Corso di Fluidodinamica delle Macchine

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1 Corso di Flidodinamica delle Macchine A.A Capitolo I-3: Flssi non viscosi sbsonici, transonici e spersonici Flsso Transonico Trbine Nozzle

2 Pagina Flsso sbsonico stazionario Qesti sono rappresentati dalle de eqazioni 6-8 e 6-8. Il caso di maggior interesse è qello piano in ci la 6-8 diviene 6-9. Tale eqazione è sempre ellittica nel caso sbsonico M <, infatti i coefficienti delle de derivate in x e x sono sempre maggiori di zero. 0 + x x M M x M x M ϕ ϕ ϕ > 0 per M < 6-9

3 ϕ ϕ ϕ M + M M M 0 x x x x 6-9 > 0 per M < Il problema si presenta sempre ben definito ed è ricondcibile ad no dei classici problemi della fisica: Dirichlet -> si assegnano le condizioni al contorno in termini di: ϕ n Von Nemann -> si assegnano le condizioni al contorno in termini di ψ Le formlazioni più ricorrenti sono qelle a potenziale in ϕ eq. 6-9 oppre qelle in ψ eq Esclso il caso ρ cost, le eqazioni sono non lineari ed è necessario operare con approssimazioni per risolverle oppre passare a metodi nmerici. Pagina 3

4 Nel caso di M > il flsso è spersonico, le caratteristiche delle eqazioni mtano, ed è necessario disctere sia i metodi di solzione che le se pecliarità. In qesto caso M > i coefficienti delle de derivate in x e x sono sempre < 0 e pertanto le eqazioni sono di tipo iperbolico. Una pecliarità delle eqazioni di tipo iperbolico è che nel flsso spersonico esistono delle linee nel piano x,x attraverso le qali la derivata in direzione normale è discontina. Pagina 4

5 Tali linee sono dette Linee di Mach o Linee Caratteristiche. Per loro definizione esse sono tali che la componente di moto loro ortogonale è gale ad a, pertanto l angolo che qeste formano con la linea di corrente rislta immediatamente individato come: sin a sin M Pagina 5

6 Flssi Spersonici Piani Stazionari Urti Obliqi Per qesta categoria di flssi è possibile che si stabilisca n onda d rto stazionaria che potrà essere piana od obliqa rispetto alla velocità, trattandosi di moto bidimensionale. Il fenomeno è analogo a qello degli rti retti. Nel caso di rto obliqo solo la componente normale all rto cambierà secondo le classiche relazioni di Hgoniot. La figra segente rappresenta na condizione in ci si realizza l rto obliqo. Pagina 6

7 L angolo β fra la velocità e la direzione dell rto deve essere tale che la componente normale all rto si maggiore di a: n a Qindi β deve sottostare ad alcne restrizioni che risltano geometricamente dalla figra: sin β a; da ci π β sin M Pagina 7

8 Esiste poi na relazione fra l angolo di deviazione e β poiché la componente tangenziale di velocità deve rimanere costante, dal bilancio della QdM in direzione dell rto: β cos β cos Facendo so delle relazioni di Hgoniot per pressione e temperatra è possibile ricavare con manipolazioni trigonometriche la relazione fra e β in forma esplicita: tan tan M β M sin β γ + cos β + Pagina 8

9 tan tan M β M sin β γ + cos β La figra segente riporta il grafico della 6-5: 0 per β π β sin M Pagina 9

10 Per ogni valore di M esiste n valore max. di Se < max Esistono de valori di β relativi al campo per ci M < rto forte e campi in ci M > rto debole L angolo β MIN è qello per ci: M sin β e a ci corrisponde 0, cioè n onda di intensità nlla. Qesto valore di β si chiama angolo di Mach, ed è associato ad ogni pnto nello spazio di n flsso spersonico. Le linee che si movono con inclinazione sono de si chiamano linee di Mach. Dati n valore di M e di pò non esistere intersezione. In qesto caso si ha n rto staccato. Pagina 0

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12 Flssi Spersonici Piani Stazionari Esempi Urto staccato Pagina

13 Sistema di rti non stazionario in trbine transoniche Pagina 3

14 Compressione isentropica Pagina 4

15 Si pò dimostrare che per onde deboli e piccole deviazioni si ha la segente semplificazione nella relazione fra e il decremento di velocità attraverso l onda: M Si consideriamo na variazione gradale dell angolo verso il flsso, la compressione, che prima avveniva con rto in qesto caso si realizza per continità e na infinità di linee di Mach. s 3 ; per 0; s 0 Le variazioni delle grandezze diventano infinitesime qella di entropia è n infinitesimo del 3 ordine per ci il processo diviene isoentropico Pagina 5

16 Fnzione di Prandtl-Meyer Anche la variazione di velocità rislta infinitesima per ci si ha: d d M Qesta relazione è integrabile e il so integrale è la fnzione di Prandtl-Meyer: M dm M + cos t k + M M B tan M tan B La costante di integrazione è scelta in modo che: M dove B M 0; per M k k Le dimensioni di sono radianti e viene tabellata in gradi per semplicità di tilizzo. Pagina 6

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18 M B tan M dove B 6-6 M tan B k + k Le linee di Mach tendono ad incontrarsi. Allontanandosi i gradienti delle grandezze amentano e ad na data distanza le linee di Mach formano n rto obliqo con s > 0. Pagina 8

19 Espansione di Prandtl-Meyer Analoghe considerazione si possono fare per l espansione anche nel caso di brsco allargamento. Infatti per brsco allargamento n onda di espansione non è fisicamente possibile s < 0 e qindi l espansione si realizza attraverso n cosiddetto ventaglio di espansione Le regioni in ci esiste na sola famiglia di linee di Mach si dicono a semplice onda e le linee restano rettilinee. Dove si formano de famiglie di linee di Mach ci sono regioni del campo di moto dove l interazione delle linee fra di loro fa sì che si incrvino. Pertanto, la relazione fra e ν non è più la segente: Pagina 9

20 Fnzione di Prandtl-Meyer M B tan M B tan M dove B k k + Condizioni iniziali: analoghe al caso delle eqazioni di Navier-Stokes Condizioni al contorno: Essendo scomparse dalle eqazioni le derivate seconde della velocità e della temperatra si ridce il nmero di condizioni che si possono imporre: Non è più possibile imporre la T o le se derivate ai contorni solidi poiché assenza di scambio termico k 0 Non è possibile imporre 0 si contorni solidi. Si pò porre che il vettore della velocità c non penetri od esca dal solido cioè: n 0 sarà tangente ai contorni solidi ma 0 Le condizioni sl vettore velocità modlo, direzione e verso sono possibili solo in alcni casi ad esempio condizioni all infinito assegnate. Pagina 0

21 Flssi Spersonici Piani Stazionari Esempi Pagina

22 Considerazioni generali si flssi non viscosi Dall analisi delle eqazioni 6- e 6- si possono sintetizzare le segenti considerazioni: Il moto è sempre isoentropico: la particella è ad entropia costante Il moto è isoentalpico totale: cioè ad entalpia totale costante per la particella, se stazionario e senza forze di massa La condizione di barotropicità [p fρ, T fρ] condce a dire che in presenza di forze conservative, flssi irrotazionali ω0 restano tali Pagina

23 0 n s Introdcendo e ν: 6-0 Il Moto d tg d d M d ; n s tg n s M Irrotazionale n tg s ; n tg s n tg s ; n tg s Eqazioni in coordinate natrali M sin Pagina 3

24 cos cos + η η η y y f x x f f x y η f cos xη yη cos η x f x f 0 sin cos 0; sin cos n s n s s n η f cos sin η ξ sin Linee caratteristiche derivata in na nica direzione 6-0 * cos Pagina 4

25 6-0 tan 0; tan n s n s 0 0; + ξ η d d d d sin ; cot ; cos ξ ξ η η d dn d ds d dn d ds Pagina 5