Analisi Matematica II (Fisica e Astronomia) Prima Prova Parziale (14/05/2009)

Transcript

1 Analisi Matematica II (Fisica e Astronomia) Prima Prova Parziale (/5/9) Università di Padova - Lauree in Fisica ed Astronomia - A.A. 8/9 Cognome-Nome Matr. - IN STAMPATELLO SF / SA Tema A. (a) Discutere per α dominio () e integrabilità di f α () = α e (α ) α + ; calcolare (b) Studiare la funzione F () = f (t) dt. + f () d.. (a) Determinare le soluzioni per > dell equazione differenziale log( + ) = y + y, dicendo quali sono prolungabili come tali anche in =. Trovare poi le soluzioni di y + y = 3e + 3y, vedendo quali di esse appaiono tra le precedenti. (b) Data l equazione differenziale ( + )e y y = indagare a priori quanto possibile su crescenza, convessità e eventuali simmetrie delle soluzioni. Calcolare poi la soluzione y α () tale che y α () = α (ove α ), e dire quali sono i suoi limiti notevoli. 3. (a) Disegnare la curva A definita polarmente da ρ(θ) = 6 cos θ con θ < π. Dopo averne trovato un opportuna parametrizzazione γ, calcolare la retta tangente a A nel suo punto dato da θ = π 6, e scrivere correttamente l integrale γ ( y) dσ. (b) Sia B il ramo destro di iperbole di asintoti + y 5 = e y + 3 = passante per il punto (, ). Trovare un equazione cartesiana f(, y) = che definisce B, e ricavarne un opportuna parametrizzazione. Usando poi in modo opportuno le funzioni iperboliche, determinare un altra parametrizzazione di B ed esibire il cambio di parametro. Infine, scrivere correttamente gli integrali che definiscono il baricentro geometrico del tratto di B contenuto nella striscia y 3. arctg ( + y). (a) Disegnare il dominio di f(, y) = + y, gli zeri ed il segno; parlare della continuità; + calcolarne i limiti notevoli nei punti d accumulazione in R del dominio. Considerato poi il segmento I = {(, ) : }, dire a priori come sarà fatta f(i), e quindi calcolarla. (b) Disegnare gli insiemi L = {(, y) : ( + ) + y +, y 3}, L = {(, y) : y = log( ), y } e L 3 = {(, y) : sin( + y ) >, > 3}, descrivendone le proprietà topologiche (aperti, chiusi, compatti, connessi...). Su quali di essi la funzione f ammette estremi assoluti? () Per vedere dove si annulla il denominatore, si potrà fare un confronto grafico tra le funzioni α e.

2 Analisi Matematica II Prima Prova Parziale (/5/9) Tema A Soluzioni.. (a) Le cose che possono influire sul dominio di f α() = α e (α ) con α sono la potenza α α + (se α ovvero se α deve essere ), la potenza α (se α ovvero se α = deve essere, ma ciò è ricompreso in quanto appena detto per l altra potenza) e il denominatore α + (esso si annulla se e solo se α =, e un semplice confronto grafico tra le funzioni α e mostra che ciò avviene sempre quando =, e se α > cioè se α > anche in un altro punto α < ). Ricapitolando, se α i punti da escludere dal dominio di fα() sono e, mentre se α > sono α e. È dunque in tali punti, oltre che in, che l integrabilità va controllata. In +, a causa dell esponenziale si ha che f α() è integrabile se α <, non integrabile se α >, mentre quando α = si ottiene f () = e dunque è integrabile per asintoticità. In, con considerazioni analoghe si ha integrabilità se α e non integrabilità se α <. In si ha f α() (per quest ultima asintoticità si noti che se α + α = essa è evidente, mentre se α > si ottiene lim α + α = lim α + = α > ). Dunque f α() non è mai integrabile in. Se α > c è poi da guardare α: ma, ancora una volta, si ha fα() α α e dunque f α() non è mai integrabile in α. Infine, se α c è da guardare : ed essendo in tal caso f α() α, la condizione d integrabilità diventa α >, che per α è sempre vera. Per quanto detto, l integrale proposto R + f () d = R + d è convergente. Per il calcolo, col cambio = u si ottiene R + u R + ( + u du = u +u 3 ( log π ) = π 6 + log( + ),3. 3 (b) (Figura ) F () = R f (t) dt = R + u + ) du = 3 ( log u u+ + arctg u )] + = 3 ( π ) e t dt è definita per < (infatti la funzione integranda è localmente t +t integrabile in ], [ e in ], + [ e perciò, dovendo calcolarne l integrale con punto iniziale e fino a, ciò è possibile solo scegliendo ], [). Inoltre, poiché la funzione integranda è anche continua in ], [, per Torricelli siamo già certi che F () sarà di classe C. Quanto a zeri e segno, notiamo che per t ], [ si ha f (t) : ne deduciamo che vale F () = se e solo se =, e F () > se e solo se <. Ora, per t < si ha f (t) = e t, che si integra subito ottenendo e t : dunque se < si ricava la forma finita F () = (e t ] = e, che si studia e disegna facilmente (è un esponenziale strettamente decrescente e abbassato di, dunque il limite per è + ). Possiamo perciò concentrarci sul caso < <, in cui si ha f (t) = e t che non ha primitiva elementare: derivando si ottiene F () = e, sempre negativa, (t ) ( ) perciò F è strettamente decrescente anche per < <. Notiamo poi che F () = lim ( e ) = e F +() = lim +( e ) = sono uguali tra loro, e dunque, come atteso, F () è di classe ( ) C su tutto il suo dominio. Manca ancora il limite notevole per, che coincide con l integrale generalizzato R essendo la funzione integranda negativa e dell ordine di, esso vale. t e t (t ) dt:. (a) L equazione y + y = log( + ) è lineare del primo ordine, definita per > ; visto che vengono richieste le soluzioni per >, possiamo portarla in forma normale dividendo per, ottenendo y + p() y = q() con p() = log(+) e q() =. Una primitiva di p() è P () = log = log ; posto u =, si ha poi R e P (X) q() d = R log(+) d = R log(u +) du = u log(u +) R u u du = u u + log(u +) u+arctg u = log( + ) + arctg, dunque l integrale generale per > è yk () = ( log( + ) + arctg + k) = log( + ) + arctg + k con k C. Di queste funzioni, la sola prolungabile per continuità in = è quella con k =, ovvero y () = log( + ) + arctg con valore y () = ; in realtà, essendo y () = + + o () + 3 +o ( ) = + o() si ha anche prolungabilità come classe 3 C, con y () = ; ed essendo 3 y () + y () = log( + ) = si tratta effettivamente di una soluzione su tutto [, + [. L equazione y + y = 3e + 3y è lineare del secondo ordine a coefficienti costanti; scritta y + y + 3y = b () + b () con b () = 3e e b () = +, si trovano rapidamente le soluzioni y() = e (A cos( ) + B sin( ) + 3 ) + (3 + ) con A, B C, nessuna delle quali appare tra le precedenti. 9 (b) (Figura ) L equazione differenziale ( + )e y y = è del primo ordine a variabili separabili. Da ( + )e y = y si ricava subito che un eventuale soluzione C definita in = deve ivi annullarsi; per si ricava invece y = y e, dunque le soluzioni crescono per > e decrescono prima. Per quanto riguarda poi le + soluzioni C, derivando ambo i membri rispetto si trova y = (yy e y e )(+) y e (+) = y e (+) (ye ), dunque tali soluzioni sono convesse sopra il grafico della funzione y = (+)e e concave sotto. Se ϕ() è soluzione per >, con calcoli del tipo già visto più volte risulta che ne ϕ( ) ne ϕ( ) sono soluzioni per <, dunque

3 non vi sono simmetrie evidenti. Passiamo ora al calcolo della soluzione y α() tale che y α() = α : se α = si ha la soluzione nulla y (), altrimenti separando le variabili e integrando si ottiene R y dη = R e t dt, α η t+ ovvero + = R e t dt, da cui yα() = α y α t+ α R. Ora, della funzione ϕ() := R e t dt non si può dare e t t+ dt t+ un espressione elementare, ma si possono tuttavia dire alcune cose: essa è definita in ], + [, si annulla in =, è strettamente crescente (la sua derivata è ϕ () = e > ), soddisfa lim + + ϕ() = R e t dt = t+ e lim + ϕ() = R + e t dt =: l t+ R> (un disegno del grafico di e mostra che l,6): ne ricaviamo + che se < α la funzione yα() è definita in ], + [, mentre se α > (ovvero se < l) essa è definita l l α in un intervallo ], α[, intorno di =, ove α > è il punto tale che R α e t dt = t+ α di y α() sono allora lim + y α() = + (infatti il denominatore tende a + ), mentre se < α < l lim + y α() = α αl, se α = l si ha lim + yα() = +, e se α > l si ha lim α. I limiti notevoli si ha yα() = (a) (Figura 3) La curva A definita polarmente da ρ(θ) = 6 cos θ con θ < π è un petalo di rodonea (dal greco rhodon, rosa ), parametrizzabile nel modo consueto con γ : [ π, π ] R, γ(θ) = (6 cos θ cos θ, 6 cos θ sin θ). Il punto di A dato da θ = π è γ( π ) = ( 3 3, 3 ); derivando si ha 6 6 γ (θ) = 6( sin θ cos θ cos θ sin θ, sin θ sin θ+ cos θ cos θ), da cui γ ( π ) = 3 (7, 3), perciò la retta tangente cercata ha forma parametrica {(, y) = ( 3 3, 3 )+ 6 t(7, 3) : t R} e cartesiana 3 7y + 6 =. Infine, l elemento d arco è dσ = p ρ(θ) + ρ (θ) dθ = 6 p + 3 sin θ dθ, perciò R ( y) dσ = 36 R π γ π cos θ(cos θ sin θ) p + 3 sin θ dθ. (b) (Figura 3) Nel riferimento traslato (X, Y ) = (, y ) l equazione dell iperbole B sarà del tipo X Y = a b con b = X, ovvero Y = ; e il passaggio per il punto (X, Y ) = (, ) dà a =. Si ottiene pertanto a a a il luogo X Y = da cui, rimettendo le coordinate (, y), si ottiene ( ) (y ) =, ovvero f(, y) = ( ) (y ) =. Trattandosi del ramo destro, da f(, y) = conviene esplicitare (y) tenendo il segno più, ottenendo (y) = + p (y ) +, da cui la parametrizzazione χ : R R data da χ(y) = ((y), y). Ricordando che le funzioni iperboliche (cosh t, sinh t) parametrizzano il ramo destro dell iperbole equilatera y =, traslando ed adattando alla situazione presente si ha una parametrizzazione alternativa di B data da eχ : R R con eχ(t) = ( + cosh t, + sinh t) (si noti infatti che (f eχ)(t) per ogni t); e il cambio di parametro è α : R R dato da y = α(t) = + sinh t. Infine, usando la parametrizzazione χ, la lunghezza del tratto di B contenuto nella striscia y 3 è data da L = R 3 p (y) + dy, e il baricentro geometrico è il R 3 punto ( B, y B ) = (y)p R L (y) + dy, 3 yp L (y) + dy. arctg ( +y) +y +. (a) (Figura ) Il dominio di si ottiene rimuovendo dal piano R il luogo + y + =, ovvero la circonferenza C di centro (, ) e raggio ; in tale dominio f è continua, si annulla sul grafico Γ = {y = } ed ha segno dato dal quoziente tra i segni del numeratore (positivo sopra Γ e negativo sotto) e del denominatore (positivo fuori dalla circonferenza e negativo dentro). I limiti notevoli sono nei punti di C e in. In un qualsiasi punto di C diverso da O(, ) e da A(, ) (le due intersezioni con Γ) il limite è ±, col segno che dipende dal fatto che si tenda al punto da una zona in cui f è ; invece nei punti O e A il limite non esiste, perché tendendovi lungo Γ la funzione è nulla ma in ogni loro intorno vi sono punti di C diversi da loro, in cui come visto f diverge. Quanto a, si noti che il numeratore è limitato mentre al denominatore c è essenzialmente il quadrato della distanza di (, y) dal centro (, ), perciò è probabile che il limite valga : per vederlo con precisione, preso un arctg ( +y) qualsiasi r >, al di fuori della circonferenza di centro (, ) e raggio r si ha f(, y) = π/, ( ) +y r dunque quando r + si può concludere per confronto. Infine, il segmento I = {(, ) : } è connesso per archi e compatto, ed è tutto contenuto nel dominio di f che è continua: dunque possiamo già dire che anche l immagine f(i) è connessa per archi e compatta, perciò non potrà che essere un intervallo compatto [a, b]. arctg ( + ) π/ Quanto al calcolo, per definizione si ha f(i) = {f(, ) : } = { : } = { } = [ π, π π/ ] (si noti che u() := + +( ) + + : è continua e decrescente in [, ], dunque u([, ]) = [u(), u()]). (b) (Figura 5) L insieme L = {(, y) : ( + ) + y +, y 3} è l intersezione tra le parti interne (chiuse) delle parabole y = ( + ) e y = ( + ) con la striscia orizzontale chiusa y 3, dunque è un compatto sconnesso di R con due componenti connesse. Pur essendo L compatto, f non vi assume estremi assoluti: infatti Weierstrass non si può applicare perché L non è contenuto nel dominio di f, e poi esso contiene dei punti di C nei quali f diverge a ±. L insieme {(, y) : y = log( ), y } è il tratto del grafico y = log che sta sopra la retta orizzontale y = (compreso il punto di intersezione Q( + e, )): si tratta di un arco chiuso e illimitato di R, tutto contenuto nel dominio di f. Non essendo L compatto, non possiamo affermare che f vi assume estremi assoluti usando Weierstrass: tuttavia in questo caso, in cui lim f(, y) = e l insieme in questione è chiuso, si può dimostrare che è comunque vero usando il seguente ragionamento standard. Notiamo intanto che L contiene dei punti in cui f > (ad esempio il punto P (, )) e altri in cui f < (ad esempio l estremo Q( + e, )); preso un qualsiasi ε > tale che ε < ma{f(p ), f(q }, per definizione di limite sappiamo che esiste M ε > tale che se (, y) > M ε allora f(, y) < ε; ma allora, detta B ε la palla 3

4 chiusa di centro O e raggio M ε, gli eventuali estremi di f su L devono coincidere con gli eventuali estremi di f su L B ε (perché fuori da B ε si ha f < ε, e, come visto con P e Q, in L B ε la funzione assume valori superiori a ε e inferiori a ε), e questi ultimi esistono per Weierstrass perché L B ε è un compatto tutto contenuto nel dominio di f, che è continua. L insieme L 3 = {(, y) : sin( + y ) >, > 3} può essere scritto anche come L 3 = S k {(, y) : π + kπ < 6 + y < 5π + kπ} { > 3} : si tratta di una famiglia infinita di corone 6 circolari aperte centrate in O delle quali si prendono però i soli punti con ascissa > 3, aperto complementare della striscia verticale chiusa 3 3. Dunque L 3 è un aperto sconnesso di R con infinite componenti connesse, interamente contenuto nel dominio di f: però, non trattandosi di un chiuso di R, non possiamo applicare il ragionamento fatto per L e allo stato attuale delle nostre conoscenze non siamo in grado di dire se f ammetta o no estremi assoluti su di esso (dopo la seconda parte del corso lo saremo).. La funzione integrale F () di (.b).. Alcune soluzioni y α() di (.b) (in rosso); la curva di cambio concavità (in blu). 3. Le curve di (3.a-b).. Zeri (rosso), segno di f (> in giallo, < in grigio) e il segmento I di (.a). 5. Gli insiemi L (viola), L (azzurro) e L 3 (verde) di (.b).

5 Analisi Matematica II (Fisica e Astronomia) Prima Prova Parziale (/5/9) Università di Padova - Lauree in Fisica ed Astronomia - A.A. 8/9 Cognome-Nome Matr. - IN STAMPATELLO SF / SA Tema B. (a) Discutere per β dominio () e integrabilità di f β () = (b) Studiare la funzione F () = f (t) dt. β e ( β ) β + ; calcolare + f () d.. (a) Determinare le soluzioni per > dell equazione differenziale y + y = log( + ), dicendo quali sono prolungabili come tali anche in =. Trovare poi le soluzioni di y + y = + 3e 3y, vedendo quali di esse appaiono tra le precedenti. (b) Data l equazione differenziale y = ( + )e y indagare a priori quanto possibile su crescenza, convessità e eventuali simmetrie delle soluzioni. Calcolare poi la soluzione y β () tale che y β () = β (ove β ), e dire quali sono i suoi limiti notevoli. 3. (a) Tracciare nel piano la curva C definita polarmente da ρ(θ) = 6 cos θ con θ < π. Dopo averne trovato un opportuna parametrizzazione γ, calcolare la retta tangente a C nel suo punto dato da θ = π 6, e scrivere correttamente l integrale γ ( y) dσ. (b) Sia D il ramo destro di iperbole di asintoti y + 3 = e + y 5 = passante per il punto (, ). Trovare un equazione cartesiana f(, y) = che definisce D, e ricavarne un opportuna parametrizzazione. Usando poi in modo opportuno le funzioni iperboliche, determinare un altra parametrizzazione di D ed esibire il cambio di parametro. Infine, scrivere correttamente gli integrali che definiscono il baricentro geometrico del tratto di D contenuto nella striscia y 3. arctg (y + ). (a) Disegnare il dominio di g(, y) = + y, gli zeri ed il segno; parlare della continuità; + calcolarne i limiti notevoli nei punti d accumulazione in R del dominio. Considerato poi il segmento I = {(, ) : }, dire a priori come sarà fatta g(i), e quindi calcolarla. (b) Disegnare gli insiemi L = {(, y) : ( + ) + y +, y 3}, L = {(, y) : y = log( ), y } e L 3 = {(, y) : sin( + y ) >, > 3}, descrivendone le proprietà topologiche (aperti, chiusi, compatti, connessi...). Su quali di essi la funzione g ammette estremi assoluti? () Per vedere dove si annulla il denominatore, si potrà fare un confronto grafico tra le funzioni β e.

6 Analisi Matematica II Prima Prova Parziale (/5/9) Tema B Soluzioni.. (a) Le cose che possono influire sul dominio di f β () = β e ( β ) β + con β sono la potenza β (se β ovvero se β deve essere ), la potenza β (se β ovvero se β = deve essere, ma ciò è ricompreso in quanto appena detto per l altra potenza) e il denominatore β + (esso si annulla se e solo se β =, e un semplice confronto grafico tra le funzioni β e mostra che ciò avviene sempre quando =, e se β > anche in un altro punto β < ). Ricapitolando, se β i punti da escludere dal dominio di f β () sono e, mentre se β > sono β e. È dunque in tali punti, oltre che in, che l integrabilità va controllata. In +, a causa dell esponenziale si ha che f β () è integrabile se β <, non integrabile se β >, mentre quando β = si ottiene f () = e dunque è integrabile per asintoticità. In, con considerazioni analoghe si ha integrabilità se β e non integrabilità se β <. In si ha f β () (per quest ultima asintoticità si noti che se β = essa β + è evidente, mentre se β > si ottiene lim β + β = lim β + = β > ). Dunque f β () non è mai integrabile in. Se β > c è poi da guardare β : ma, ancora una volta, si ha f β () e dunque f β β β() non è mai integrabile in β. Infine, se β c è da guardare : ed essendo in tal caso f β () β, la condizione d integrabilità diventa β >, che per β è sempre vera. Per quanto detto, l integrale proposto R + f () d = R + d è convergente. Per il calcolo, col cambio + = u si ottiene R + u du = R + u +u 3 ( + ) du = ( u log + arctg u u u + 3 u+ )] + = ( π ) 3 ( log π ) = π 6 + log( + ),3. 3 (b) (Figura ) F () = R f(t) dt = R e t dt è definita per < (infatti la funzione integranda è localmente t +t integrabile in ], [ e in ], + [ e perciò, dovendo calcolarne l integrale con punto iniziale e fino a, ciò è possibile solo scegliendo ], [). Inoltre, poiché la funzione integranda è anche continua in ], [, per Torricelli siamo già certi che F () sarà di classe C. Quanto a zeri e segno, notiamo che per t ], [ si ha f (t) : ne deduciamo che vale F () = se e solo se =, e F () > se e solo se <. Ora, per t < si ha f (t) = e t, che si integra subito ottenendo e t : dunque se < si ricava la forma finita F () = (e t ] = e, che si studia e disegna facilmente (è un esponenziale strettamente decrescente e abbassato di, dunque il limite per è + ). Possiamo perciò concentrarci sul caso < <, in cui si ha f (t) = e t che non ha primitiva elementare: derivando si ottiene F () = e, sempre negativa, (t ) ( ) perciò F è strettamente decrescente anche per < <. Notiamo poi che F () = lim ( e ) = e F +() = lim +( e ) = sono uguali tra loro, e dunque, come atteso, F () è di classe ( ) C su tutto il suo dominio. Manca ancora il limite notevole per, che coincide con l integrale generalizzato R essendo la funzione integranda negativa e dell ordine di, esso vale. t e t (t ) dt:. (a) L equazione y + y = log( + ) è lineare del primo ordine, definita per > ; visto che vengono richieste le soluzioni per >, possiamo portarla in forma normale dividendo per, ottenendo y + p() y = q() con p() = log(+) e q() =. Una primitiva di p() è P () = log = log ; posto u =, si ha poi R e P (X) q() d = R log(+) d = R log(u +) du = u log(u +) R u u du = u u + log(u +) u+arctg u = log( + ) + arctg, dunque l integrale generale per > è yk () = ( log( + ) + arctg + k) = log( + ) + arctg + k con k C. Di queste funzioni, la sola prolungabile per continuità in = è quella con k =, ovvero y () = log( + ) + arctg con valore y () = ; in realtà, essendo y () = + + o () + 3 +o ( ) = + o() si ha anche prolungabilità come classe 3 C, con y () = ; ed essendo 3 y () + y () = log( + ) = si tratta effettivamente di una soluzione su tutto [, + [. L equazione y + y = 3e + 3y è lineare del secondo ordine a coefficienti costanti; scritta y + y + 3y = b () + b () con b () = 3e e b () = +, si trovano rapidamente le soluzioni y() = e (A cos( ) + B sin( ) + 3 ) + (3 + ) con A, B C, nessuna delle quali appare tra le precedenti. 9 (b) (b) (Figura ) L equazione differenziale y = (+)e y è del primo ordine a variabili separabili. Da (+)e y = y si ricava subito che un eventuale soluzione C definita in = deve ivi annullarsi; per si ricava invece y = y e, dunque le soluzioni crescono per > e decrescono prima. Per quanto riguarda poi le soluzioni + C, derivando ambo i membri rispetto si trova y = (yy e y e )(+) y e = y e (ye ), dunque (+) (+) tali soluzioni sono convesse sopra il grafico della funzione y = ( + )e e concave sotto. Se ϕ() è soluzione per

7 >, con calcoli del tipo già visto più volte risulta che ne ϕ( ) ne ϕ( ) sono soluzioni per <, dunque non vi sono simmetrie evidenti. Passiamo ora al calcolo della soluzione y β () tale che y β () = β : se β = si ha la soluzione nulla y (), altrimenti separando le variabili e integrando si ottiene R y dη = R e t dt, β η t+ ovvero + = R e t dt, da cui y β y β t+ β() = β R. Ora, della funzione ϕ() := R e t dt non si può dare e t t+ dt t+ un espressione elementare, ma si possono tuttavia dire alcune cose: essa è definita in ], + [, si annulla in =, è strettamente crescente (la sua derivata è ϕ () = e > ), soddisfa lim + + ϕ() = R e t dt = t+ e lim + ϕ() = R + e t dt =: l t+ R> (un disegno del grafico di e mostra che l,6): ne ricaviamo + che se < β la funzione y l β() è definita in ], + [, mentre se β > (ovvero se < l) essa è definita l β in un intervallo ], β [, intorno di =, ove β > è il punto tale che R β e t dt =. I limiti notevoli t+ β di y β () sono allora lim + y β () = + (infatti il denominatore tende a + ), mentre se < β < si ha l lim + y β () = β, se β = si ha βl l lim + y β() = +, e se β > si ha lim l y β () = +. β 3. (a) (Figura 3) La curva C definita polarmente da ρ(θ) = 6 cos θ con θ < π è un petalo di rodonea (dal greco rhodon, rosa ), parametrizzabile nel modo consueto con γ : [ π, π ] R, γ(θ) = (6 cos θ cos θ, 6 cos θ sin θ). Il punto di C dato da θ = π è γ( π ) = ( 3 3, 3 ); derivando si ha 6 6 γ (θ) = 6( sin θ cos θ cos θ sin θ, sin θ sin θ + cos θ cos θ), da cui γ ( π ) = 3 (7, 3), perciò la retta tangente cercata ha forma parametrica {(, y) = ( 3 3, 3 )+ 6 t(7, 3) : t R} e cartesiana 3 7y + 6 =. Infine, l elemento d arco è dσ = p ρ(θ) + ρ (θ) dθ = 6 p + 3 sin θ dθ, perciò R ( y) dσ = 36 R π γ π cos θ( cos θ sin θ) p + 3 sin θ dθ. (b) (Figura 3) Nel riferimento traslato (X, Y ) = (, y ) l equazione dell iperbole D sarà del tipo X Y = a b con b = X, ovvero Y = ; e il passaggio per il punto (X, Y ) = (, ) dà a =. Si ottiene pertanto a a a il luogo X Y = da cui, rimettendo le coordinate (, y), si ottiene ( ) (y ) =, ovvero f(, y) = ( ) (y ) =. Trattandosi del ramo destro, da f(, y) = conviene esplicitare (y) tenendo il segno più, ottenendo (y) = + p (y ) +, da cui la parametrizzazione χ : R R data da χ(y) = ((y), y). Ricordando che le funzioni iperboliche (cosh t, sinh t) parametrizzano il ramo destro dell iperbole equilatera y =, traslando ed adattando alla situazione presente si ha una parametrizzazione alternativa di D data da eχ : R R con eχ(t) = ( + cosh t, + sinh t) (si noti infatti che (f eχ)(t) per ogni t); e il cambio di parametro è α : R R dato da y = α(t) = + sinh t. Infine, usando la parametrizzazione χ, la lunghezza del tratto di D contenuto nella striscia y 3 è data da L = R 3 p (y) + dy, e il baricentro geometrico è il R 3 punto ( D, y D ) = (y)p R L (y) + dy, 3 yp L (y) + dy. arctg ( +y) +y +. (a) (Figura ) Il dominio di si ottiene rimuovendo dal piano R il luogo + y + =, ovvero la circonferenza C di centro (, ) e raggio ; in tale dominio g è continua, si annulla sul grafico Γ = {y = } ed ha segno dato dal quoziente tra i segni del numeratore (positivo sopra Γ e negativo sotto) e del denominatore (positivo fuori dalla circonferenza e negativo dentro). I limiti notevoli sono nei punti di C e in. In un qualsiasi punto di C diverso da O(, ) e da A(, ) (le due intersezioni con Γ) il limite è ±, col segno che dipende dal fatto che si tenda al punto da una zona in cui g è ; invece nei punti O e A il limite non esiste, perché tendendovi lungo Γ la funzione è nulla ma in ogni loro intorno vi sono punti di C diversi da loro, in cui come visto g diverge. Quanto a, si noti che il numeratore è limitato mentre al denominatore c è essenzialmente il quadrato della distanza di (, y) dal centro (, ), perciò è probabile che il limite valga : per vederlo con precisione, preso un qualsiasi r >, arctg ( +y) π/ ( ) +y r al di fuori della circonferenza di centro (, ) e raggio r si ha g(, y) =, dunque quando r + si può concludere per confronto. Infine, il segmento I = {(, ) : } è connesso per archi e compatto, ed è tutto contenuto nel dominio di g che è continua: dunque possiamo già dire che anche l immagine g(i) è connessa per archi e compatta, perciò non potrà che essere un intervallo compatto [a, b]. Quanto al calcolo, arctg ( + ) π/ per definizione si ha g(i) = {g(, ) : } = { : } = { : } = [ π, π ] +( ) + + (si noti che u() := π/ è continua e decrescente in [, ], dunque u([, ]) = [u(), u()]). + (b) (Figura 5) L insieme L = {(, y) : ( + ) + y +, y 3} è l intersezione tra le parti interne (chiuse) delle parabole y = ( + ) e y = ( + ) con la striscia orizzontale chiusa y 3, dunque è un compatto sconnesso di R con due componenti connesse. Pur essendo L compatto, g non vi assume estremi assoluti: infatti Weierstrass non si può applicare perché L non è contenuto nel dominio di g, e poi esso contiene dei punti di C nei quali g diverge a ±. L insieme {(, y) : y = log( ), y } è il tratto del grafico y = log che sta sopra la retta orizzontale y = (compreso il punto di intersezione Q( + e, )): si tratta di un arco chiuso e illimitato di R, tutto contenuto nel dominio di g. Non essendo L compatto, non possiamo affermare che g vi assume estremi assoluti usando Weierstrass: tuttavia in questo caso, in cui lim g(, y) = e l insieme in questione è chiuso, si può dimostrare che è comunque vero usando il seguente ragionamento standard. Notiamo intanto che L contiene dei punti in cui g > (ad esempio il punto P (, )) e altri in cui g < (ad 3

8 esempio l estremo Q( + e, )); preso un qualsiasi ε > tale che ε < ma{g(p ), g(q }, per definizione di limite sappiamo che esiste M ε > tale che se (, y) > M ε allora g(, y) < ε; ma allora, detta B ε la palla chiusa di centro O e raggio M ε, gli eventuali estremi di g su L devono coincidere con gli eventuali estremi di g su L B ε (perché fuori da B ε si ha g < ε, e, come visto con P e Q, in L B ε la funzione assume valori superiori a ε e inferiori a ε), e questi ultimi esistono per Weierstrass perché L B ε è un compatto tutto contenuto nel dominio di g, che è continua. L insieme L 3 = {(, y) : sin( + y ) >, > 3} può essere scritto anche come L 3 = S k {(, y) : π + kπ < 6 + y < 5π + kπ} { > 3} : si tratta di una famiglia infinita di corone 6 circolari aperte centrate in O delle quali si prendono però i soli punti con ascissa > 3, aperto complementare della striscia verticale chiusa 3 3. Dunque L 3 è un aperto sconnesso di R con infinite componenti connesse, interamente contenuto nel dominio di g: però, non trattandosi di un chiuso di R, non possiamo applicare il ragionamento fatto per L e allo stato attuale delle nostre conoscenze non siamo in grado di dire se g ammetta o no estremi assoluti su di esso (dopo la seconda parte del corso lo saremo).. La funzione integrale F () di (.b).. Alcune soluzioni y β () di (.b) (in rosso); la curva di cambio concavità (in blu). 3. Le curve di (3.a-b).. Zeri (rosso), segno di g (> in giallo, < in grigio) e il segmento I di (.a). 5. Gli insiemi L (viola), L (azzurro) e L 3 (verde) di (.b).