Precisione in regime permanente

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1 Precisione in regime permanente

2 Errore dalla risposta in frequenza (1/2) Ricordiamo che la risposta in regime permanente di un sistema asintoticamente stabile ad un ingresso sinusoidale è descritta dalla sua risposta in frequenza Facendo riferimento al consueto schema di controllo, si consideri in particolare: r(t) = sin(ω 0 t) Riferimento sinusoidale e(s) Kr W e(s) = = r(s) 1 + G (s) a Fdt d errore, asint. stabile L errore di inseguimento in regime permanente è dato dalla risposta di W e (s) all ingresso r(t) 2

3 Errore dalla risposta in frequenza (2/2) L errore di inseguimento in regime permanente è pertanto dato da e p(t) = E sin( ω 0t +ϕe) con E= W e (jω 0 ) ϕ e =arg(w e (jω 0 )) L errore massimo in modulo in regime permanente risulta pari proprio a E: K E è piccolo se G a (jω 0 ) r E = è sufficientemente 1+ G a(j ω0) grande 3

4 Esempio (1/4) Si consideri ancora la fdt d anello: G (s) a1 = 10 s(s + 2)(s + 4) che in catena chiusa dà origine al sistema W 1 (s), asintoticamente stabile Sia r(t) = sin(ω 0 t) con (1) ω 0 = 0.05 rad/s oppure (2) ω 0 = 0.5 rad/s; K r = 1 L errore di inseguimento massimo in regime permanente, indicato nei due casi con E 1 e con E 2 rispettivamente, può essere calcolato analiticamente e valutato in simulazione 4

5 Esempio (2/4) 100 Diagrammi di Bode di Ga1 Modulo (db) System: Ga1 Frequency (rad/sec): 0.05 Magnitude (db): 28 System: Ga1 Frequency (rad/sec): 0.5 Magnitude (db): 7.62 G a1 (j0.05) G a1 (j0.5) Fase (gradi) Si prevede di ottenere E 1 E Pulsazione (rad/sec) 5

6 Esempio (3/4) Tenendo conto che 1 W e(j ω 0) = j ω 0(j ω 0 + 2)(j ω 0 + 4) si ottiene: E 1 = W e (j0.05) = 0.04 E 2 = W e (j0.5) = Il sistema è in grado di inseguire con buona precisione segnali di riferimento sinusoidali con una pulsazione ω 0 per le quali G a (jω 0 ) 1, ovvero con ω 0 < 0.1 rad/s 6

7 Errore di inseguimento a y d e s (t) = sin(0.05 t) Esempio (4/4) E 2 = Errore di inseguimento a y d e s (t) = sin(0.5 t) tempo (s) E 1 = tempo (s) 7

8 Precisione in regime permanente

9 Precisione con r(t) sinusoidale (1/2) Le specifiche di precisione relative all errore di inseguimento in regime permanente e p a segnali di riferimento sinusoidali impongono vincoli sull andamento in frequenza della fdt d anello Per r(t) = sin(ω 0 t), si ha: K e e e G (j ω ) G r p max max a 0 min 1+ G a(j ω0) 9

10 Precisione con r(t) sinusoidale (2/2) Affinché G a (jω 0 ) sia sufficientemente elevato, la pulsazione ω 0 deve essere piccola rispetto alla ω c in cui G a (jω c ) = 1 In altre parole, il sistema in catena chiusa potrà inseguire con buona precisione segnali sinusoidali solo se di bassa frequenza La pulsazione di cross-over ω c e la banda passante del sistema ad anello chiuso dovranno essere tali da soddisfare tale requisito 10

11 Reiezione di disturbi in regime permanente

12 Presenza di disturbi sinusoidali (1/2) Sotto l ipotesi di asintotica stabilità del sistema in catena chiusa, l effetto di un disturbo sinusoidale d sin (t) = D s sin(ω d t) sull uscita in regime permanente è dato da: y p,sin(t) = Yd,p sin( ω dt +ϕd) ove: Y d,p =D s W d,sin (jω d ) ϕ d =arg(w d,sin (jω d )) essendo W d,sin (s) la fdt tra il disturbo d sin e l uscita y del sistema Dalla definizione di risposta in frequenza 12

13 Presenza di disturbi sinusoidali (2/2) L effetto massimo in modulo del disturbo sull uscita in regime permanente risulta pari proprio a Yd,p = Ds W d,sin(j ωd) Y d,p è tanto più piccolo (e quindi l attenuazione del disturbo è tanto più elevata) quanto più piccolo è il modulo di W d,sin (jω) alla pulsazione ω d del disturbo 13

14 Principali casi di interesse (1/3) Presenza di un disturbo sinusoidale sull uscita del sistema 1 W d,sin(s) = W dy(s) = 1 + G (s) L attenuazione è elevata se G a (jω d ) è sufficientemente grande a y des + d sin e u + y C(s) F(s) + 14

15 Principali casi di interesse (1/3) Presenza di un disturbo sinusoidale sull uscita del sistema 1 W d,sin(s) = W dy(s) = 1 + G (s) L attenuazione è elevata se G a (jω d ) è sufficientemente grande Sono ben attenuati disturbi di bassa frequenza rispetto alla ω c di G a (jω) e qualunque disturbo collocato ad una pulsazione ω d tale per cui G a (jω d ) risulti molto elevato a 15

16 Principali casi di interesse (2/3) Presenza di un disturbo sinusoidale sul riferimento G a(s) W d,sin(s) = W y(s) = 1 + G (s) L attenuazione è elevata se G a (jω d ) è sufficientemente piccolo ( 1) a + d sin e u y C(s) F(s) + y des 16

17 Principali casi di interesse (2/3) Presenza di un disturbo sinusoidale sul riferimento G a(s) W d,sin(s) = W y(s) = 1 + G (s) L attenuazione è elevata se G a (jω d ) è sufficientemente piccolo ( 1) Sono ben attenuati solo disturbi di alta frequenza rispetto alla ω c di G a (jω) e qualunque disturbo collocato ad una pulsazione ω d tale per cui G a (jω d ) risulti molto piccolo a 17

18 Principali casi di interesse (3/3) Presenza di un disturbo sinusoidale sulla retroazione G a(s) W d,sin(s) = W y(s) = 1 + G (s) a Confrontare con il caso precedente! y des + e u y C(s) F(s) + + d sin 18

19 Principali casi di interesse (3/3) Presenza di un disturbo sinusoidale sulla retroazione G a(s) W d,sin(s) = W y(s) = 1 + G (s) L attenuazione è elevata se G a (jω d ) è sufficientemente piccolo ( 1) a y des + e u y C(s) F(s) + + d sin 19

20 Principali casi di interesse (3/3) Presenza di un disturbo sinusoidale sulla retroazione G a(s) W d,sin(s) = W y(s) = 1 + G (s) L attenuazione è elevata se G a (jω d ) è sufficientemente piccolo ( 1) Sono ben attenuati solo disturbi di alta frequenza rispetto alla ω c di G a (jω) e qualunque disturbo collocato ad una pulsazione ω d tale per cui G a (jω d ) risulti molto piccolo a 20

21 Esempio (1/6) Si consideri il seguente sistema: y des + d r e K c F(s) + + d y y 10 con F(s) =, K c = 1.5 s(s + 2)(s + 4) d (t) = D sin( ω t) = 0.5sin(20t) r r dr d (t) = D sin( ω t) = 0.2 sin(0.06t) y y dy 21

22 Esempio (2/6) Modulo (db) Diagrammi di bode di Ga System: Ga Frequency (rad/sec): 1.43 Magnitude (db): 0 ω c Fase (deg) Pulsazione (rad/sec) 22

23 Esempio (3/6) Modulo (db) Fase (deg) ω dy System: Ga Frequency (rad/sec): 0.06 Magnitude (db): 29.9 Diagrammi di bode di Ga Pulsazione (rad/sec) System: Ga Frequency (rad/sec): 1.43 Magnitude (db): 0 ω dy ω c G a (jω dy ) 1 Si prevede di ottenere una buona attenuazione di d y 23

24 Esempio (4/6) 12 x 10-3 y d y (t) tempo (s) 1 W dy (s) = 1 + G (s) W (j ω ) = dy dy a 3 Y = D W (j ω ) = dy,p y dy y 3 24

25 Esempio (5/6) Modulo (db) Fase (deg) Diagrammi di bode di Ga Pulsazione (rad/sec) System: Ga Frequency (rad/sec): 1.43 Magnitude (db): 0 System: Ga Frequency (rad/sec): 20 Magnitude (db): ω dr ω dr ω c G a (jω dr ) 1 Si prevede di ottenere una buona attenuazione di d r 25

26 y d r (t) tempo (s) x G a(s) W dr (s) = 1 + G (s) W (j ω ) = dr Esempio (6/6) dr a 3 Y = D W (j ω ) = 9 10 dr,p r dr r 4 26

27 Reiezione di disturbi in regime permanente

28 Attenuazione di disturbi sinusoidali (1/2) Le specifiche sull attenuazione in regime permanente di disturbi sinusoidali impongono vincoli sull andamento in frequenza della fdt d anello 28

29 Attenuazione di disturbi sinusoidali (1/2) Le specifiche sull attenuazione in regime permanente di disturbi sinusoidali impongono vincoli sull andamento in frequenza della fdt d anello Un disturbo sinusoidale sull uscita impone che la ω c (pulsazione di cross-over) sia elevata rispetto alla pulsazione del disturbo e che G a (jω d ) sia sufficientemente grande per avere l attenuazione richiesta 29

30 Attenuazione di disturbi sinusoidali (2/2) Un disturbo sinusoidale sul riferimento o sulla retroazione impone che la ω c sia piccola rispetto alla pulsazione del disturbo e che G a (jω d ) sia sufficientemente piccola per avere l attenuazione richiesta La pulsazione di cross-over ω c e la banda passante del sistema ad anello chiuso dovranno essere tali da soddisfare tali requisiti 30