06 FRAZIONI ALGEBRICHE

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1 06 FRAZIONI ALGEBRICHE PREREQUISITI - Operazioni con i polinomi (Capitolo 4 e Capitolo 5) - Scomposizione in fattori di un polinomio (Capitolo 5) OBIETTIVI DIDATTICI - Saper calcolare MCD ed MCM di polinomi - Saper operare con le frazioni algebriche PARAGRAFI 1 DIVISORI E MULTIPLI DI POLINOMI FRAZIONI ALGEBRICHE 3 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE

2 1 DIVISORI E MULTIPLI DI POLINOMI 3 4 Siano dati i polinomi A= 4+ 4 e B= Osserviamo che è possibile scriverne altri che li dividono entrambi ad esempio o che da essi sono divisi quali Verificate quanto detto eseguendo le relative divisioni Possiamo allora domandarci: Dati due o più polinomi tutti non nulli fra quelli che li dividono è possibile determinarne uno avente grado massimo? Dati due o più polinomi tutti non nulli fra quelli che da questi sono divisi è possibile determinarne uno non nullo avente grado minimo? Rispondere affermativamente al primo quesito vuol dire determinare un polinomio che chiamiamo polinomio massimo comune divisore o semplicemente massimo comune divisore (MCD) dei polinomi dati mentre rispondere affermativamente alla seconda domanda significa determinare un polinomio che diciamo polinomio minimo comune multiplo o semplicemente minimo comune multiplo (MCM) dei polinomi dati Sussistono pertanto le seguenti DEFINIZIONI (massimo comune divisore minimo comune multiplo fra polinomi) Chiamiamo polinomio massimo comune divisore di due o più polinomi tutti non nulli un polinomio che fra quelli che li dividono ha grado massimo Chiamiamo polinomio minimo comune multiplo di due o più polinomi tutti non nulli un polinomio che fra quelli che da questi sono divisi ha grado minimo Vediamo ora come procedere praticamente per determinare nel campo razionale un polinomio che sia massimo comune divisore ed uno che sia minimo comune multiplo di due o più polinomi assegnati In entrambi i casi scomposti in fattori i polinomi conviene assumere come massimo comune divisore un polinomio ottenuto moltiplicando i fattori comuni aventi il minimo esponente presi una sola volta; come minimo comune multiplo un polinomio ottenuto moltiplicando i fattori comuni e non comuni aventi il massimo esponente presi una sola volta OSSERVAZIONE È bene tener presente che massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra polinomi non sono determinati in modo unico potendo ottenerne infiniti altri moltiplicando quelli trovati per un qualsiasi fattore razionale non nullo Pertanto si suol dire che massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra polinomi sono determinati a meno di un fattore razionale non nullo Facciamo alcuni

3 ESEMPI Determiniamo massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra i seguenti gruppi di polinomi 3 A= B= 1 C = + Abbiamo A= ( 1) B= ( + 1)( 1) C= ( + 1) = ( 1) pertanto utilizzando una simbologia analoga a quella vista per gli interi naturali possiamo scrivere mcd( A B C) 1 e mcm( A B C) ( 1)( 1) = = + Notiamo che per quanto detto nella precedente osservazione si può scrivere pure mcd( A B C) = ( 1) e mcm( A B C) = 5 ( + 1)( 1) come potete facilmente verificare 3 4 A 3 ; B 16 ; C y y = + = = + Abbiamo A= ( 1)( ) B= ( + 4)( 4) = ( + 4)( + )( ) C= ( ) + y ( ) = ( )( + y) pertanto mcd( A B C) = e mcm( A B C) = ( 1)( )( + )( + y)( + 4) 3 A y y y ; B y y ; C y y = = + = + Abbiamo A= ( + y) ( + y) + 1( + y) = ( + y)( + 1) = ( + y)( 1) B y y y y = ( + ) 1( + ) = ( + )( 1) = ( + )( + 1)( 1) C = y = y = + y y ( 1) ( 1) ( 1)( ) ( 1)( )( ) pertanto mcd( A B C) = ( 1)( + y) e mcm( A B C) ( y)( y)( 1)( 1) = Abbiamo A B a b a C y = 1 ; = ; = 3

4 A= + B= a b C = + y y ( 1)( 1) ( 1) ( )( ) pertanto mcd( A B C ) = 1 e OSSERVAZIONE mcm( A B C) = a ( b 1)( + y)( y)( + 1)( 1) Quest'ultimo esempio presenta il caso di polinomi per i quali il massimo comune divisore è evidentemente uguale ad In tal caso diciamo che i polinomi dati sono primi fra loro ESERCIZI GUIDATI Determinate un polinomio che sia massimo comune divisore ed uno che sia minimo comune multiplo fra i seguenti gruppi di polinomi A B C = = Risulta A= ( )( ) B= ( ) C = ( ) Pertanto mcd( A B C) = ( 1) mcm( A B C) = ( + )( ) A y B y y C y y y = = + = + Risulta A= + y + ( )( )( ) B= ( + ) ( y) C = ( )( ) Pertanto mcd( A B C ) = mcm( A B C) = ( + )( + ) ( y ) APPLICHIAMO Determinare un polinomio che sia massimo comune divisore e uno che sia minimo comune multiplo fra i seguenti gruppi di polinomi 4

5 a + ab a 4 ab a ab + b ( ) ( + 1) ( 1) ( y ) y + y y La ricerca di un massimo comune divisore e di un minimo comune multiplo fra polinomi dipendenti da una sola variabile può condursi con l algoritmo di Euclide che abbiamo già incontrato nel capitolo dedicato allo studio dei numeri naturali A tal proposito ricordiamo che se a e b sono due numeri naturali non nulli con a > b detto r il resto della divisione a: b risulta che mcd() a b = mcd() b r Vediamo di enunciare un teorema analogo a proposito dei polinomi TEOREMA (sul MCD fra polinomi) Siano A ( ) e B ( ) due polinomi non nulli Supponiamo che il grado di A ( ) sia maggiore o uguale di quello di B ( ) Indicato con R ( ) il resto della divisione fra A ( ) e B ( ) si ha che mcd( A B) = mcd( B R) Per utilizzare tale teorema possiamo procedere in modo analogo a quello visto per i numeri naturali Pertanto se il resto R ( ) della divisione A ( ): B ( ) è nullo allora B ( ) è divisore di A ( ) quindi B ( ) è un polinomio massimo comune divisore Se invece il resto R ( ) non è nullo calcoliamo il resto R 1 ( ) di B ( ): R; ( ) se R 1 ( ) è nullo allora R ( ) è divisore di B ( ) quindi mcd( B R) = R e per il precedente teorema anche mcd( A B) = R se invece R ( ) è diverso da zero si calcola il resto R ( ) di 1 R ( ): R1 ( ) e così via ripetendo il procedimento finché non si ottiene un resto Rn ( ) che sia nullo; il divisore dell ultima divisione ossia quella che ha dato resto nullo è un polinomio massimo comune divisore ESEMPIO Dati i polinomi A= + e B= ; determiniamo con l algoritmo di Euclide mcd( A B ) Eseguendo la divisione A ( ): B ( ) otteniamo come resto R ( ) = + diverso dal polinomio nullo Determiniamo allora il resto R 1 ( ) di B ( ): R; ( ) esso è il polinomio nullo Pertanto R ( ) è divisore di B ( ) quindi mcd( B R) = + e per il precedente teorema anche mcd( A B) = + = ( + 1) Verificate il risultato calcolando mcd( A B ) con la regola pratica precedentemente enunciata Una volta trovato mcd( A B ) possiamo ricavare anche mcm( A B ) in quanto è possibile dimostrare che 5

6 mcm( A B) = A B : mcd( A B) ESEMPIO Consideriamo nuovamente i polinomi Ricordato che mcd( A B) A ( ) 4 3 = + e = ; determiniamo mcm( A B ) 3 B ( ) = + in base a quanto detto abbiamo mcm( A B) = A B: mcd( A B) = ( + )( ):( + ) = ( + ):( + ) = = = + ( 1)( 1) Anche in questo caso verificate il risultato individuando mcm( A B ) con la regola pratica APPLICHIAMO Facendo ricorso all'algoritmo di Euclide determinate massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra i seguenti polinomi FRAZIONI ALGEBRICHE 1 ALCUNE DEFINIZIONI Consideriamo due polinomi Ae B con B non nullo Poiché la divisione A: B rappresenta un'espressione letterale possiamo dare la seguente DEFINIZIONE (frazione algebrica) Siano A e B due polinomi B non nullo Chiamiamo frazione algebrica F di numeratore A e A denominatore B l espressione F = A: B= I polinomi A e B si dicono anche termini della B frazione ESEMPI Le seguenti espressioni letterali rappresentano altrettante frazioni algebriche 6

7 3 a a b 3b OSSERVAZIONE Anche un polinomio A può essere rivisto come una particolare frazione algebrica avente come A denominatore B = 1 potendo scrivere = A :1 = A 1 ESEMPIO + y + = y = 1 1 Tenendo conto di quanto detto a proposito delle espressioni letterali salvo avviso contrario intenderemo tutte le lettere presenti in una frazione algebrica F come variabili razionali Inoltre l insieme dei valori numerici che possono essere sostituiti ad ogni variabile di F ossia tutti e soli quelli che non annullano il suo denominatore si dice dominio di F e si indica con la scrittura dom( F ) I valori che annullano il denominatore di una frazione algebrica la fanno perdere di significato ESEMPI Determiniamo il dominio delle seguenti frazioni algebriche 1 F = + Risulta = 0 per = pertanto dom( F) = { Q : } F = Scomponendo in fattori il denominatore della frazione possiamo scrivere + 1 F = ( + 1)( 1) In virtù della legge di annullamento del prodotto il denominatore ( + 1)( 1) è nullo se + 1= 0 o se 1= 0 il che si ha per = 1 o per = 1; pertanto in questo caso { } dom( F) = Q : 1 e 1 + y 1 3 F = y y 7

8 Scomponendo in fattori il denominatore della frazione possiamo scrivere F = + y 1 y ( + 1)( 1) Risulta quindi y ( + 1)( 1) = 0 per y = 0 oppure per = 1 oppure per = 1; pertanto in questo caso si ha { } dom( F) = ( y) Q Q : 1 1 y 0 4 F = + y 1 y 1 Risulta { } dom( F) = ( y) Q Q : y a b F = a b Risulta { } { } dom( F) = ( a b) Q Q: a b 0 = ( a b) Q Q : a b APPLICHIAMO Determinate il dominio delle seguenti frazioni algebriche + y y y a + b + y a 4a mn m + 3m + 3m+ 1 ( 1) y È bene osservare che il valore che una frazione algebrica assume sostituendo alle lettere numeri razionali del suo dominio è un numero razionale Questo fatto consente di estendere alle frazioni algebriche tutte le proprietà formali delle frazioni numeriche Sussiste pertanto la seguente DEFINIZIONE (uguaglianza tra due frazioni algebriche) A C Siano e B D due frazioni algebriche con B e D polinomi non nulli Diciamo che A B e C D sono uguali se sono uguali i polinomi AD e BC L uguaglianza tra le due frazioni è valida solo nell'intersezione dei due domini in modo da escludere i valori delle variabili che annullano i denominatori B e D 8

9 In simboli A = C se e solo se AD = BC B D OSSERVAZIONE In base alla precedente definizione sono da considerarsi uguali frazioni algebriche del tipo A A A B B B Ad esempio sono uguali le frazioni + 1 ( 1) ( 1) Consideriamo alcuni ESEMPI Stabiliamo se le seguenti frazioni algebriche sono uguali 1 e Supposto 0 le due frazioni algebriche sono uguali in quanto risulta 1 = e 3+ Scomponendo in fattori il denominatore della seconda frazione abbiamo: e 3+ ( + 1)( ) Supposto quindi 1 e le due frazioni algebriche sono uguali in quanto risulta 3 ( 1)( 1)( ) ( 1)( ) + = = + e 3 3 ( 1)( 3 ) = = e 1 Scomponendo in fattori il denominatore della seconda frazione abbiamo: e ( + 1)( 1) 9

10 Supposto quindi 1 e 1 risultando + + = + = + 3 ( )( 1)( 1) ( )( 1) e ( 1)( ) = + = le due frazioni algebriche non sono uguali ESERCIZIO GUIDATO Stabilite se le frazioni algebriche + 1 y + y e y + y y y sono uguali Scomponendo in fattori i denominatori delle due frazioni otteniamo + 1 y( ) 4 + e 1 y ( + ) ( ) Supposto y e poichè possiamo affermare che + + = e y+ ( 1)( ) = ( 1) y ( ) ( ) APPLICHIAMO Stabilire se le seguenti frazioni algebriche sono uguali y 3 y y RIDURRE FRAZIONI ALGEBRICHE ALLO STESSO DENOMINATORE Anche per le frazioni algebriche vale la proprietà invariantiva già vista per le frazioni numeriche Infatti in base alla definizione di uguaglianza tra frazioni algebriche si ha che moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione algebrica per una stessa espressione diversa da zero la frazione si trasforma in un altra uguale 10

11 ESEMPI + 1 Consideriamo la frazione algebrica F = con 0 Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 1 supponendo 1 0 il che avviene per Essa si trasforma in 1 G = Si verifica facilmente che F = G Infatti 3 3 ( + 1)( ) = + = e 3 ( 1) = + y Data la frazione algebrica F = con 0 moltiplichiamo numeratore e denominatore 3 y y per y supponendo y 0 il che avviene per y Essa si trasforma in G = 3 3y Si verifica facilmente che F = G Infatti ( y)(3 3 y) 6 3 y 3y 3 + = e 3 3 ( y y ) = 6 3 y 3y La proprietà invariantiva consente di fare delle considerazioni analoghe a quelle studiate per le frazioni numeriche Sussiste la successiva DEFINIZIONE (frazione algebrica riducibile irriducibile) Una frazione algebrica si dice riducibile oppure semplificabile se i suoi termini non sono primi fra loro ossia ammettono massimo comune divisore diverso dal polinomio unità In caso contrario essa si dice irriducibile oppure non semplificabile Se una frazione è riducibile si può semplificare o ridurre ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per un loro massimo comune divisore Una frazione irriducibile si dice anche ridotta ai minimi termini Facciamo alcuni ESEMPI Semplifichiamo le seguenti frazioni algebriche abc abcd 4 Osserviamo preliminarmente che la frazione non perde di significato per a 0 b 0 c 0 e d 0 4 Sotto tali ipotesi dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore abc otteniamo 11

12 3 5 3 Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore ( + 1)( 1) ( + 1)( 1) 3 Osserviamo che la frazione non perde di significato per 0 per 1 e per 1; inoltre essendo ( + 1)( 1) un massimo comune divisore fra numeratore e denominatore applicando la proprietà invariantiva e semplificando ricaviamo 1 Osserviamo che la frazione suppone anche 1 e ha significato per 0 ma è uguale alla frazione data solo se si 3 y + y y y Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore y ( 1) + yy ( 1) ( y 1)( + y) = ( + y)( y) ( + y)( y) La frazione non perde di significato per y e per y; inoltre essendo + y un massimo comune divisore fra numeratore e denominatore semplificando ricaviamo Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore ( 1) (+ 1)( 1) 1 1 La frazione non perde di significato per 1 e per 1 ossia per e per ; inoltre essendo 1 un massimo comune divisore fra numeratore e denominatore semplificando ricaviamo 1

13 Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore ( )( 3) ( + )( ) La frazione non perde di significato per e per ; inoltre essendo un massimo comune divisore fra numeratore e denominatore semplificando ricaviamo Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore ( 1)( + + 1) ( + + 1) La frazione non perde di significato per 0 e per ; inoltre essendo un massimo comune divisore fra numeratore e denominatore semplificando ricaviamo Sfruttando la proprietà invariantiva possiamo ridurre allo stesso denominatore due o più frazioni Distinguiamo due eventualità A Se A B e C D individuano sotto le opportune ipotesi due frazioni algebriche e se i polinomi B e D si possono scomporre in fattori volendo ridurle allo stesso denominatore procederemo assumendo come denominatore comune un polinomio M che sia loro minimo comune multiplo e come numeratore della prima e della seconda frazione rispettivamente i prodotti AB ' e C D' dove B' = M : B e D' = M : D ottenendo le frazioni algebriche 13

14 AB' M e C D' M che sono uguali a quelle date (verificatelo!) B Invece non riuscendo a fattorizzare i polinomi B e D possiamo assumere come denominatore comune il prodotto B D e come numeratore della prima e della seconda frazione rispettivamente i prodotti AD e BC ottenendo le frazioni algebriche AD B D e BC B D uguali alle date (verificatelo!) OSSERVAZIONE È bene notare che prima di ridurre allo stesso denominatore due o più frazioni algebriche potrebbe essere conveniente semplificarle nel caso ciò sia possibile Chiariamo quanto detto con alcuni ESEMPI Riduciamo allo stesso denominatore le seguenti frazioni Scomponiamo in fattori i denominatori delle frazioni 1 ( )( 3) ( ) Supponendo 3 Assumiamo come denominatore comune un polinomio che sia minimo comune multiplo fra i denominatori ( )( 3) e ( ) ossia ( ) ( 3) Osservato che ( ) ( 3) : ( )( 3) = e che ( ) ( 3) : ( ) = 3 moltiplichiamo i numeratori delle frazioni rispettivamente per e per 3 ottenendo ( 1)( ) ( ) ( 3) ( 3) ( ) ( 3) e 3 y y y 4 Scomponiamo in fattori i denominatori delle frazioni 14

15 3 y ( + y)( y) ( + y)( y) supponendo y y e 0 Assumiamo come denominatore comune un polinomio che sia minimo comune multiplo fra i denominatori ( + y)( y) e ( + y)( y) ossia ( + y)( y) Osservato che [ ] ( + y)( y) : ( + y)( y) = e che ( + y)( y) : ( + y)( y) = 1 moltiplichiamo i numeratori delle frazioni rispettivamente per e per 1 ottenendo 3 ( + y)( y) 3 y ( + y)( y) e y + y Scomponiamo in fattori i denominatori delle frazioni y + y ( + 1)( ) ( )( + 1)( 1) supponendo 0 1 Assumiamo come denominatore comune un polinomio che sia minimo comune multiplo fra i denominatori ( + 1)( ) e ( )( + 1)( 1) ossia ( + 1)( 1)( ) Osservato che [ ( + 1)( 1)( )]:[ ( + 1)( )] = 1 e che [ ( + 1)( 1)( )]:[( )( + 1)( 1)] = moltiplichiamo i numeratori delle frazioni rispettivamente per 1 e per ottenendo ( y)( 1) e ( + 1)( 1)( ) ( + y ) ( + 1)( 1)( ) 15

16 Scomponiamo in fattori i numeratori e i denominatori delle frazioni ( + 1)( 1) ( + )( ) ( + 1) ( ) supponendo 1 0 Semplificando le frazioni abbiamo Assumiamo come denominatore comune un polinomio che sia minimo comune multiplo fra i denominatori + 1 ed ossia + ( 1) Osservato che [ ( + 1)] : ( + 1) = e che [ ( + 1)] : = + 1 moltiplichiamo i numeratori delle frazioni rispettivamente per e per + 1 ottenendo ( 1) ( + 1) e ( + )( + 1) ( + 1) ESERCIZIO GUIDATO Ridurre allo stesso denominatore le seguenti frazioni Scomponiamo in fattori i denominatori ( 1) ( + 1) ( + 1) supponendo Semplifichiamo le frazioni 1 1 ( + 1) Assumiamo come denominatore comune un polinomio che sia minimo comune multiplo fra i denominatori ossia ( + ) Osservato che dividendo il denominatore comune per i denominatori delle frazioni otteniamo nell'ordine 16

17 le frazioni aventi lo stesso denominatore sono + APPLICHIAMO Ridurre allo stesso denominatore le seguenti frazioni dopo averne determinato il dominio 1 3y 3 3 y yz y + y + y + y OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE 31 L'ADDIZIONE ALGEBRICA Definiamo l'addizione algebrica tra frazioni procedendo in modo analogo a quello visto per i numeri razionali Pertanto se le frazioni hanno lo stesso denominatore poniamo A C A+ C + = B B B Se invece le frazioni presentano denominatori diversi applicheremo la precedente definizione dopo averle ridotte allo stesso denominatore A C AD BC AD + BC + = + = B D B D B D B D Spesso si è soliti scrivere direttamente A C AD + BC + = B D B D 17

18 Ricordiamo che l uguaglianza è valida solo nell'intersezione dei domini delle due frazioni addendi in modo da escludere i valori delle variabili che annullano i denominatori B e D Ovviamente se i denominatori delle frazioni algebriche sono polinomi fattorizzabili nel campo razionale conviene assumere come denominatore comune un polinomio che sia minimo comune multiplo fra i denominatori delle frazioni assegnate È bene osservare inoltre che se le frazioni addendi sono riducibili conviene prima semplificarle e poi addizionarle OSSERVAZIONI Si può verificare che l operazione di addizione così definita è associativa; l operazione di addizione è commutativa; 3 l operazione di addizione è dotata di elemento neutro dato dalla frazione nulla 0 B con B polinomio arbitrario non nullo; 4 ogni frazione algebrica A B è dotata di opposto dato da A B Esaminiamo degli ESEMPI Eseguiamo le addizioni indicate 1 1 y + y + = con 0 y 0 y y y y 1 + ( + ) ( ) = = = 4 + ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) con 1 4 (+ 1)( 1) ( + )( ) 3 = = ( ) ( 1)( + ) ( + )( ) ( + ) ( )(+ 1) ( )( + ) = = = + ( )( + ) ( + 4 ) ( 4) + 4 ( 3 ) + 4 = = = ( )( + ) ( )( + ) = = ( )( + ) ( )( + ) con 0 1 ESERCIZIO GUIDATO Eseguite le addizioni indicate 18

19 ( ) + ( ) + = + = = ( )( ) 1 ( )( ) = = ( )( ) ( )( ) Con 1 APPLICHIAMO Eseguire le addizioni indicate determinando di volta in volta il dominio delle frazioni algebriche y y y + y y 3 y 3y 4 1 y y + y MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE Siano A B e C D due frazioni algebriche Per definizione poniamo A C AC = B D B D OSSERVAZIONI Si può verificare che: l operazione di moltiplicazione così definita è associativa; l operazione di moltiplicazione è commutativa; 3 l operazione di moltiplicazione è dotata di elemento neutro dato dalla frazione unitaria 1 1 = ; 1 4 ogni frazione algebrica A B non nulla ossia tale che A sia diverso dal polinomio nullo è dotata di reciproco dato da B A ; 5 l addizione e la moltiplicazione sono legate dalla proprietà distributiva; 6 vale la legge di annullamento del prodotto 19

20 Passiamo ora alla divisione tra frazioni algebriche Siano A B e C D due frazioni algebriche con B C e D polinomi non nulli Per definizione poniamo A C A D : = B D B C Per rendere più agevole la moltiplicazione tra frazioni algebriche tenendo conto di quanto già detto a proposito delle frazioni numeriche conviene se possibile eseguire la nota semplificazione in croce Esaminiamo alcuni ESEMPI Eseguiamo le moltiplicazioni e le divisioni proposte

21 6 ESERCIZIO GUIDATO Eseguite le moltiplicazioni e divisioni proposte APPLICHIAMO Eseguite le moltiplicazioni e divisioni proposte indicando di volta in volta i valori delle variabili che non fanno perdere di significato le espressioni : :

22 y : y y y : + y y y + y 3 a 4a+ 4 a + a a 3 3 a a a a ab a 3 : b + b b 3b a ab a 33 ELEVAMENTO A POTENZA Sia n un numero naturale maggiore o uguale a ; l ennesima potenza della frazione algebrica A B è data dal prodotto della frazione per se stessa n volte pertanto in base alla definizione di moltiplicazione se n abbiamo n A = B A B n n Inoltre poniamo 1 A = B A B e se il numeratore è diverso dal polinomio nullo 0 A = 1 B Si verifica facilmente che sotto le opportune ipotesi sono ancora valide tutte le proprietà dell elevamento a potenza già studiate nel capitolo dedicato ai numeri razionali OSSERVAZIONE È bene tenere presente che nello svolgimento degli esercizi sull elevamento a potenza di una frazione algebrica al fine di rendere più agevoli i calcoli è conveniente per prima cosa fattorizzare se possibile i polinomi che si trovano al numeratore e al denominatore della frazione stessa eventualmente semplificarla e quindi operare in base alla definizione data Esaminiamo alcuni ESEMPI Eseguiamo i seguenti elevamenti a potenza ( + 1) = 1 ( 1) 3 con 1

23 APPLICHIAMO Eseguite i seguenti elevamenti a potenza indicando di volta in volta i valori delle variabili che non fanno perdere di significato le espressioni + 3 a 5 3

24 y + y y 3 3 y 3 + y y y+ + y FRAZIONI A TERMINI FRAZIONARI A Una frazione a termini frazionari è individuata da una scrittura del tipo B dove B C D sono C D polinomi non nulli Sotto le precedenti ipotesi ricordando la definizione di frazione algebrica una frazione a termini A C frazionari può riscriversi anche nel modo seguente : B D Così facendo una frazione a termini frazionari viene trasformata nella divisione tra due frazioni algebriche cosa che può rivelarsi utile nello svolgimento di alcuni esercizi come viene messo in evidenza dai successivi ESEMPI 4

25 3 APPLICHIAMO Semplificate le seguenti frazioni algebriche a termini frazionari 3 ( 1) y y 6y ESPRESSIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE Dedichiamo questo paragrafo allo svolgimento di alcune espressioni con le frazioni algebriche Ricordiamo che anche in questo tipo di esercizi valgono le regole già viste per le espressioni numeriche 5

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