K R. y Ma essendo f derivabile in (a, b) abbiamo che f() f(y) y y = f () K R. e quindi la derivata è itata. Proviamo l altra implicazione. Consideriamo 0, (a, b) tali che 0 <. Allora f() verifica il teorema di Lagrange nell intervallo [ 0, ], e quindi esiste un c ( 0, ) tale che f (c) = f( ) f( 0 ) 0 da cui f f( ) f( 0 ) (c) = 0 e quindi f( ) f( 0 ) = f (c) 0. Poiché per ipotesi f () è itata, e quindi è itata anche f (), significa che esiste un valore reale positivo K tale che f () K per ogni (a, b). Allora f( ) f( 0 ) = f (c) 0 K 0 Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 95

9 e quindi f è lipschitziana in (a, b). Capitolo 7 - Studio di funzione Esempio 7.0. Consideriamo la funzione f() =. Se prendiamo la funzione in un qualsiasi intervallo aperto che ha zero come estremo allora f non è ivi lipschitziana perché la derivata non è itata. Invece lo è in qualsiasi intervallo del tipo (a, + ) con a > perché la funzione radice quadrata ha derivata ivi itata. Esempio 7.. Consideriamo la funzione f() =. Se prendiamo la funzione in un qualsiasi intervallo itato allora f è ivi lipschitziana. Invece in qualsiasi intervallo ilitato la funzione non è itata. Teorema 7.. Sia f : A R R con A insieme chiuso e itato. Se la funzione è derivabile in A allora è ivi lipschitziana. Teorema 7.3. Se f : (a, b) R R è lipschitziana allora è ivi uniformemente continua (e quindi continua). 7.5 Teorema di De L Hôpital Il Teorema di De L Hôpital ci permette di sciogliere iti che porgono le forme indeterminate del tipo o 0 0. Teorema 7.4. Siano date le funzioni f, g : (a, b) R R derivabili e g () 0. Sia 0 (a, b). Se sono verificate le seguenti condizioni: f() Il ite 0 g() porge una forma indeterminata o 0 0. f () Il ite 0 g () esiste. Allora f() 0 g() = f () 0 g( ). Esempio 7.5. Calcoliamo il ite ln +. Il ite porge una forma indeterminata. Cerchiamo di applicare il teorema di De L Hôpital. Il ite (ln ) = + () + = + = + = Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

10 7.5 - Teorema di De L Hôpital Allora è applicabile il Teorema di De L Hôpital, e sarà ln + = (ln ) = 0. + () Esempio 7.6. Calcoliamo il ite Il ite porge una forma indeterminata. Cerchiamo di applicare il teorema di De L Hôpital. + ( + + ) + = ( ) Il ite porge ancora una forma indeterminata. Cerchiamo di applicare nuovamente il teorema di De L Hôpital. ( + ) = + ( + 3) + =. Allora è applicabile il Teorema di De L Hôpital, e sarà = + ( + + ) ( + ) = =. ( ) + ( + 3) Esempio 7.7. Calcoliamo il ite tan. 0 + Il ite porge una forma indeterminata 0. Cerchiamo di applicare il teorema di De 0 L Hôpital. ( tan ) tan = 0 + ( ) 0 + = 0 + tan Il ite porge ancora una forma indeterminata 0. Cerchiamo di applicare nuovamente il teorema di De 0 L Hôpital. ( tan ) 0 + () = 0 + tan ( + tan ) Allora è applicabile il Teorema di De L Hôpital, e sarà tan 0 + = 0. = 0 + ( tan ) ( ) = 0 + ( tan ) () = 0. Esempio 7.8. Calcoliamo il ite ( ln ). 0 + Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 97

11 Capitolo 7 - Studio di funzione Il ite porge una forma indeterminata 0. Il Teorema di De L Hôpital non è applicabile direttamente, ma possiamo trasformare la funzione per rendere applicabile il teorema. ( ln ) = ln. Quest ultimo ite è una forma indeterminata, e cerchiamo di applicare il teorema di De L Hôpital. (ln ) ( 0 + = 0 ) + = 0 + Allora è applicabile il Teorema di De L Hôpital, e sarà ( ln ) = ln = 0 + = 0. (ln ) = ( 0 + = 0 ). Esempio 7.9. Calcoliamo il ite (e ). Il ite porge una forma indeterminata 0. Il Teorema di De L Hôpital non è applicabile direttamente, ma possiamo seguire il procedimento dell esercizio precedente. (e ) = e. Quest ultimo ite è una forma indeterminata, e cerchiamo di applicare il teorema di De L Hôpital. () (e ) = e = Allora è applicabile il Teorema di De L Hôpital, e sarà (e ) = e = ( e ) = 0. () (e ) = 0. Il teorema di De L Hôpital è molto utile per sciogliere le forme indeterminate del tipo, 0 0 e 0. Esempio Calcoliamo il ite 0 + (sin + cos ). Essendo una forma indeterminata, sfruttiamo l identità f() g() = e ln(f()g()). 98 Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

12 7.6 - Polinomi di Taylor Abbiamo 0 + (sin + cos ) 0 + ln(sin + cos ) = 0 0. Possiamo allora applicare De L Hôpital: = +cos ) eln(sin 0 + ln(sin + cos ) = e dire che il ite della funzione iniziale è e, ossia e. = 0 + e ln(sin +cos ) ; cos sin sin +cos = Esempio 7.3. Calcoliamo il ite (tan ) tan(). π Essendo una forma indeterminata 0, sfruttiamo l identità f() g() = e ln(f()g()). Abbiamo π π (tan ) tan() = π tan() ln(tan ) = π e ln(tan )tan() = e tan() ln(tan ) ; π sin() ln(tan ). cos() Siccome cos() as π, possiamo calcolare direttamente π ln(tan ) sin() =. Allora applichiamo De L Hôpital: π ln(tan ) sin() = sin() π cos() = 0 da cui segue che il ite della funzione iniziale è e 0 =. 7.6 Polinomi di Taylor Consideriamo una funzione f : (a, b) R R derivabile. Allora e ne consegue che f() f( 0 ) = f ( 0 ) 0 0 (7.3) g() = f() f( 0) 0 f ( 0 ) Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 99

13 Capitolo 7 - Studio di funzione è infinitesima in = 0. Ricavando f() nella (??) abbiamo f() = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) + g()( 0 ). Non è difficile mostrare che g()( 0 ) è un infinitesimo di ordine maggiore a 0 e quindi g()( 0 ) = o( 0 ). Ne consegue che (7.4) f() = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) +o( 0 ). }{{} P () Dalla (??) abbiamo che la funzione f si può scrivere come somma di una funzione polinomiale di primo grado, la quale non è altro che la retta tangente ad f in 0 e una funzione che è un infinitesimo di ordine superiore a 0 per 0. La funzione polinomiale P in (??) è tale che (7.5) P ( 0 ) = f( 0 ), P ( 0 ) = f ( 0 ). y f() P () o( 0) f( 0 ) 0 Poniamoci la questione se è possibile trovare una funzione polinomiale P n () di grado n che migliora in un intorno di 0 l approssimazione di f. Coerentemente con le (??), tale polinomio P n () dovrà essere tale che P n ( 0 ) = f( 0 ) e P n (j) ( 0 ) = f (j) ( 0 ) per ogni j {,,, n}, posto che f sia derivabile in 0 fino all ordine n. Il seguente teorema ci dice quale è tale polinomio, il quale viene chiamato polinomio di Taylor di grado n generato da f e centro 0. Teorema 7.3. Sia f : (a, b) R R derivabile fino all ordine n in 0 (a, b). Allora esiste un unico polinomio P n () tale che P n ( 0 ) = f( 0 ) e P n (j) ( 0 ) = f (j) ( 0 ) per ogni j {,,, n}. 00 Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

14 7.6 - Polinomi di Taylor Dimostrazione. Proponiamo come P n ( 0 ) il polinomio Si ha: P n () = a 0 + a ( 0 ) + a ( 0 ) + + a n ( 0 ) n. Calcolando in 0 si trova Abbiamo quindi che P n() = a + a ( 0 ) + + na n ( 0 ) n P n () = a + + n(n )a n ( 0 ) n P (n) n () = n(n ) a n. P n ( 0 ) = a 0, P n( 0 ) = a, P (n) n = n!a n. a j = f (j) ( 0 ), j {0,,, n}. j! In forma compatta il polinomio di Taylor di grado n generato da f e centro 0 è P n () = n j=0 f (j) ( 0 ) ( 0 ) j. j! Esempio Consideriamo la funzione f() = sin. Troviamo il suo polinomio di Taylor di grado n e centro 0. Poiché per ogni j N si ha che f (4j) () = sin, f (4j+) () = cos, f (4j+) () = sin, f (4j+3) () = cos e di conseguenza allora f (4j) (0) = 0, f (4j+) (0) =, f (4j+) (0) = 0, f (4j+3) (0) = P n+ () = 3 3! + 5 5! 7 7! + + ( )n (n + )! n+ = n j=0 ( ) j (j + )! j+ e P n () = P n (). Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 0

15 Capitolo 7 - Studio di funzione y P P P 3 Esempio Consideriamo la funzione f() = cos. Troviamo il suo polinomio di Taylor di grado n e centro 0. Poiché per ogni j N si ha che f (4j) () = cos, f (4j+) () = sin, f (4j+) () = cos, f (4j+3) () = sin e di conseguenza f (4j) (0) =, f (4j+) (0) = 0, f (4j+) (0) =, f (4j+3) (0) = 0 allora e P n () =! + 4 4! 6 6! + + ( )n (n)! n = P n+ () = P n (). n j=0 ( ) j (j)! j y P 3 P P Esempio Consideriamo la funzione f() = e. Troviamo il suo polinomio di Taylor di grado n e centro 0. Poiché f (j) (0) =, per ogni j {0,,, n} allora P n () = + +! + 3 3! + + n n! = n Poiché f() = e, possiamo usare i polinomi di Taylor per calcolare una approssima- j=0 j j!. 0 Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

16 zione del numero di Nepero Polinomi di Taylor n P n () P n () f() Come si può notare già al grado 5 il polinomio di Taylor approssima fino alla seconda cifra decimale il numero di Nepero. Esempio Consideriamo la funzione f() = ln( + ). Troviamo il suo polinomio di Taylor di grado n e centro 0. Abbiamo f () = +, f () = ( + ), f () = e di conseguenza ( + ), f (4) 6 () = 3 ( + ), 4 f(0) = 0, f (0) =, f (0) =, f (0) =, f (4) (0) = 6, allora P n () = n j= ( ) j+ (j )! j j! = n j= ( ) j+ j. j 3 y P 3 4 P Si definisce errore di approssimazione o resto n-esimo la funzione R n () = f() P n () ovvero l errore che si commette approssimando la funzione f con P n in. Teorema Sia f : (a, b) R R derivabile fino all ordine n in 0 (a, b). Se P n () è il polinomio di Taylor di grado n generato da f e centro 0. Allora E n () = o (( 0 ) n ). Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 03

17 Capitolo 7 - Studio di funzione La rappresentazione di E n data in quest ultimo teorema è detta forma di Peano del resto n-esimo. Esistono altre rappresentazione del resto n-esimo che noi qui non daremo. Esempio Secondo la rappresentazione del resto in forma di Peano abbiamo che n ( ) j sin = (j + )! j+ + o( n+ ), j=0 cos = e = ln( + ) = n j=0 n j=0 ( ) j (j)! j + o( n ), j! j + o( n ), n ( ) j+ j + o( n ). j j= Esempio Calcolare il polinomio di Taylor di grado e centro 0 della funzione f() = ln(cos )). f() = ln(cos )), f () = tan, f () = tan da cui segue e quindi Inoltre abbiamo che f(0) = 0, f (0) = 0, f (0) = P () =. ln(cos()) = + o( ). Dai polinomi di Taylor si possono ricavare altri sviluppi di Taylor grazie al seguente teorema. Teorema Siano f, g : (a, b) R R derivabile fino all ordine n in 0 (a, b). Sia P n (Q n ) il polinomio di Taylor di grado n generato da f (g) e centro 0. Allora Se α, β R, allora αp n () + βq n () è il polinomio di Taylor di grado n generato da αf + βg con centro 0. P n() è il polinomio di Taylor di grado n generato da f. 7.7 Ancora sugli infinitesimi campione Grazie al teorema di De L Hôpital e ai polinomi di Taylor è più agevole trovare l infinitesimo campione di una funzione infinitesima in un 0 finito. 04 Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

18 7.8 - Grafico qualitativo delle funzioni Esempio 7.4. La funzione f() = + sin è una funzione infinitesima in = 0 ed ha ivi sviluppo di Taylor uguale Quindi + sin = + ( + o()) = + o(). + sin 0 α = 0 + o() α. Quest ultimo ite è finito non nullo per α =, e dunque + sin è infinitesimo di ordine in = 0. Lo stesso risultato si poteva ottenere con il teorema di De L Hôpital, infatti + sin + cos = = 0 α 0 α α α α. Per avere un valore del ite finito non nullo dobbiamo porre α =. Esempio 7.4. La funzione f() = sin è una funzione infinitesima in = 0 ed ha ivi sviluppo di Taylor uguale a ) sin = ( 3 3! + o(3 ) = 3 3! + o(3 ). Quindi sin 0 α 3 + o( 3 ) 3! =. 0 α Quest ultimo ite è finito non nullo per α = 3, e dunque sin è infinitesimo di ordine 3 in = Grafico qualitativo delle funzioni Grazie a tutto ciò che abbiamo sviluppato fino a qui, abbiamo gli strumenti per trovare il grafico qualitativo. Ecco i passaggi necessari per la determinazione del grafico di una funzione:. Si determina l insieme di definizione della funzione.. Si trovano i punti di intersezione della funzione con gli assi cartesiani. 3. Si trovano gli intervalli in cui la funzione è positiva, e quelli in cui è negativa. 4. Si calcolano i iti della funzione agli estremi dell insieme di definizione. 5. Si calcola la derivata prima. Si determinano gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente. Si determinano i massimi e minimi. 6. Si calcola la derivata seconda. Si determinano gli intervalli in cui la funzione è convessa e concava. Si determinano i punti di flesso. Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 05

19 Capitolo 7 - Studio di funzione Esempio Determiniamo il grafico qualitativo della funzione f() = 3. Dominio. La funzione è polinomiale. Ne consegue che l insieme di definizione è R. Intersezione con gli assi. Le intersezioni con l asse si cercano risolvendo il sistema { y = 3 y = 0 che porge i punti A = (0, 0) e B = (, 0). Le intersezioni con l asse y si cercano risolvendo il sistema { y = 3 = 0 che porge il punto A. Positività. Dobbiamo risolvere la disequazione ( ) 0 ( ) ( + ) 0. Studiamo la positività dei tre fattori. Il primo fattore porge 0; Il secondo fattore porge 0 che ha soluzione per ; Il terzo fattore porge + 0 che ha soluzione per. Riportiamo il tutto in un grafico riepilogativo: discende che f() > 0 per (, 0) (, + ); f() < 0 per (, ) (0, ). Limiti agli estremi del dominio. ( 3 ) ( = ± ± 3 ) = 3 ± 3 = ±. Non ci sono asintoti verticali e orizzontali. Non ci sono asintoti obliqui perché 3 ± 3 = ± = ± = +. Derivata prima. Si ha f () = 3. La derivata prima si annulla per = ± 3 ( è positiva per, ) ( 3 ( 3 ),, + è negativa per 3, ) , 06 Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

20 7.8 - Grafico qualitativo delle funzioni Abbiamo che = è punto di minimo relativo e = è punto di massimo 3 3 relativo. Derivata seconda. Si ha f () = 6. La derivata seconda si annulla per = 0, è positiva per (0, + ), è negativa per (, 0) Abbiamo che = 0 è punto di flesso a tangente obliqua. Grafico. 0 y Esempio Determiniamo il grafico qualitativo della funzione f() = 3. Dominio. Essendo un rapporto fra polinomi, imponiamo che il denominatore sia diverso da 0: 0 = = ±. Quindi l insieme di esistenza della funzione è D = (, ) (, ) (, + ). Intersezione con gli assi. Le intersezioni con l asse si cercano risolvendo il Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 07

21 sistema Capitolo 7 - Studio di funzione 3 y = y = 0 che porge il punto A = (0, 0). Pure l intersezione con l asse y porge il punto A. Positività. Dobbiamo risolvere la disequazione 0. La disequazione è fratta, e dobbiamo studiare la positività del numeratore e denominatore. Il numeratore è positivo per 0. Il denominatore è strettamente positivo per < >. Riassumiamo il tutto in un grafico del segno: 3 Discende che f() > 0 per (, 0) (, + ); f() < 0 per (, ) (0, ). Limiti agli estremi del dominio. ± 3 = ± ( 3 ) = ± 3 = = ±, ± 3 ( ) ± = ±, 3 ± = ±. Quindi non abbiamo asintoti orizzontali, e due asintoti verticali = e =. Vediamo se esistono asintoti obliqui: Derivata prima. Si ha f () = ( 3) (. La derivata prima si annulla per ) = 0, = 3 e = 3, è positiva per (, 3 ) ( 3, + ), è negativa per ( 3, ) (, 0) (0, ) (, 3 ) Abbiamo che = 3 è punto di massimo relativo, = 0 è punto di flesso a tangente orizzontale, = 3 è punto di minimo relativo. 08 Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

22 7.8 - Grafico qualitativo delle funzioni Derivata seconda.si ha f () = ( + 3) ( 3. La derivata seconda si annulla per ) = 0, è positiva per (, 0) (, + ), è negativa per (, ) (0, ). Grafico. 4 y Esempio Determiniamo il grafico qualitativo della funzione f() = log. Dominio. Si deve imporre che l argomento del logaritmo sia strettamente positivo. Quindi l insieme di esistenza è (0, + ). Intersezione con gli assi. Le intersezioni con l asse si cercano risolvendo il sistema { y = log y = 0 che porge il punto A = (, 0). Non vi sono intersezioni con l asse y. Positività. Dobbiamo risolvere la disequazione log 0. Studiamo la positività dei due fattori. Il primo fattore porge 0; Il secondo fattore porge log 0 che ha soluzione per ; Riportiamo il tutto in un grafico riepilogativo: discende che f() > 0 per (, + ); f() < 0 per (0, ). Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 09

23 Capitolo 7 - Studio di funzione Limiti agli estremi del dominio. Il ite log. 0 + conduce ad una forma indeterminata del tipo 0. Trasformiamo il ite per poter applicare il Teorema di De L Hopital. log = log (log ) = ( 0 + = 0 ) + = 0 + = 0. Proseguiamo con log = +. + Non ci sono asintoti verticali e orizzontali. Non ci sono asintoti obliqui perché log ± = log = +. ± Derivata prima. Si ha f () = log +. La derivata prima si annulla per = e, è positiva per (e, + ), è negativa per (0, e ). 0 e Abbiamo che = e è punto di minimo relativo. Derivata seconda. Si ha f () =. La derivata seconda non si annulla mai, ed è positiva nel dominio di f. Ne consegue che f è una funzione convessa. Altre informazioni. La funzione per 0 + tende a 0, ma in = 0 non è definita. Dobbiamo quindi studiare in che modo il grafico di f tende al punto (0, 0). Questo possiamo ricavarlo facendo il ite della derivata prima per 0 + : (log + ) =. 0 + Ne consegue che il grafico di f arriva al punto (0, 0) con tangente che tende ad essere verticale. Grafico. 0 Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

24 7.9 - Esercizi y Esercizi Esercizio 7.. Dimostrare che prendendo due funzioni f, g : [a, b] R R tali che f, g continue in [a, b], derivabili in (a, b, allora esiste un punto c (a, b) tale che Esercizio 7.. Calcolare i seguenti iti:. ± 3 + ; + e + e. ± ; + 3. ; 0 + e 4. + e ; sin + tan 5. ; ln ; ; ln ; ; 0. + ;. 0 +(sin ). (f(b) f(a)) g (c) = (g(b) g(a)) f (c). Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

25 Capitolo 7 - Studio di funzione Esercizio 7.3. Ricavare il polinomio di Taylor delle seguenti funzioni. Si indica con n il grado del polinomio e 0 il centro. Si determini inoltre il resto in forma di Peano.. f() =, n =, 0 = ;. f() = sin, n = 4, 0 = 0; 3. f() = ln( + 3), n = 3, 0 = 0, 4. f() = e, n = 6, 0 = 0. Esercizio 7.4. Trovare l ordine di infinitesimo delle seguenti funzioni nel punto indicato:. f() = in = 0;. f() = sin(ln( + )) in = 0; 3. f() = in =. Esercizio 7.5. Studiare le seguenti funzioni e tracciarne il grafico:. f() = 3 ;. f() = 3 3 ; 3. f() = ( + )e ; 4. f() = ln( + + ); 5. f() = + ; 6. f() = ; 7. f() = e + e ; 8. f() = sin cos + 9. f() = e ; 0. f() = cos() sin ; ( ) +. f() = arctan ;. f() = cos +. Appunti di Analisi di Nicola Pintus e Piermario Schirru.