Dispensa per il modulo METODI MATEMATICI Corso di Laurea in Fisica. La Trasformata Di Fourier

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1 1 Dispensa per il modlo METODI MATEMATICI Corso di Larea in Fisica La Trasformata Di Forier G. Nisticò

2 2 1. INTRODUZIONE Sia f na fnzione complessa di variabile reale, integrabile in modlo, cioè tale che + f(t) dt < +. Allora, per ogni nmero reale k esiste l integrale improprio 1 + e ikx f(x)dx. Il valore di qesto integrale dipende da k; pertanto, in corrispondenza di ogni fnzione f integrabile in modlo si pò definire na fnzione ˆf : R C, k ˆf(k) = 1 + e ikx f(x)dx, che è definita per ogni valore di k. Forier della fnzione f. Esempio 1. Sia f(x) = 1 e x2 2. Allora ˆf(k) = 1 e k2 2. La fnzione ˆf è la trasformata di La trasformata di Forier ha molteplici applicazioni nella Fisica e nella Fisica-Matematica. Tra qeste applicazioni è importante la possibilità di tilizzare la trasformata di Forier per determinare la solzione di eqazioni differenziali. Tale possibilità è na consegenza di na proprietà della trasformata di Forier, che adesso metteremo in evidenza. Sia f na fnzione integrabile in modlo, tale che la sa derivata f (x) = df (x) sia dx anch essa integrabile in modlo. Inoltre spponiamo che f sia infinitesima per x, cioè che x f(x) =. La trasformata di Forier di f pò essere calcolata mediante n integrazione per parti ˆf (k) = 1 + f (x)e ikx dx = = 1 [f(x)e ikx ] x=+ x= + ik 1 + f(x)e ikx dx.

3 3 Siccome f per ipotesi è infinitesima, il primo termine si annlla, e qindi otteniamo la segente proprietà: ˆf (k) = ikˆf(k). Spponiamo ora di dover determinare la solzione y dell eqazione differenziale y + 2y + 3y = φ dove φ è na fnzione nota che possiede la propria trasformata di Forier ˆφ. Trasformando ambo i membri dell eqazione mediante la trasformata di Forier e applicando la proprietà di trasformazione di na derivata si ottiene k 2 ŷ + ik2ŷ + 3ŷ = ˆφ cioè ( k 2 + 2ik + 3)ŷ(k) = ˆφ(k). Pertanto, se y è na solzione dell eqazione differenziale, la sa trasformata di Forier deve essere ŷ(k) = ˆφ(k) ( k 2 + 2ik + 3). È possibile determinare na fnzione y che abbia qesta ŷ come trasformata di Forier? Nel segito stabiliremo sotto qali condizioni la risposta è affermativa. In particolare dimostreremo che vale la formla integrale di Forier: se f è (i) sezionalmente contina, (ii) integrabile in modlo e se esistono l 1 = ɛ + f(x + ɛ) f(x + ) ɛ e l 2 = ɛ f(x + ɛ) f(x ) ɛ

4 4 allora 1 2 [f(x+ ) + f(x 1 β )] = e ikxˆf(k)dk. β β Se x è n pnto di continità, il membro sinistro è proprio f(x). Ogni solzione y dell eqazione considerata che soddisfi le condizioni (i) e (ii) è determinata dalla formla integrale di Forier in ttti i pnti x dove essa è contina e ammetta i iti l 1 e l 2, sostitendo ŷ(k) a ˆf(k). È evidente che il metodo che abbiamo tracciato è estendibile ad na ampia classe di eqazioni differenziali lineari a coefficenti costanti. Il prossimo paragrafo è dedicato alla dimostrazione della formla integrale di Forier. Nel sccessivo, saranno stdiate le proprietà della trasformata di Forier, tra le qali di particolare importanza è il teorema di convolzione. 2. LA FORMULA INTEGRALE DI FOURIER Definizione 1. Una fnzione complessa di variabile reale è sezionalmente contina se la sa restrizione s ogni intervallo itato è contina a tratti ed esistono in ogni pnto ite destro e ite sinistro. Lemma 1. Se g è sezionalmente contina allora g è sezionalmente contina. Teorema 1. (Formla integrale di Forier). Sia f na fnzione complessa di variabile reale tale che (i) + f(t) dt < + (ii) f è sezionalmente contina. Allora 1 2 [f(t+ ) + f(t 1 β )] = β β + e iyt f(τ)e iyτ dτdy

5 5 dove f(t ± ) = f(t + h). h ± I segenti lemmi verranno tilizzati nella dimostrazione. Lemma 2. (Di Riemann-Lebesge). Sia f contina a tratti s [, c]. Allora c f() d = c f() cos r d =. Dimostrazione. Consideriamo prima il caso in ci f è contina s n intervallo compatto [a, b]. Allora, ɛ > esiste δ ɛ > tale che < δ ɛ implica f() f( ) < ɛ. (1) Consideriamo N pnti = a, 1 > a, 2 > 1,..., N = b > N 1, tali che k k 1 < δ ɛ. Allora b a f() d = N k=1 = k k k 1 f() d = f( k 1 ) k k k 1 d+ + (f() f( k 1 )) d. k k 1 Consideriamo il modlo del secondo termine del membro destro della (2) k (f() f( k 1 )) d ɛ(b a). (3) k 1 k Per il primo termine abbiamo k f( k 1 ) d = 1 f( k 1 )(cos r k 1 cos r k ) r k k 1 k Max { f() }2N r per r. (2)

6 6 Dnqe, nella (2) il primo termine tende a zero se r, mentre il secondo termine è più piccolo di ɛ(b a), qalnqe sia ɛ. Qindi, se f è contina s [a, b] b a Ma se f è contina a tratti s [, c], allora f() d =. (4) c f() d = k bk a k f() d dove s ogni intervallo [a k, b k ] la f è contna, definendo La tesi del lemma sege dalla (4). f(a k ) = h + f(a k + h) f(b k ) = h f(b k + h). Lemma 3. Se f è na fnzione complessa di variabile reale sezionalmente contina, integrabile in modlo ( + f(t) dt < + ) e tale che esiste il ite f(ɛ) f( + ) f ɛ + ɛ D(), allora f() d = π 2 f(+ ). Dimostrazione. Il primo passo è dimostrare che per ogni c > Possiamo scrivere c f() c f() c d = π 2 f(+ ). (5) f() f( + ) d = d+ c + f( + ) d. (6)

7 7 Nel primo termine del secondo membro della (6) la fnzione f() f(+ ) sezionalmente contina per la terza ipotesi del lemma. Pertanto possiamo applicare il lemma 2 per concldere che è Dalla (6), c f() f( + ) d =. c f() d = f( + ) = f( + ) = f( + ) π 2, rc rc r d(r) = sin t dt = t che è la (5). Per provare il lemma, osserviamo che per ogni c > 1 e ogni r f() d π 2 f(+ ) c f() d π 2 f(+ ) + (7) + f() d. Per ogni ɛ >, siccome f è integrabile in modlo, esiste c tale che c c f() d < ɛ 2. Una volta fissato tale c, per la (5), esiste r ɛ tale che se r > r ɛ c f() d π 2 f(+ ) < ɛ 2. Utilizzando qeste diseqazioni nella (7) concldiamo che per ogni ɛ >, esiste r ɛ tale che r > r ɛ implica f() d π 2 f(+ ) < ɛ,

8 8 che è la tesi. Possiamo ora dimostrare il segente teorema Teorema. (Formla integrale di Forier). Sia f na fnzione complessa di variabile reale, sezionalmente contina. Se (i) + f(t) dt < + (ii) x R è tale che esistono i iti Allora 1 2 [f(x+ ) f(x )] = 1 π f(x + ɛ) f(x ± ) ɛ ± ɛ + (che è nota come formla integrale di Forier). Dimostrazione. Consideriamo gli integrali I r 1(x) = I r 2(x) = r r x x = f (x ± ) f(s) cos α(s x)ds f(s) cos α(s x)ds (8) f(s) cos α(s x)ds. Se introdciamo la variabile = s x abbiamo I r 1(x) = = r r n=1 f(x + ) cos α()d = xn+1 x n f() cos (α)d dove x n è na sccessione crescente tale che x 1 = e n x n =, e f è definita da f() = f(x + ). Per ogni fissato n, l integrale F n (α) = x n+1 x n f() cos (α)d è na fnzione di α e si ha f() cos(α)d = F n (α). n=1

9 9 Siccome F n (α) = n=k x k f() cos α()d f() d, per k x k la convergenza della serie n F n(α) è niforme, pertanto pò essere integrata termine a termine rispetto a α s [, r]; cioè I r 1(x) = r = n = n n r F n (α) = F n (α) = r ( xn+1 x n ) f() cos α d. Ora, se i pnti x n vengono scelti proprio come i pnti di discontinità di f() = f(x + ), f() cos α rislta contina s [, r] rispetto a α e s [x n, x n+1 ] rispetto a. Qesto implica che si pò scambiare l ordine di integrazione nella (9), ottenendo I r 1(x) = n = = Allora, per il lemma 3 xn+1 r ( x n r f() f() f() cos α )d = cos α d = d. (9) cioè Ir 1(x) = f( + ) π 2 = = f(x + ) π 2 = r = x x f(s) cos α(s x)ds f(s) cos α(s x)ds = π 2 f(x+ ). (1)

10 1 Adesso dimostreremo che Ir 2(x) = x f(s) cos α(s )ds = π 2 f(x ). (11) Abbiamo I r 2(x) = r x r f(s) cos α(s x)ds = x f(x ) cos α( d) dove si è effettata la sostitzione = x s. Dnqe, ponendo f v () = f(x ) I2(x) r = = r r ( x x f v () cos αd) = f v () cos α()d. Da qesto pnto, si procede come si è fatto per I r 1(x), ottenendo Ir 2(x) = π 2 f v ( ) = π 2 f(x ), poiche f v ( ) = f(x ). Qindi la (11) è dimostrata. Da (1) e (11) si ottiene π 2 [f(x+ )+f(x )] = [I r 1(x)+I r 2(x)] = f(s) cos α(s x)ds. La formla integrale di Forier appena dimostrata pò essere scritta in

11 11 diverse forme eqivalenti. 1 2 [f(x+ ) + f(x )] = 1 π β = 1 π β = 1 β + 1 β = 1 β + 1 β β β β β β β f(s) cos α(x s)ds = f(s) eiα(x s) + e iα(x s) ds = 2 e iαx f(s)e iαs ds+ e i( α)x f(s)e i( α)x ds = dke ikx f(s)e iks ds+ dke ikx f(s)e iks ds = 1 β ( 1 = dk e ikx f(s)e iks ds β β ). (12) 3. Proprietà della trasformata di Forier Alcne proprietà della trasformata di Forier sono na diretta consegenza della sa definizione. In particolare (i) se f e g hanno trasformate ˆf e ĝ, rispettivamente, allora la somma f + g ha trasformata di forier ˆ (f + g)(k) = ˆf(k) + ĝ(k) (ii) ˆ (λf) = λˆf (iii) se f è sezionalmente contina e f < +, ˆf(k) = k implica f(x) = x dove f è contina (Applicare la formla integrale di Forier).

12 12 Importanti applicazioni segono dal teorema di convolzione. Se f e g sono fnzioni sezionalmente contine, integrabili in modlo, sotto opportne condizioni esiste per ogni x l integrale 1 f(x )g(x x )dx = (f g)(x). Ad esempio (f g)(x) esiste x, se f e g sono pre integrabili in modlo al qadrato, cioè se f 2 < + e g 2 < +. La fnzione f g così definita è detta convolzione di f e g. Vale il segente teorema Teorema di convolzione. Se f e g e f g hanno trasformate di Forier, allora Infatti (f ˆ g)(k) = 1 ˆ (f g)(k) = ˆf(k)ĝ(k). dxe ikx f(x )g(x x )dx = invertendo ordine di integrazione = 1 dx e ikx f(x )g(x x )dx = ponendo y = x x = 1 = ( 1 = ˆf(k)ĝ(k). dx f(x ) e iky g(y)e ikx dy = ) ( 1 f(x )e ikx dx ) g(y)e iky dy =