Flussi bidimensionali stazionari con piccole perturbazioni

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1 Capitolo 2 Flussi bidimensionali stazionari con piccole perturbazioni 2.1 Equazione del potenziale Nell ipotesi di fluido ideale ed in assenza di onde d urto, le equazioni di conservazione (1.31), (1.32) e (1.34) per un flusso stazionario assumono la forma V ρ + ρ V = 0 (2.1) V ( V ) V + 1 p = 0 (2.2) ρ V ( h 1 p) = 0 (2.3) ρ dove si è fatto uso dell espressione dell accelerazione di Lagrange DV Dt = V t + V ( V ) V Eliminando il termine 1 p tra le (2.2) e (2.3) e tenendo conto che ρ V ( V ) V è identicamente nullo, si ha V ( h + V 2 2 ) = 0 (2.4) Quest espressione mostra che l entalpia totale si mantiene costante lungo una linea di corrente. Nella maggior parte dei casi di interesse pratico si hanno flussi che all infinito a monte sono uniformi e che hanno quindi lo stesso valore 16

2 Capitolo 2 17 di entalpia totale sulle diverse linee di corrente. In questo caso il flusso è omentalpico e la (2.4) si riduce a ovvero ( h + V 2 2 ) = 0 (2.5) H = cost (2.6) Eliminando il termine 1 p fra la (2.2) ed il primo principio della termodinamica scritto nella ρ forma si ottiene T s = h 1 p (2.7) ρ T s ( V ) V = H (2.8) Quest ultima espressione è nota come il teorema di Crocco ed indica che in un flusso omentalpico si ha una vorticità diretta normalmente al vettore velocità ed al gradiente dell entropia. Se il flusso oltre ad essere omentalpico è anche omentropico ( s = 0), la (2.8) mostra che la vorticità è nulla ed il flusso è irrotazionale. Si osservi che, utilizzando la (2.7), l equazione di conservazione dell energia (2.3) può anche scriversi V s = 0 (2.9) ed esprime il fatto che il flusso è isentropico, ovvero che l entropia si mantiene costante lungo una linea di corrente. Però se l entropia ha un diverso valore da una linea di corrente all altra, il flusso non è omentropico ed è quindi rotazionale. Come si vedrà nel Capitolo 5, è questa la situazione che si verifica nei flussi a valle di urti curvi. Con l ipotesi di omentalpia e omentropia, ovvero di irrotazionalità, la (2.2) si riduce a V p = 0 (2.10) ρ nota anche come equazione di Bernoulli, e p può essere espresso in funzione

3 18 Capitolo 2 di ρ come Combinando le (2.1), (2.10) e (2.11) si ottiene p = a 2 ρ (2.11) V V 2 2 a2 V = 0 (2.12) che, scritta nel caso bidimensionale in termini di coordinate cartesiane, risulta (u 2 a 2 )u,x + uv(u,y + v,x ) + (v 2 a 2 )v,y = 0 (2.13) Quest equazione assieme alla condizione di irrotazionalità ed alla (2.6), che può essere scritta nella forma con u,y v,x = 0 (2.14) a 2 + δ(u 2 + v 2 ) = a 2 0 (2.15) δ = γ 1 2 costituisce un sistema di due equazioni quasi-lineari più una relazione algebrica nelle tre incognite u, v, a. Poiché l irrotazionalità consente di introdurre una funzione potenziale di velocità Φ tale che V = Φ (2.16) le due equazioni (2.13) e (2.14) possono anche essere ridotte ad un unica equazione del secondo ordine nell incognita Φ ( Φ 2, x a 2) ( Φ,xx + 2Φ,x Φ,y Φ,xy + Φ 2, y a 2) Φ,yy = 0 (2.17) Quest equazione prende il nome di equazione completa del potenziale per distinguerla da quella semplificata che verrà introdotta nel prossimo paragrafo. 2.2 Metodo delle piccole perturbazioni La soluzione del sistema di equazioni (2.17) e (2.15) presenta in genere notevoli difficoltà dovute al fatto che le equazioni sono non lineari, Quando le condizioni geometriche del problema lo consentano, si può allora cercare di semplificare

4 Capitolo 2 19 la soluzione linearizzando le equazioni. Tale soluzione, anche se approssimata, fornisce spesso una descrizione sufficientemente valida dei fenomeni reali. L idea è quella di assumere uno stato di riferimento noto e di considerare solo piccole variazioni rispetto a questo stato. In questo modo è possibile trascurare le variazioni nei coefficienti dell equazione (2.17), i quali risultano quindi noti. Si consideri ad esempio il problema di un profilo alare immerso in una corrente uniforme diretta lungo l asse x. Se il profilo è sottile, poco arcuato e disposto con un piccolo angolo di incidenza, la perturbazione di velocità generata dalla presenza del profilo sarà piccola: si può cioè supporre che in ogni punto del campo la velocità differisca di una quantità piccola dalla velocità V della corrente indisturbata. Indicando con ũ e ṽ le componenti della velocità di perturbazione adimensionalizzate rispetto a V le componenti di velocità in un generico punto del campo saranno u = V (1 + ũ) v = V ṽ (2.18) con ũ 1 e ṽ 1 (2.19) Il potenziale totale è dato dalla somma del potenziale della corrente indisturbata e del potenziale di perturbazione Φ = V l(x + φ) (2.20) In questa espressione φ è il potenziale di perturbazione adimensionalizzato rispetto a V l e con l apice vengono indicate le coordinate adimensionalizzate rispetto ad una lunghezza caratteristica l. Le (2.18) possono anche scriversi in termini di derivate del potenziale. Φ,x = V (1 + φ,x ) (2.21) Φ,y = V φ,y e l equazione (2.15) può essere scritta nella forma a 2 = a 2 + δv 2 δ(φ2, x + Φ 2, y )

5 20 Capitolo 2 ovvero avendo definito a 2 = V 2 [ 1 M 2 ( δ φ 2, + 2φ x, x + φ 2, y ) ] (2.22) M = V a (2.23) Sostituendo le (2.21) e (2.22) nella (2.17) ed omettendo per comodità gli apici che indicano le coordinate adimensionali, si ottiene (1 M 2 )φ, xx + φ,yy = M 2 + M 2 [2(1 + δ)φ,x + (1 + δ)φ 2, x + δφ 2, y ] φ,xx [2δφ,x + δφ 2, x + (1 + δ)φ 2, y ] φ,yy (2.24) + M 2 φ,y 2(1 + φ,x )φ,xy In base all ipotesi di piccole perturbazioni (2.19) tutti i termini non lineari a secondo membro della (2.24) sono in generale trascurabili rispetto ai termini a primo membro e l equazione del potenziale si riduce quindi all equazione linearizzata (1 M 2 )φ, xx + φ,yy = 0 (2.25) Questa semplificazione non può essere fatta nel caso in cui M = 0(1) cioè nel caso di flusso transonico. Per M 1 infatti, il primo termine della equazione (2.24) tende a zero e conseguentemente φ yy diviene anch esso piccolo e confrontabile con i termini dominanti a secondo membro della (2.24). In queste condizioni il coefficiente 2M 2 (1+δ)φ, x risulta essere dello stesso ordine di grandezza del coefficiente 1 M 2 che moltiplica φ, xx a primo membro della (2.24) e non può quindi essere trascurato rispetto a quest ultimo. Per quanto riguarda il termine 2M 2 φ, y φ,xy non è possibile valutarne a priori la rilevanza in quanto non si conosce l ordine di grandezza di φ,xy. Esso verrà per ora mantenuto anche se, come si vedrà nel prossimo paragrafo, risulta essere sempre trascurabile. Nel caso di flusso transonico l equazione rimane pertanto non lineare ma assume la forma semplificata (1 M 2 )φ,xx + φ,yy = M 2 (γ + 1)φ,x φ,xx + 2M 2 φ,y φ,xy (2.26) Un altro caso nel quale l equazione (2.24) non può essere linearizzata è quello di flusso ipersonico. Per valori di M 2 molto grandi infatti il coefficiente

6 Capitolo δM φ 2,x che moltiplica φ,yy a secondo membro della (2.24) può risultare anch esso di 0(1) come quello che compare a primo membro. Questo caso è però di limitato interesse pratico in quanto nei flussi ipersonici attorno ad un corpo si ha sempre la formazione di un urto curvo molto intenso davanti al corpo e, come già accennato, ciò comporta la rotazionalità del flusso per il quale non è quindi più valida la (2.24). In conclusione, nell ipotesi di piccole perturbazioni si deve utilizzare la (2.26) nel caso di flussi transonici, mentre si può utilizzare l equazione lineare (2.25) nel caso di flussi subsonici o flussi supersonici. Si osservi che per un flusso subsonico il coefficiente 1 M 2 è positivo e l equazione (2.25) è quindi un equazione ellittica. In particolare nel caso di M = 0, che corrisponde all ipotesi di incomprimibilità (a = ), essa si riduce all equazione di Laplace. Viceversa nel caso supersonico il coefficiente 1 M 2 è negativo, l equazione è iperbolica e risulta essere l equazione delle onde. 2.3 I criteri di similitudine per profili alari Consideriamo un profilo alare avente piccolo spessore, piccola curvatura e piccolo angolo di incidenza, la cui geometria sia descritta dalla relazione y = sf(x) (2.27) dove y e x sono adimensionalizzate rispetto alla corda l del profilo ed s è lo spessore massimo relativo. Per una assegnata funzione f(x), al variare di s, la (2.27) rappresenta diversi profili che possono essere ottenuti uno dall altro attraverso un cambio di scala in direzione y. Questi profili costituiscono una famiglia di profili affini. Senza specificare il valore di M, il flusso attorno al profilo è retto dall equazione (2.26), la quale comprende come caso particolare la (2.25). A questa equazione devono essere associate le condizioni al contorno, le quali esprimono il fatto che il flusso debba essere indisturbato all infinito ed essere tangente alla superficie del corpo: all φ,x = φ,y = 0 (2.28) al corpo v u = dy dx (2.29) Quest ultima condizione, utilizzando le (2.18) con la condizione (2.19) ed esprimendo dy mediante la (2.27), può essere scritta dx

7 22 Capitolo 2 φ,y = sf,x (2.30) La soluzione dell equazione (2.26) con le condizioni (2.28) e (2.30) dipende dal valore dei parametri M,s,γ oltre che dalla funzione f(x). L obiettivo di un criterio di similitudine è quello di ridurre il numero di questi parametri, cosicché diverse situazioni geometriche e di flusso siano rappresentate dalla stessa equazione e dalle stesse condizioni al contorno. La soluzione è quindi valida non per una singola situazione ma per una famiglia di diverse situazioni che vengono dette in similitudine. Ciò consente di utilizzare i risultati ottenuti (sperimentalmente o numericamente) in una determinata situazione per determinare la soluzione in un altra situazione che sia in similitudine con la prima. Nel caso dei profili alari lo scopo dello studio è la determinazione delle caratteristiche aerodinamiche, le quali possono essere calcolate ove sia noto in ogni punto del profilo il coefficiente di pressione C p = p p 1 2 ρ V 2 che, ricordando la definizione di velocità del suono a 2 = γ p ρ = γrt (2.31) può anche scriversi p 1 p C p = (2.32) 1 2 γm2 Essendo il fenomeno isentropico il rapporto p può essere espresso come p ( ) γ p T γ 1 = (2.33) p T Dividendo per a 2 la relazione (2.22) nella quale si trascurano i termini quadratici nelle velocità di perturbazione, si ottiene Si ha quindi T T = 1 2δM 2 φ, x p ] = [1 (γ 1)M 2 γ γ 1 p φ,x

8 Capitolo 2 23 Poiché il secondo termine in parentesi quadra è piccolo in base all ipotesi (2.19), possiamo sviluppare in serie la potenza binomiale e, arrestandoci al primo ordine, otteniamo che, sostituita nella (2.32), fornisce p p = 1 γm 2 φ,x C p = 2φ,x (2.34) Nell ambito delle piccole perturbazioni il coefficiente di pressione è quindi proporzionale al disturbo di velocità in direzione x. Introduciamo ora la seguente trasformazione di variabili ξ = x η = λy φ = φ ǫ (2.35) dove λ ed ǫ sono costanti arbitrarie da determinare in modo da ridurre il numero dei parametri che intervengono nell equazione (2.26) e relative condizioni al contorno. La costante λ definisce la trasformazione di scala che riporta tutti i profili affini ad un unico profilo, mentre per la costante ǫ imponiamo la condizione ǫ 1 (2.36) cosicché φ sia di ordine uno. Mediante la trasformazione (2.35), l equazione (2.26) risulta (1 M 2 )φ, ξξ + λ 2 φ, ηη = ǫ(γ + 1)M 2 φ, ξ φ, ξξ + ǫλ 2 2M 2 φ, η φ, ηξ (2.37) Nel caso non transonico, il primo termine è di ordine 1 e di conseguenza dovrà aversi λ = 0(1), mentre i termini a secondo membro sono trascurabili essendo di ordine ǫ. Nel caso transonico il primo e terzo termine sono di ordine ǫ ed affinché il secondo termine sia dello stesso ordine di grandezza dovrà aversi λ = 0(ǫ 1/2 ). Ne consegue che l ultimo termine è di ordine ǫ 2 ed è pertanto trascurabile anche nel caso transonico. Applicando la trasformazione di coordinate alla condizione al contorno (2.30) ed alla (2.34) si ha λǫφ, η = sf,ξ (2.38) C p = 2ǫφ, ξ (2.39)

9 24 Capitolo 2 Assumiamo ora per la costante arbitraria λ il valore λ = s ǫ in modo che la (2.38) risulti indipendente da s. Con questa posizione la (2.37) può scriversi φ, ηη = [ ǫ 2 s 2(M2 1) + (γ + 1)ǫ3 s 2M2 φ, ξ ] φ, ξξ (2.40) Consideriamo ora separatamente i casi di flusso subsonico, transonico e supersonico. Flusso subsonico In questo caso il secondo termine in parentesi quadra della (2.40) può essere trascurato e per la costante arbitraria ǫ possiamo assumere il valore ǫ = s 1 M 2 L equazione e le condizioni al contorno che governano il problema risultano mentre il coefficiente di pressione è dato da φ, ξξ + φ, ηη = 0 (2.41) φ, ξ = φ, η = 0 all (2.42) φ, η = f,ξ al corpo (2.43) 2s C p = φ 1 M 2, ξ (2.44) La soluzione φ (ξ,η) dipende solo dalla funzione f(ξ) ed è pertanto la stessa per tutti i profili affini indipendentemente dal valore di s ed M. La similitudine ottenuta attraverso una variazione della scala in direzione y proporzionale a 1 M 2, che prende il nome di similitudine di Prandtl Glauert, consente di determinare le caratteristiche aerodinamiche di un profilo in base a quelle di un altro profilo affine. Se ad esempio si conosce il valore C p1, in corrispondenza a M 1 di un profilo avente spessore s 1, dalla (2.44) si può ricavare il valore C p2 per un profilo affine di spessore s 2 in corrispondenza a M 2

10 Capitolo 2 25 C p2 = C p1 s 2 s 1 ( 1 M M 2 2 ) 1/2 (2.45) In particolare si può anche ottenere per uno stesso profilo come varia C p (e quindi anche C L e C D ) al variare del numero di Mach C p = C pinc 1 1 M 2 (2.46) dove C pinc è il coefficiente di pressione per un fluido incompressibile, cioè in corrispondenza a M = 0. In campo subsonico il comportamento qualitativo di un profilo è quindi uguale a quello che si ha nel caso incompressibile e l effetto della comprimibilità è unicamente di aumentare i valori di C p,c L,C D in misura inversamente proporzionale a 1 M 2 (Fig. 2.1). d dα C L flusso subsonico Prandtl-Glauert 2π f. incompressibile 0.2 M flusso supersonico Ackeret Figura 2.1: Si osservi che per M 1 tutte le caratteristiche aerodinamiche tendono all infinito, il che è evidentemente assurdo e dipende dal fatto che in campo transonico non è più valida l equazione (2.41). Flusso transonico In questo caso i due termini in parentesi quadra della (2.40) sono dello stesso ordine di grandezza e debbono quindi essere mantenuti entrambi. Possiamo assumere per la costante arbitraria ǫ il valore ǫ = s 2/3 (γ + 1) 1/3 M 2/3

11 26 Capitolo 2 cosicché sia unitario il coefficiente che moltiplica φ, ξ. Con questa posizione l equazione (2.40) risulta con φ, ηη + (k φ, ξ )φ, ξξ = 0 (2.47) k = (1 M 2 4/3 )M [(γ + 1)s] 2/3 (2.48) che prende il nome di parametro di von Karmann. Le condizioni al contorno sono ancora date dalle (2.42) e (2.43) mentre il coefficiente di pressione risulta 2(s) 2/3 C p = [(γ + 1)M ] 2 1/3φ, ξ (2.49) La soluzione dell equazione (2.47) e relative condizioni al contorno dipende non solo dalla funzione f(ξ) ma anche dal valore del parametro di von Karmann. Pertanto nel caso transonico due profili sono in similitudine se oltre ad essere affini hanno lo stesso valore di k. Flusso supersonico Anche in questo caso si può trascurare il termine non lineare nell equazione (2.40) ed assumere ǫ = s M 2 1 Il problema è quindi governato dall equazione φ, ξξ φ, ηη = 0 (2.50) mentre le condizioni al contorno sono ancora date dalle (2.42) e (2.43) ed il coefficiente di pressione ha l espressione (2.44) nella quale si sostituisca M 2 1 ad 1 M 2. La similitudine supersonica è quindi del tutto analoga a quella subsonica. Si osservi però che al crescere di M i valori dei coefficienti aerodinamici diminuiscono come indicato anche in Fig Per la soluzione dell equazione delle onde (2.50) e la sua applicazione allo studio di un profilo alare si rinvia al corso di Aerodinamica. Per comodità, vengono di seguito riportate i risultati della teoria di Ackeret per un generico profilo (vedi Fig. 2.2). 2ϑ C p = ± M 2 1 (2.51)

12 Capitolo 2 27 C D = [ 4 α 2 + M 2 1 C L = 1 0 4α M 2 1 ( dt dx ) 2 dx ( ) dh 2 dx] dx (2.52) (2.53) C M LE = 1 2 C L 4 1 hdx (2.54) M y t y s θ α t l h y i x Figura 2.2: