Lab 2: Progettazione di controllori PID e con retroazione stato per un motore elettrico

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1 Lab 2: Progettazione di controllori PID e con retroazione stato per n motore elettrico Lca Schenato schenato@dei.nipd.it 15 Aprile Scopo L obiettivo di qesto laboratorio è di procedere alla progettazione di regolatori PID e in spazio di spazio di stato per n motore elettrico a corrente contina controllato in tensione. In particolare si vogliono analizzare le differenze di progettazione e prestazioni sia a livello teorico che sperimentale tra n regolatore PID con agginta di desatratore e n regolatore ottento tramite retroazione di stato. 2 Docmentazione tile Per la progettazione si tilizzino gli appnti delle lezioni e le note PDF estratte dal Franklin-Powell fornite s Moodle/elearning. 3 Modello Si consideri lo stesso modello di motore elettrico tilizzato in Lab 1. Il modello complessivo implementato in simlink e mostrato in Figra 1. Rispetto al modello di Lab 1 e stato agginto n lteriore ingresso di distrbo, indicato con d, per poter modellizzare eventali attriti statici. Qesto distrbo e considerato costante e presente solamente qando il motore e posto in movimento 1. 4 Progettazione controllore PID con desatratore Si proceda alla progettazione di n controllore PID C(s) con configrazione in parallelo: C(s) = P I s s D T L s 1 [V olt] [V olt] tale che il sistema in catena chisa soddisfi le segenti specifiche rispetto ad n ingresso a : t s 0.30 [s] rispetto a ±1 dal valore a regime (2) S 5 (3) r = 10, 50, 120 (4) d = ±0.5 [V olt] (5) 1 Secondo qesto modello e opportno generare d tramite n ingresso a sincronizzato con l ingresso a del riferimento r. (1) 1

2 SIMULIN MODEL distrbo d ATTUATORE MOTORE controllore satratore ZOH Motore cc r g2v C(s) P(s) e r2v [rad] SENSORE ZOH WINCON MODEL r g2v e controllore C(s) DAC ADC Figre 1: Modello del motore per la simlazione tramite Simlink (sopra) e implementazione tramite software Wincon per la verifica sperimentale (sotto). dove t s è il tempo di assestamento, S è la sovraelongazione in termini assolti rispetto al valore di riferimento, e r è l ampiezza del di ingresso. Si implementi il controllore indicato con C(s) in Figra 1 tramite n PID in parallelo con desatratore come indicato in Figra 2. P C(s) e D d I a Figre 2: Controllore PID in configrazione parallelo con desatratore. Si prosega alla progettazione del controllore tilizzando na delle metodologie presentate in classe. Per la progettazione analitica si calcolino ω A, φ m affinchè S = 5% e t s = 0.3[s] rispetto al ±1%. Una volta trovato il PID corrispondente si verifichi che soddisfi le specifiche anche in SIMULIN ed in caso negativo si proceda ad na ritaratra.. Si cerchi di mantenere n I sfficientemente elevato per ridrre errori a regime. Si verifichi che le specifiche siano soddisfatte anche incldendo l elemento di satrazione e gli elementi ADC e DCA, cioe i de interpolatori di ordine zero, tramite SIMULIN. 2

3 5 Progettazione in spazio stato Si riscriva la dinamica del motore tramite la segente rappresentazione in spazio di stato: [ ] 1 1 = θ =, l angolo del carico [rad] 2 2 = θ l velocita angolare del carico [rad/s] (6) Verificare che la dinamica del sistema po essere scritta nel modo segente: [ ] [ ] ẋ = A B 0 1 0, A = y = C 0 beqrk2 φ,eq, B = k φ,eq, C = [ T J eqr J eqr 0 ] (7) dove i parametri ed i corrispondenti valori nmerici erano stati definiti nel testo di Lab 1 e T = r2v. Per comodita definiamo le segenti variabili: a = b eqr kφ,eq 2, b = k φ,eq J eq R J eq R. Non essendo l attrito eqivalente noto a priori, come prima approssimazione si consideri b eq = 0. Si verifichi che la rappresentazione del sistema e controllabile ed osservabile. 5.1 Controllo in feedforward Si progetti n controllore con retroazione di stato e insegimento di riferimento in feedforward che soddisfi le segenti specifiche in termini di tempo di assestamento e di sovraelongazione: t s 0.15 [s] rispetto al ±5% del valore a regime (8) S 10% (9) Utilizzando l approccio con approssimazione ai poli dominanti in catena chisa, si verifichi che i poli p 1, p 2 corrispondenti sono dati da: p 1,2 = σ ± j ω d = ξω n ± j 1 ξ 2 ω n σ = 20, ω d = 27 Si calcoli la matrice di retroazione = [ 1 2 ] e il gadagno statico di feedforward F che posiziona i poli in catena chisa in p 1, p 2. Si tilizzino pre le fnzioni place e acker di MATLAB per calcolare la matrice di retroazione. Gli schemi SIMULIN 2 e WINCON per qesto tipo di architettra di controllo sono riportati in Figra 3. Si verifichino tramite SIMULIN le risposte per i segenti ingressi a : r = 10 o, d = 0.2 r = 50 o, d = 0.2 r = 120 o, d = 0.2 r = 10 o, d = 0.2 r = 50 o, d = 0.2 (10) r = 120 o, d = 0.2 r = 50 o, d = 0, a = 1.1 a nominale r = 50 o, d = 0, a = 1.2 a nominale [ ] [ ] Si consiglia di tilizzare il blocco state space di SIMULIN e sare C =, D = per ottenere lo stato e poi tilizzare il matri gain (in Matlab 5.3) o gain con la selezione corretta all interno del blocco (Matlab 6. o 7.) per ottenere y. 3

4 SIMULIN MODEL feedforward r g2v F satratore distrbo d ATTUATORE satratore ZOH MOTORE Motore cc SENSORE ZOH y WINCON MODEL feedforward r g2v F satratore DAC ADC y2 y Figre 3: troazione di stato con compensazione in feedforward per insegimento del riferimento. 5.2 Controllo integrale Si considerino le stesse specifiche s tempo di assestamento e sovraelongazione del pnto precedente. In qesta parte si vole tilizzare n controllo integrale al posto del gadagno statico di feedforward per l insegimento di n segnale di riferimento, il ci schema e riportato in Figra 4. In qesto caso il sistema dinamico ha tre stati e qindi e necessario decidere il posizionamento di tre poli in catena chisa. Anche in qesto caso si considera n sistema del secondo ordine per individare na regione indicativa per il posizionamento dei poli. Si calcolino i valori della matrice di retroazione e del gadagno dell integratore I corrispondente alle 4 configrazioni indicate con le lettere (A),(B),(C),(D) in Figra 5. Si verifichino tramite SIMULIN le risposte per i segenti ingressi a con: r = 50 o, d = 0 per le qattro configrazioni precedenti. Si scelga la configrazione migliore tra (A),(B),(C),(D) e di verifichino le segenti risposte: r = 10 o, d = ±0.2 r = 50 o, d = ±0.2 (11) r = 120 o, d = ±0.2 6 Parte sperimentale in laboratorio Si svolgano le segenti esperienze: 4

5 r SIMULIN MODEL g2v satratore distrbo d ATTUATORE satratore ZOH MOTORE Motore cc SENSORE ZOH y WINCON MODEL satratore r g2v DAC y2 ADC y Figre 4: troazione di stato con compensazione tramite controllo integrale per insegimento del riferimento. Im (A) Im (B) Im (C) Im (D) Figre 5: Area corrispondente ai vincoli di tempo di assestamento e sovraelongazione corrispondenti ad n sistema del secondo ordine. Le indicano i poli in catena chisa per sistema di controllo integrale. 6.1 Prestazione PID nominale Si consideri il controllore PID ottento in Sezione 4 e se ne osservi la prestazione per la risposta a per: r = 10 o r = 50 o r = 120 o (12) 5

6 tilizzando la configrazione WINCON in Figra Ritaratra manale del PID Si cerchi di ritarare manalmente i parametri del controllore PID in modo tale da soddisfare le specifiche richieste di t s 0.30[s] rispetto a ±1 o del valore finale, e S 5% oppre S 7 o, per 6.3 Controllo in feedforward r = 10 o r = 50 o r = 120 o (13) Si verifichino le prestazioni del sistema di controllo con insegimento del riferimento tramite feedforward ottento in Sezione 5.1 per r = 10 o, 50 o, 120 o. Si ritari manalmente il gadagno statico F in base ai dati sperimentali e lo si confronti con il valore teorico. Si tilizzi la configrazione WIN- CON in Figra 3. Il blocco y2, descritto in Figra 6, dove T = r2v e T L = 0.001, e necessario in qanto non ci sono a disposizione dei sensori che misrino direttamente la velocita angolare e qindi e necessario ricorrere ad n modo indiretto che stima qesta velocita direttamente dalla sa posizione angolare. Ovviamente eventali rmori presente nella misra dell angolo tendono ad essere amplificati. y2 y m Figre 6: Blocco per ottenere lo stato del motore dall scita del trasdttore y. 6.4 Controllo integrale Si verifichino le prestazioni del sistema con controllo integrale ottento in Sezione 5.2 per r = 10 o, 50 o, 120 o. 7 Principio del modello interno (FACOLTATIVO 2 pnti) Progettare n regolatore tramite il principio del modello interno che permetta di insegire n segnale di riferimento sinsoidale del tipo: r = a sin(ω 0 t), ω 0 = 2π T 0 6

7 dove T 0 e il periodo del segnale di ingresso, e a e la sa ampiezza. Specificatamente si progettino i controllori per l insegimento di segnali con periodo: T 0 = 1[s] T 0 = 0.5[s] T 0 = 0.25[s] T 0 = 0.15[s] (14) Im Figre 7: Configrazione desiderata dei poli in catena chisa del controllore basato sl modello del principio interno. Confrontare le prestazioni sia in SIMULIN sia in laboratorio dei regolatori ottenti tramite il principio del modello interno con la prestazione del controllo integrale ottento in Sezione 5.2 per i periodi sopra indicati e per ampiezze: a = 10 o, 20 o, 50 o Le prestazioni si misrano in termini di errore di fase e di errore di gadagno. Si sggerisce di posizionare i poli in catena chisa in na configrazione simile a qella di Figra 7 dove ω n 20. Si confronti anche le fnzione di trasferimento (diagramma di Bode) da r a y del sistema in catena chisa con controllo integrale e qella del sistema con controllo basato s modello del principio interno. 7