Note sulla stabilità assoluta

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1 Capitolo 7 Note slla stabilità assolta Come noto, nel caso di sistemi non lineari la stabilità è na proprietà riferita al singolo pnto di eqilibrio e, pertanto, non è na caratteristica intrinseca del sistema. Oltre a dipendere dal pnto di eqilibrio, la stabilità dipende anche dall entità della pertrbazione e, in generale, è na proprietà a validità locale. Si parla di stabilità globale di n pnto di eqilibrio qando la proprietà di stabilità è mantenta indipendentemente dall entità della pertrbazione. In agginta, possono esistere più pnti di eqilibrio per no stesso valore della grandezza di ingresso e possono presentarsi oscillazioni atosostente, dette cicli limite. Nel segito sarà brevemente trattato il caso della stabilità assolta per sistemi dinamici a non linearità algebrica di tipo estraibile chisi in retroazione. 7.1 Sistemi dinamici a non linearità algebrica di tipo estraibile chisi in retroazione Si consideri n sistema dinamico SISO non lineare, a tempo contino e stazionario, per il qale sia qindi possibile costrire n modello matematico nella forma implicita ingresso-scita ( h y,ẏ,...,y (ν),,,..., (ν)) = 0. (7.1) Il sistema rappresentato dal modello (7.1) si dice a non linearità algebrica di tipo estraibile se tale modello pò essere riscritto nella forma y NL = f(), a i d i y(t) dt i = b i d i y NL (t) dt i, (7.2) in ci la prima eqazione è la fnzione caratteristica (a n sol valore) di na non linearità algebrica, mentre la seconda eqazione è il modello implicito ingresso-scita di n sistema dinamico SISO lineare, a tempo contino e stazionario. Detta G(s) la fnzione di trasferimento che pò essere associata alla parte lineare del modello (7.2), si pò derivare lo schema a blocchi rappresentato in Figra

2 CAPITOLO 7. NOTE SULLA STABILITÀ ASSOLUTA 145 y NL y f( ) G(s) Figra 7.1: Raffigrazione a blocchi del modello (7.2). ˆr + û ŷ NL ŷ f( ) G(s) Figra 7.2: Raffigrazione a blocchi del modello (7.2) chiso in retroazione algebrica nitaria, in eqilibrio con il riferimento ˆr. Si consideri ora la chisra del sistema (7.2) in n anello di retroazione algebrica che, per semplicità ma senza ledere alla generalità del caso, spponiamo nitaria. Il sistema a ciclo chiso si trovi in eqilibrio alla configrazione {û,ŷ NL,ŷ} in corrispondenza di n dato valore costante ˆr del riferimento (vedi Figra 7.2). Definito il segente insieme di variabili per scostamento dai corrispondenti valori di eqilibrio r = r ˆr, (7.3) = û, (7.4) y NL = y NL ŷ NL, (7.5) y = y ŷ, (7.6) e riscritto il modello (7.2) in termini di qesto novo insieme di variabili come y NL = f ( ), a d i ( y(t)) i dt i = b d i ( y NL (t)) i dt i, (7.7) lo stdio della stabilità dell eqilibrio{ˆr,û,ŷ NL,ŷ} per il sistema in Figra 7.2 si pò qindi ricondrre a qello della stabilità dell origine del sistema atonomo corrispondente rappresentato in Figra 7.3. Nel caso in ci il valore del riferimento ˆr sia lentamente variabile si pò considerare (in evolzione qasi-statica) na famiglia di sistemi atonomi con {û,ŷ NL,ŷ} che si spostano al variare di ˆr. r=0+ y NL y f ( ) G (s) Figra 7.3: Raffigrazione a blocchi del modello (7.7) chiso in retroazione algebrica nitaria, applicato il riferimento ˆr.

3 CAPITOLO 7. NOTE SULLA STABILITÀ ASSOLUTA 146 y NL y f( ) G(s) Figra 7.4: Raffigrazione a blocchi di n sistema in retroazione algebrica nitaria atonomo. 7.2 Stabilità assolta Con riferimento ad n sistema dinamico SISO non lineare, a tempo contino e stazionario, caratterizzato da na non linearità algebrica di tipo estraibile di caratteristica f( ) e da na fnzione di trasferimento G(s), si consideri il sistema in retroazione nitaria, atonomo rappresentato in Figra 7.4. Tale sistema, descritto dal modello y NL = f(), ẋ = Ax+by NL, (7.8) = c T x, nel caso in ci la caratteristicaf( ) soddisfi la condizione ammette la solzione di eqilibrio f(0) = 0 (7.9) {û=0, ŷ NL =0, ˆx=0}. (7.10) Se l eqilibrio (7.10) è stabile, rislta di interesse stdiare la robstezza di tale stabilità in relazione a variazioni qasi-statiche della caratteristica della non linearità algebrica. Considerando la classe di non linearità algebriche che soddisfa la segente condizione di settore f() f(0) = 0 [k 1, k 2 ], (7.11) il pnto di eqilibrio (7.10) è assoltamente stabile nel settore [k 1,k 2 ] se esso è globalmente asintoticamente stabile per ogni non linearità algebrica che soddisfi la (7.11). Una rappresentazione grafica del vincolo (7.11) è fornita nella Figra 7.5, che chiarisce il significato della condizione di settore. Considerando il caso particolare di na famiglia di caratteristiche lineari, rappresentative di na azione proporzionale di gadagno k con k [k 1, k 2 ], (7.12) si comprende come la proprietà di assolta stabilità costitisca na generalizzazione del concetto di margine di stabilità stdiato nel caso dei sistemi lineari. 7.3 Criterio di Popov Condizione sfficiente per l assolta stabilità nel settore [0, k] dell eqilibrio (7.10) per il sistema (7.8), (7.9) con G(s) asintoticamente stabile è che rislti soddisfatta la

4 CAPITOLO 7. NOTE SULLA STABILITÀ ASSOLUTA 147 y NL k 1 k 2 Figra 7.5: Rappresentazione della condizione di settore nel piano di tracciamento delle crve caratteristichef( ). segente condizione di Popov: q IR : { } Re (1+jωq) G(jω) + 1 > 0 ω. (7.13) k L applicazione della condizione di Popov pò essere efficacemente condotta per via grafica. Infatti, svilppando la disgaglianza in (7.13) si ha Re { G(jω) } qωim { G(jω) } + 1 k > 0, (7.14) che, definita la fnzione G (jω) = Re { G(jω) } jωim { G(jω) }, (7.15) consente di riscrivere la condizione di Popov come q IR : Re { G (jω) } qim { G (jω) } + 1 k > 0 ω. (7.16) A qesto pnto, tracciando il diagramma di Nyqist di G (jω) (che viene detto diagramma di Popov di G(jω)), il rispetto della (7.16) si tradce nell appartenenza del diagramma stesso al semipiano inferiore-destro delimitato dalla retta di Popov (vedi Figra 7.6) di eqazione Re { G (jω) } qim { G (jω) } + 1 k = 0. (7.17) Il criterio di Popov pò essere tilizzato: per verificare la stabilità assolta rispetto ad n settore assegnato per n sistema assegnato; per determinare il massimo settore per il qale si ha stabilità assolta per n sistema assegnato.

5 CAPITOLO 7. NOTE SULLA STABILITÀ ASSOLUTA 148 1/k jim { G(jω) } j/qk Re { G(jω) } Figra 7.6: Rappresentazione della retta di Popov nel piano di Popov dig(jω). Per la verifica di assolta stabililtà in n settore[0, k], individato il pnto(1/k, j0), bisogna tracciare na retta di Popov, ovvero bisogna determinare n possibile valore di q, tale che la (7.16) sia soddisfatta. Se non ci si riesce, dato che il criterio esprime na condizione sfficiente, nlla si pò dire a proposito dell assolta stabilità in esame. Per la determinazione del massimo settore di assolta stabilità, bisogna trovare la retta di Popov che intersechi il semiasse reale negativo il più vicino possibile all origine. Dal momento che la condizione di Popov è solo sfficiente, ciò non esclde la possibile esistenza di n settore di stabilità assolta più ampio di qello così trovato. Qando il diagramma di Popov di G(jω) è convesso all attraversamento del semiasse reale negativo, il criterio di Popov esprime anche na condizione necessaria. Infatti, in tal caso il k max di Popov (sfficiente per la stabilità assolta) coincide con il k max di Nyqist (necessario e sfficiente per la stabilità asintotica): al di fori del settore trovato esistono certamente caratteristiche lineari che non soddisfano l asintotica stabilità e che pertanto escldono la possibilità di ampliare il settore di assolta stabilità rispetto a qello trovato con il criterio di Popov. Se, infine, il diagramma di Popov di G(jω) è concavo all attraversamento del semiasse reale negativo, ovviamente rislta che k max,nyqist k max,popov. (7.18) 7.4 Applicazione a sistemi con G(s) non asintoticamente stabile Nel caso in ci la parte lineare del sistema in Figra 7.4 non sia asintoticamente stabile, se è possibile operare na retroazione algebrica di gadagno k 1 tale da rendere asintoticamente stabile la fnzione di trasferimento G(s) = si pò costrire lo schema eqivalente riportato in Figra 7.7. Detta f( ) la fnzione caratteristica definita come G(s) 1+k 1 G(s), (7.19) f() = f()k 1, (7.20)

6 CAPITOLO 7. NOTE SULLA STABILITÀ ASSOLUTA 149 f( ) G(s) y + + f( ) G(s) k 1 k 1 Figra 7.7: Raffigrazione a blocchi di n sistema in retroazione algebrica nitaria atonomo eqivalente a qello riportato in Figra 7.4. ỹ NL y f( ) G(s) Figra 7.8: Raffigrazione a blocchi del sistema in retroazione algebrica nitaria atonomo eqivalente a qello riportato in Figra 7.7. si pò operare sllo schema in Figra 7.8 per il qale, essendo G(s) asintoticamente stabile e f(0)=0, pò applicarsi il criterio di Popov. Determinato il settore di assolta stabilità[0,k] in relazione alla caratteristica f( ), il settore di assolta stabilità relativo alla caratteristicaf( ) pò essere trovato come 0 f() che è qindi pari a [k 1,k 2 ]. k 0 f()k Criterio del cerchio k 1 f() k k 1 +k = k 2, Nell ipotesi che G(s) abbia ttti i poli a parte reale negativa tranne n eventale polo nell origine semplice o doppio, condizione sfficiente per l assolta stabilità nel settore[k 1,k 2 ] dell eqilibrio (7.10) per il sistema (7.8), (7.9) è che il diagramma di Nyqist dig(jω)) non circondi né tocchi il cerchio critico centrato nel pnto di coordinate ( 1 2 ( 1 k k 2 ) ),j0 (7.21) e passante per i pnti di coordinate ( 1 ) (,j0 1 ),j0. (7.22) k 1 k 2

7 CAPITOLO 7. NOTE SULLA STABILITÀ ASSOLUTA 150 Nel caso k 1 = 0 il cerchio critico degenera nel semipiano a sinistra della retta verticale di ascissa1/k 2. Il criterio del cerchio ha il vantaggio di applicarsi direttamente al diagramma di Nyqist di G(jω)), ma fornisce n campo di stabilità più stretto rispetto a qello fornito dal criterio di Popov.