Sia dato il sistema LTI descritto dalla seguente funzione di trasferimento: 31250(s + 4) d u. K c +

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1 Esercizio 1 Sia dato il sistema LTI descritto dalla segente fnzione di trasferimento: 3150(s 4) F(s) = 3 (s s )(s 50) controllato mediante n controllore statico di gadagno K c =, chiso in n anello di retroazione negativa nitaria, secondo lo schema riportato in figra: r K r des e K c d F(s) d Calcolare l errore di insegimento in regime permanente nei segenti casi: a) r(t) = t, con K r = 1, in presenza dei distrbi d (t) = D = 0.1 e d (t) = D = 0.5; b) r(t) = t, con K r =, in presenza del solo distrbo d (t) = 0.01t (mentre d (t) = 0); c) r(t) = t /, con K r = 1, in assenza di distrbi; d) r(t) = t /, con K r =, in presenza dei distrbi d (t) = 0.1 e d (t) = 0.0t. Verificare la correttezza dei risltati ottenti simlando il comportamento del sistema retroazionato nei qattro casi mediante tilizzo di Simlink. Svolgimento completo dell esercizio 1 Premessa: L asintotica stabilità del sistema ad anello chiso è già stata dimostrata nell esercizio dell Unità dall applicazione del criterio di Nqist e verificata mediante calcolo diretto dei poli della sa fnzione di trasferimento. L errore di insegimento in regime permanente nei diversi casi pò essere calcolato come somma dei contribti dovti all eventale errore intrinseco di insegimento, al distrbo d (t) ed al distrbo d (t): e = e e e r, d, d, Si osserva che F(s) è di tipo de con gadagno stazionario K F = 00 e che il blocco del controllore (pramente statico) è di tipo zero. a) In qesto caso si ha: e 0, essendo il riferimento di grado no e la fnzione d anello G a(s) = K c F(s) di tipo de; = r, e = d, D / K = c 0.05, poiché d (t) (costante) è precedto da n blocco di tipo zero e segito da n blocco avente almeno n polo nell origine (in particolare, di tipo de); 007 Politecnico di Torino 1

2 = d, e 0, poiché d (t) (costante) è precedto da n blocco di tipo de. Si ha qindi e = b) In qesto caso si ha: e = r, 0, essendo il riferimento di grado no e la fnzione d anello G a(s) = K c F(s) di tipo de; e 0, essendo d (t) nllo; = d, = d, e 0, poiché d (t) (a rampa, cioè di grado no) è precedto da n blocco di tipo de. Si ha qindi e = 0. c) In qesto caso si ha: er, = K r / ( Kc KF) = 0.005, essendo il riferimento di grado de e la fnzione d anello G a (s) = K c F(s) di tipo de; e 0, essendo d (t) nllo; = d, = d, e 0, essendo d (t) nllo. Si ha qindi e = d) In qesto caso si ha: e = r, K r / ( K c KF) = 0.005, essendo il riferimento di grado de e la fnzione d anello G a(s) = K c F(s) di tipo de (attenzione al valore di K r!); e = d, D / K = c 0.05, poiché d (t) (costante) è precedto da n blocco di tipo zero e segito da n blocco di tipo de (come nel caso a); e 0, poiché d (t) (a rampa, cioè di grado no) è precedto da n blocco di tipo de. = d, Si ha qindi e = Nelle figre segenti sono riportati gli schemi Simlink che permettono di simlare il comportamento del sistema nei qattro casi analizzati. Si osservi in particolare che il riferimento di secondo grado (ad arco di parabola) pò essere semplicemente ottento dall integrazione di na rampa nitaria. 007 Politecnico di Torino

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4 Esercizio Sia dato il sistema LTI descritto dalla segente fnzione di trasferimento: 3150(s 4) F(s) = 3 (s s )(s 50) controllato mediante n controllore statico di gadagno K c =, chiso in n anello di retroazione negativa nitaria, secondo lo schema riportato in figra: r K r des d r e K c d F(s) d Calcolare l errore di insegimento massimo in modlo in regime permanente nei segenti casi: a) r(t) = sin(0.8 t), con K r = 1, in assenza di distrbi; b) r(t) = sin(0.5 t), con K r =, in assenza di distrbi; Calcolare l effetto massimo in modlo sll scita in regime permanente dei segenti distrbi: d r (t) = sin(300 t) d (t) = sin(00 t) d (t) = sin(0. t) Verificare la correttezza dei risltati ottenti simlando il comportamento del sistema retroazionato mediante tilizzo di Simlink. Svolgimento completo dell esercizio Premessa: L asintotica stabilità del sistema ad anello chiso è già stata dimostrata nell esercizio dell Unità dall applicazione del criterio di Nqist e verificata mediante calcolo diretto dei poli della sa fnzione di trasferimento. L errore di insegimento massimo in modlo in regime permanente ad n segnale di riferimento sinsoidale di plsazione ω 0 è pari a: e = sin, W e(j ω 0) Kr essendo W(s) e = la fnzione di trasferimento d errore. Calcolando il valore del modlo 1 KcF(s) di tale fnzione alle plsazioni dei segnali di riferimento dei casi a) e b) richiesti (tilizzando opportnamente il comando bode in Matlab), si ottiene (attenzione al diverso valore di K r ): 007 Politecnico di Torino 4

5 a) e sin, 0.00 b) e sin, L effetto massimo in modlo sll scita in regime permanente del distrbo sinsoidale d r (t) posto sl riferimento è pari al modlo della fnzione di trasferimento W dr (s) fra il distrbo e l scita, calcolata alla plsazione del distrbo, ovvero: K F( j300) c = dr, W dr( j300) = KcF( j300) = L effetto massimo in modlo sll scita in regime permanente del distrbo sinsoidale d (t) posto sl comando è pari al modlo della fnzione di trasferimento W d (s) fra il distrbo e l scita, calcolata alla plsazione del distrbo, ovvero: F( j00) W ( j00) = = d, d 1 KcF( j00) = L effetto massimo in modlo sll scita in regime permanente del distrbo sinsoidale d (t) posto sll scita è pari al modlo della fnzione di trasferimento W d (s) fra il distrbo e l scita, calcolata alla plsazione del distrbo, ovvero: 1 W ( j0.) = = d, d 1 KcF(j0.) = 4 La correttezza dei risltati ottenti pò essere facilmente verificata con Simlink, adattando gli schemi tilizzati nel precedente esercizio, tilizzando in particolare blocchi di Sine Wave per applicare i riferimenti ed i distrbi sinsoidali considerati nei diversi casi (di volta in volta soltanto il riferimento o il distrbo in esame deve avere ampiezza nitaria, mentre ttti gli altri segnali devono essere ad ampiezza nlla). 007 Politecnico di Torino 5

6 Esercizio 3 Sia dato il sistema LTI descritto dalla segente fnzione di trasferimento: 5(s 10) F(s) = (s 50) chiso in n anello di retroazione negativa nitaria e controllato mediante il controllore secondo lo schema riportato in figra: 100 C(s) =, s r K r des e C(s) d F(s) d Calcolare l errore di insegimento in regime permanente nei segenti casi: a) r(t) = ε(t) (gradino nitario), con K r = 4, in presenza dei distrbi d (t) = 0.0t e d (t) = 0.1; b) r(t) = t, con K r =, in presenza dei distrbi d (t) = 0. e d (t) = 0.3; c) r(t) = t, con K r = 1, in presenza dei distrbi d (t) = 0. e d (t) = 0.01t; d) r(t) = sin(0.1 t), con K r = 1, in assenza di distrbi. Verificare la correttezza dei risltati ottenti simlando il comportamento del sistema retroazionato nei qattro casi mediante tilizzo di Simlink. Solzione dell esercizio 3 a) e = 10 4 (dovto al distrbo d (t) a rampa) b) e = 0.1 (dovto al solo errore intrinseco di insegimento del riferimento a rampa) c) e = (dovto all errore intrinseco di insegimento ed agli effetti del distrbo d (t) a rampa) d) In regime permanente l errore di insegimento è dato da na sinsoide di ampiezza pari a (corrispondente al valore massimo in modlo dell errore). La correttezza dei risltati ottenti pò essere facilmente verificata con Simlink, adattando gli schemi tilizzati nei precedenti esercizi. 007 Politecnico di Torino 6

7 Esercizio 4 Il modello di n levitatore magnetico in ci si tiene conto anche della dinamica del trasdttore elettronico contactless è costitito dalla segente fdt: 7000 F(s) =. ( s 900)( 1 s 6000) Il compensatore è invece caratterizzato dalla segente fdt: s 10 s 40 C(s) = 60. s s 600 Dopo avere verificato che la catena chisa è stabile e che la plsazione di attraversamento è ω c = 55 rad/s valtare in modo approssimato i poli della fdt W della catena chisa in BF e in AF (se presenti) Ga (s) W(s) =, con Ga (s) = C(s)F(s) 1 G (s) a Svolgimento completo dell esercizio 4 Si prende innanzittto atto che: 1. la fdt d anello è la segente: G (s 10) (s 40) (s) = a s (s 30) (s 30) (s 600) (1 ; s / 6000). il gadagno in BF tende a (è presente di n integratore pro); 3. il gadagno in AF tende a zero (fdt strettamente propria ovvero con più poli che zeri); 4. a motivo del pnto. la fdt W in BF vale 1, qindi eventali poli di W in BF sono circa coincidenti con gli eventali zeri in BF; 5. a motivo del pnto 3. la fdt W in AF è praticamente coincidente con la fdt G a in AF, qindi eventali poli di W in AF sono circa coincidenti con gli eventali poli di G a in AF; 6. il nmero complessivo di poli in catena chisa è pari a 5. Ttto ciò premesso, è opportno definire i valori caratteristici della plsazione nella banda detta di BF e in qella detta di AF: BF: ω ωc 10 ω 5.5 AF: ω ωc 10 ω 550 È qindi immediato verificare che la fdt G a ha de zeri in BF (qello in 10 e qello in 40) e n polo in AF (qello in 6000). Perciò, alla lce dei precedenti pnti 5. e 6., la fdt W sarà caratterizzata da de poli in BF e no in AF: 10 λcc BF 40 λ 6000 cc AF 007 Politecnico di Torino 7

8 I restanti de poli della catena chisa devono qindi collocarsi a FI, con modlo dell ordine di ω c. Si pò aggingere che i poli, non essendo esattamente coincidenti con gli zeri in 10 e in λ cc BF 40, daranno logo a na dinamica non dominante di BF, ovvero lenta (costanti di tempo 0.1 s e 0.05 s) rispetto alla dinamica dominante dei de poli a FI. Verifica nmerica Con l asilio di Matlab si possono calcolare sia W che i soi poli j574.1 ωn = 61, ζ = 0.38 λ cc = 36.5 j574.1 c.v.d Trascrando l effetto dei poli λ e cc λ BF cc, è immediato ricavare l espressione della fdt AF approssimata della catena chisa, W appr : W ωn appr = =. s ζω s s n ωn 473s Nelle de figre che segono sono messe a confronto le fdt W e W appr : 0 Bode Diagram 0 Magnitde (db) W appr W Phase (deg) Freqenc (rad/sec) W appr W 007 Politecnico di Torino 8

9 W Step Response Amplitde 0.6 W appr Time (sec) W appr Step Response W Amplitde Time (sec) x Politecnico di Torino 9

10 Esercizio 5 Dati F(s) e C(s) dell esercizio precedente, verificare nmericamente la sssistenza delle relazioni descritte nella lezione Risposta transitoria e risposta in freqenza ed effettare il confronto con i valori nominali Impostazione dell esercizio 5 È innanzittto necessario avere a disposizione: i DdB della G a ; i DdB della W; la risposta al gradino della W. Sccessivamente, con riferimento alla lezione citata, si determinano ttte le grandezze tili. Esempio: rilevati i valori di ω = B 886 rad/s e di t 0. s = s, si verifica che il prodotto ω Bts vale.977, contro n valore di riferimento pari a 3. Si costrisca qindi na tabella come qella abbozzata qi di segito grandezza o relazione valore di riferimento valore effettivo ω Bt s m ϕ M r,n Politecnico di Torino 10

11 Esercizio 6 Sia dato il sistema di controllo schematizzato in figra des e C(s) d F(s) s s a s d H dove: 1. il sistema da controllare, rappresentato dalla fdt F(s), è n levitatore magnetico;. s è l scita fisica del levitatore, ovvero la distanza tra sfera metallica levitante ed elettromagnete; a s ne è l accelerazione; 3. rappresenta il segnale di controllo (in V); 4. H rappresenta il gadagno del trasdttore; 5. d e d rappresentano de distrbi in AF (in V) dovti all elettronica di controllo e all elettronica del trasdttore rispettivamente; 6. dati: 10 a. F(s) = s 900 b. H = 700 c. ampiezza dei distrbi: d = d 5 mv = (s 10) (s 40) d. C(s) = 60 s (s 600) Calcolare gli effetti dei distrbi d e d sl controllo, sll scita fisica s e sll accelerazione a s (NB: a s è na misra della forza complessiva applicata alla sfera metallica). Proporre inoltre le modifiche che si ritengono più opportne al fine di limitare (o annllare) gli effetti dei distrbi s e/o s s e/o s a s. Verificare le proprie conclsioni attraverso simlazioni in ambiente Simlink. 007 Politecnico di Torino 11

12 Impostazione dell esercizio 6 È innanzittto opportno esprimere s, e a s in fnzione di d e di d : F CF s = d d 1 CFH 1 CFH 1 C = d d 1 CFH 1 CFH Fs CFs as = d d 1 CFH 1 CFH È inoltre importante osservare che: C F AF AF = 60 = 0 ( s F) = 10 AF Alla lce di qanto detto si possono riscrivere le espressioni delle variabili di interesse per ω (AF) a s AF AF s AF = d = 10d = 0 60d 600d Si pò osservare che se la strttra del sistema di controllo resta qella proposta, allora l nico intervento possibile è qello slla fdt C(s). In particolare, se viene riprogettato il compensatore in modo che abbia più poli che zeri (almeno no in più), allora per ci a C AF 0 s AF s AF AF = 0 = d = 10d Ulteriori interventi volti a ridrre lteriormente la sensibilità di e di a s al distrbo d implicherebbero modifiche della strttra di controllo. Verificare per esempio se l inserimento di n filtro passa-basso (anche solo del 1 ordine, tipo 1/(1τs) con τ sfficientemente piccolo) tra il nodo di somma di d e F(s) porta effettivi miglioramenti. NB Natralmente non sono possibili interventi slla fdt F(s), rappresentando qesta il sistema da controllare che si presppone dato e non modificabile. 007 Politecnico di Torino 1