# SINTESI PER TENTATIVI IN S #

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1 Considerazioni generali. # SINTESI PER TENTATIVI IN S # La sintesi per tentativi in s consiste essenzialmente nel determinare la posizione dei poli e degli zeri del controllore nel piano complesso (piano di Gauss) in modo tale che la dinamica a ciclo chiuso soddisfi le specifiche. Come noto la dinamica a ciclo chiuso dipende dalla distribuzione poli-zeri della W(s). Per presentare la procedura facciamo ancora riferimento allo schema standard a retroazione costante, in particolare unitaria, al quale abbiamo visto ci si puo ricondurre facilmente tramite l algebra degli schemi a blocchi: X + _ C P Y Nel caso della sintesi per tentativi in ω abbiamo visto che, una volta tradotte le specifiche a ciclo chiuso dal dominio del tempo al dominio della frequenza, e possibile individuare, sia pure in maniera approssimativa, dei vincoli sulla risposta armonica a ciclo aperto ai quali fare riferimento per avviare in maniera conveniente la procedura e ridurre quindi il numero di tentativi (iterazioni) che portano alla soluzione soddisfacente C(s). Nel caso della sintesi in s la situazione e notevolmente diversa, in primo luogo perche e difficile, nel caso generale, definire le specifiche direttamente in termini di distribuzione poli-zeri a ciclo chiuso. Come abbiamo visto cio e possibile, in generale, solo per la stabilita (tutti i poli a ciclo chiuso devono trovarsi alla sinistra dell asse immaginario). Per quanto riguarda il comportamento transitorio abbiamo visto che e usuale caratterizzarlo, con riferimento alla risposta indiciale, in termini di prontezza e di precisione dinamica. La prontezza esprime quanto rapido e il sistema ad adeguarsi ad una variazione (a gradino) dell ingresso ed e rappresentata dal tempo di assestamento t aε%. La precisione dinamica si riferisce agli scostamenti dell uscita dal valore desiderato durante il transitorio ed e rappresentata dalla massima sovraelongazione s % *. Nell ipotesi di sistema a modo pseudoperiodico dominante, abbiamo visto che le specifiche sul valore massimo della sovraelongazione e del tempo di assestamento si traducono in condizioni che i poli siano contenuti in un certo settore del piano complesso a sinistra dell asse immaginario: grafico. 1

2 Tale ipotesi in effetti puo essere accettata per una classe abbastanza estesa di sistemi di asservimento (la classe dei sistemi definiti a suo tempo normali ), e sara assunta anche per la sintesi in s. Pur non comprendendo l intera generalita dei casi essa corrisponde all ipotesi di validita dei legami globali tra parametri della risposta armonica e parametri della risposta in frequenza. In ogni caso il legame tra posizione dei poli e degli zeri a ciclo chiuso nel piano complesso e proprieta transitorie (parametri della risposta indiciale) e meno chiaramente esplicitabile dei legami globali. A queste considerazioni sulla difficolta di tradurre le specifiche in condizioni relative alla distribuzione poli-zeri di W(s), e opportuno aggiungerne altre sulla difficolta di passare al ciclo aperto, come abbiamo visto nella sintesi in ω, e cioe a condizioni su poli e zeri di F(s)=C(s)P(s). Per quanto le strutture dei controllori considerate nella sintesi per tentativi siano spesso molto semplici e si tratti il piu delle volte di trovare i valori dei parametri delle azioni attenuatrice, anticipatrice o a sella da sviluppare sul processo controllato, la mancanza di criteri di orientamento abbastanza precisi sulla posizione di poli e zeri delle relative funzioni porta in generale ad un numero di tentativi piu elevato che nel caso della sintesi in ω. Si puo affermare che per ogni problema concreto il primo tentativo e in larga misura arbitrario. Premesse queste considerazioni si puo dire che la sintesi per tentativi in s, salvo casi particolarmente semplici, si svolge secondo i passi seguenti: 1. Si parte dalla espressione fattorizzata di P(s), la cui disponibilita deve essere garantita per la praticabilita della procedura (questa e una condizione non necessaria per la sintesi in ω, per la quale si puo operare direttamente sui diagrammi della risposta armonica dedotti sperimentalmente). Se il numero di poli nell origine non ha il valore desiderato si tratta di aggiungerne (di solito uno); come gia detto per la sintesi in ω, anche in questa procedura tale polo sara attribuito in questa fase al processo, salvo poi tenerne conto alla fine, nella implementazione concreta del controllore. Si puo tracciare quindi il luogo delle radici di 1+K C P(s) e si valuta di quanto si e distanti dal soddisfacimento delle specifiche nei punti del luogo che corrispondono al valore della correzione statica K C che assicura la desiderata precisione a regime permanente. 2. Si decide, in base ai risultati del primo passo ed alla esperienza, quale tipo di azione correttrice conviene adottare e si aggiungono a quelli del processo poli e zeri relativi al controllore; si traccia quindi il nuovo luogo delle radici, cioe quello relativo a 1+C(s)P(s) e si verifica se le specifiche sono soddisfatte. 3. Nel caso di verifica insoddisfacente si modifica la struttura del controllore e/o le posizioni dei suoi poli e zeri orientando tali modifiche in base alla forma del luogo ed ai risultati di eventuali tentativi precedenti, procedendo in maniera iterativa fino al soddisfacimento delle specifiche imposte C(s). 2

3 Nei primi passi della procedura appena descritta il riferimento potra essere quello del settore del piano complesso individuato come ricordato sopra, salvo poi tener conto di tutte le specifiche imposte. Da quanto sopra si deduce chiaramente che nei procedimenti di sintesi per tentativi in s lo strumento centrale di lavoro e il luogo delle radici, cosi come i diagrammi di Bode lo sono nella sintesi per tentativi nel dominio della frequenza. E chiaro quindi che l abilita del progettista a servirsi di tale metodo grafico e cioe di tracciare i luoghi in modo preciso e di intuirne le modifiche dovute alla variazione della distribuzione poli-zeri (aggiunta e/o spostamento nel piano complesso) e di fondamentale importanza per la soddisfacente utilizzazione della procedura. Per quanto riguarda la precisione del tracciamento oggi la disponibilita dei PC con adeguato software (MATLAB Control System Toolbox) sollevano il progettista dal gravame della grafica eseguita a mano. La padronanza dello strumento luogo delle radici e pero essenziale per il tracciamento qualitativo e l intuizione degli effetti delle scelte riguardanti la struttura e i parametri del controllore e cosi poter condurre rapidamente la procedura di sintesi alla soluzione soddisfacente. E opportuno a questo punto dare alcune indicazioni di validita generale sull effetto delle manipolazioni di poli e zeri a ciclo aperto sulla forma e l andamento del luogo delle radici. Effetto dell aggiunta di zeri e poli a ciclo aperto sul luogo delle radici. Dedurremo da alcuni esempi semplici le proprieta generali sull effetto dell aggiunta di zeri e poli a ciclo aperto. Aggiunta di uno zero: Tracciamo il luogo delle radici relativo a: 1 P ( s) = ; s( s + 1)( s + 3) 3

4 Aggiungiamo uno zero a ciclo aperto e spostiamolo verso l origine partendo da una posizione lontana: z=-15; Spostiamo lo zero gradualmente verso l origine: z=-4; Osserviamo che in questo caso le direzioni asintotiche coincidono con quelle dell asse immaginario e il sistema a ciclo chiuso e sempre stabile per qualsiasi valore della costante di guadagno. 4

5 z=-3 (cancellazione zero-polo); z=-2; Notiamo come all avvicinarsi dello zero all origine i rami del luogo caratteristici dei poli complessi a ciclo chiuso (dominanti) si spostano verso sinistra. Spostiamo ancora verso l origine lo zero: 5

6 z=-1; z=-0.5; Possiamo concludere, da questo esempio, che in generale l aggiunta di uno zero a ciclo aperto ha l effetto di risucchiare il luogo delle radici verso sinistra (semipiano della stabilita ) incrementando quindi la stabilita relativa tanto piu 6

7 quanto piu lo si sposti verso le basse frequenze (pensare all effetto positivo sulla stabilita dello sfasamento in anticipo introdotto). L effetto e anche quello di migliorare le proprieta transitorie, grazie all aumento del coefficiente di smorzamento a parita di precisione a regime (diminuisce il tempo di assestamento e quindi aumenta la prontezza), e diminuisce il tempo di risposta grazie all aumento della pulsazione di attraversamento a ciclo aperto e quindi della banda passante a ciclo chiuso. Aggiunta di un polo: L aggiunta di un polo a ciclo aperto ha effetto invertito sul luogo delle radici rispetto a quello dell aggiunta di uno zero. Per tale aggiunta cioe il luogo viene risucchiato verso il semipiano dell instabilita, con riduzione dei margini di stabilita (pensare al contributo negativo sul margine di fase se il polo non e sufficientemente lontano, cioe a frequenze elevate rispetto alla pulsazione di attraversamento). Il peggioramento delle proprieta transitorie e associato all aumento del tempo di assestamento dipendente dalla riduzione dello smorzamento e quindi dall aumento delle oscillazioni e/o dall aumento delle costanti di tempo dei modi associati ai poli in bassa frequenza. Tali considerazioni di validita generale possono essere estrapolate dai seguenti semplici esempi di luogo delle radici: 1 P( s) = ; 1 + s Aggiungiamo un polo in 2 e tracciamo il nuovo luogo delle radici: 7

8 Aggiungiamo un altro polo in 3 e tracciamo il nuovo luogo delle radici: E chiaro l effetto previsto di risucchio verso destra del luogo per l aggiunta successiva dei poli come sopra. 8