Nota sull iperbole equilatera

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1 Paolo iviglia Nota sll iperbole eqilatera Un eqazione del tipo = rappresenta na crva detta iperbole eqilatera, la qale è costitita da de rami sitati nel primo e terzo qadrante se > 0, nel secondo e qarto se < 0. La crva di eqazione =, con 0, non ha pnti in comne con gli assi coordinati. Infatti, se il prodotto è diverso da zero, > 0 < 0 entrambi i fattori e devono essere diversi da zero. Risolvendo l'eqazione rispetto a, si ha: =. Per valori di in valore assolto sempre più grandi, i corrispondenti valori della frazione divengono sempre più piccoli in valore assolto. i dice che per tendente a più o meno infinito, la tende a zero. In simboli, ciò pò essere espresso nel modo segente: 0 per ± ( infinito) ppre, tilizzando na scrittra di ci si farà largo so in Analisi Infinitesimale, si pò scrivere: lim = 0 i legge: il limite della fnzione per tendente a infinito, è gale a zero. Ciò significa che, per tendente a più o meno infinito, la crva tende ad "avvicinarsi" Note sll iperbole eqilatera 1

2 indefinitamente all'asse. i dice che l'asse è n asintoto dell'iperbole considerata. Per valori di sempre più " prossimi " a zero, i corrispondenti valori di assmono valori sempre più grandi in valore assolto. In simboli, si pò scrivere: lim =. 0 Ciò significa che la crva tende ad " avvicinarsi " sempre più all'asse. i dice che l'asse è asintoto della crva considerata. i pò dire allora che l'iperbole di eqazione = ammette de asintoti 1 che sono le rette = 0 e = 0, ossia 3 gli assi coordinati. Per tale motivo si dice che l'eqazione = rappresenta n'iperbole eqilatera riferita ai propri asintoti. i pò verificare facilmente che, al decrescere in valore assolto del parametro, i de rami dell'iperbole si approssimano sempre più ai de asintoti. Per = 0 l'iperbole si ridce agli asintoti, ossia rislta costitita da ttti i pnti dei de asintoti. In qest'ltimo caso, si dice che l'iperbole è degenere. Qindi, l'eqazione = 0 rappresenta n'iperbole degenere. Un'iperbole si dice degenere se è costitita soltanto dai pnti di de rette, che coincidono con gli asintoti della crva. 1 > > 3 > 0. immetrie dell iperbole eqilatera 1) A B Un iperbole eqilatera di eqazione = è simmetrica rispetto all'origine degli assi coordinati, ossia rispetto al pnto d'intersezione dei soi asintoti. Infatti, applicando la simmetria centrale : B A ( =, = ) di centro (0; 0) all'eqazione =, rislta: ( )( ) = =. = 6 i ha, cioè: = = Note sll iperbole eqilatera

3 Paolo iviglia Cioè, l'iperbole coincide con la sa simmetrica rispetto al pnto (0; 0). i dice pre che la simmetria trasforma l'iperbole in se stessa. Il pnto (0; 0) si dice centro di simmetria dell'iperbole. In generale, si ha: ) A( 3; ) { = 6} P(; ) { = } A (3; ) { = 6}. P (, ) { = }. Un iperbole eqilatera di eqazione = è simmetrica rispetto alla retta =, ossia rispetto alla bisettrice del primo e terzo qadrante del sistema di riferimento cartesiano. Infatti, applicando la simmetria 1 : ( =, = )all'eqazione =, Q P P = Q si ha: = =. i ha, cioè: = 1 = P(; ) { = } 1 Qindi, la simmetria rispetto alla retta = trasforma l'iperbole in se stessa Ad ogni pnto P dell'iperbole, nella simmetria rispetto alla retta =, corrisponde n pnto P della stessa iperbole. In simboli, si scrive: P (, ) { = }. La retta = è asse di simmetria dell'iperbole di eqazione =. Un iperbole eqilatera di eqazione = è simmetrica rispetto 3) alla retta =, ossia rispetto alla bisettrice del secondo e qarto qadrante del sistema di riferimento cartesiano. Infatti, applicando la simmetria : all'eqazione =, si ha: 1 : ( =, = ) ( )( ) = =. i ha, cioè: = = Qindi, la simmetria rispetto alla retta = trasforma l'iperbole in se stessa Note sll iperbole eqilatera 3

4 Ad ogni pnto P dell'iperbole, nella simmetria rispetto alla retta =, corrisponde n pnto P della stessa iperbole. In simboli, si scrive: P(; ) { = } P (, ) { = }. La retta = è asse di simmetria dell'iperbole di eqazione =. = P L'iperbole eqilatera di eqazione = ha allora n centro e de assi di simmetria, che sono rispettivamente il pnto di coordinate (0; 0) e le rette di eqazione = ±. P Il centro di simmetria non appartiene all iperbole e soltanto no dei de assi di simmetria interseca la crva. L'asse di simmetria che interseca l'iperbole è detto asse trasverso, l'altro, invece, è detto asse non trasverso. e > 0, l'asse trasverso è la retta = invece, se < 0, l'asse trasverso è la retta =. Riepilogando, per l'iperbole eqilatera di eqazione = : = = > 0 V' 1) il pnto di coordinate (0; 0) è il centro di simmetria; ) le rette di eqazioni = 0 e = 0 sono gli asintoti; 3) le rette di eqazione = ± sono gli assi di simmetria. I pnti di intersezione dell'iperbole eqilatera di eqazione = con l'asse trasverso si dicono vertici dell'iperbole. I vertici dell'iperbole eqilatera di eqazione = sono i pnti: ( ± ; ± ) se > 0; ( ± ; ± ) se < 0. Applicando la traslazione: V T: (; ) ( + p; +q) V V' = = < 0 4 Note sll iperbole eqilatera

5 Paolo iviglia all'iperbole di eqazione =, si perviene all'iperbole di eqazione: ( p)( q) = (1) per la qale, si ha: il pnto (p; q) è il centro di simmetria; le rette di eqazione = p e = q sono gli asintoti; le rette di eqazione q = ± ( p) sono gli assi di simmetria. Qindi, la (1) rappresenta na generica iperbole eqilatera con gli asintoti paralleli agli assi coordinati del sistema di riferimento. Generalmente, l'eqazione di na generica iperbole eqilatera con gli asintoti paralleli agli assi coordinati cartesiani ortogonali è espressa dalla segente relazione: a + b = () c + d i ci asintoti sono le rette d a = e =. c c i fa vedere ora come la () e la (1) si eqivalgono. Infatti, ridcendo a forma intera e portando ttti i termini al primo membro, si ha: c + d a b =0. Dividendo per c, si ha: d a b + = 0. c c c ad ommando e sottraendo, si ha : c d a b ad ad + + = 0. c c c c c a d a b ad + = c c c c c d a bc ad =. c c c d a bc ad Posto: = p, = q, =, c c c si ha la (1). Qindi, se l'eqazione dell'iperbole eqilatera con gli asintoti paralleli agli assi coordinati è data sotto la forma: a + b =, c + d d a il centro di simmetria è il pnto ' ; ; c c Note sll iperbole eqilatera 5

6 d a gli asintoti sono le rette di eqazione = e = ; c c d a gli assi di simmetria sono le rette di eqazione = ± + +. c c EEMPI Data l'iperbole eqilatera di eqazione: =, determinarne gli asintoti, + gli assi di simmetria, il centro di simmetria e le coordinate dei vertici. Poiché a = 3, b = 6, c = 1, d =, gli asintoti sono le rette = e = 3; gli assi di simmetria sono le rette = ±( + ) + 3, ossia le rette: = + 5, e = + 1; il centro di simmetria è il pnto (; 3). Per determinare le coordinate dei vertici, si trovano le A intersezioni dell'iperbole con l'asse trasverso V i risolve perciò il sistema: = = ± 3 + = = m 3 V A i ha, così: V ( + 3; 3 3), V '( 3; 3 + 3). crivere l'eqazione dell'iperbole eqilatera avente per asintoti le rette =,. = 3 e sapendo che passa per il pnto A(3; 7). L'eqazione del fascio di iperboli aventi per asintoti le rette =, e = 3 è: ( )( 3) =. Poiché la crva deve passare per il pnto A, per la condizione di appartenenza, si ha: (3 )(7 3) = = 4. L'eqazione dell'iperbole è allora: ( )( 3) = 4 ssia: 3 = 3. crivere l'eqazione dell'iperbole eqilatera avente gli asintoti paralleli agli assi coordinati e sapendo che de soi pnti A( 1; ) e B(3; 6) sono simmetrici rispetto al centro della crva. 6 Note sll iperbole eqilatera

7 Paolo iviglia Il centro dell'iperbole è il pnto medio del segmento AB. i trova facilmente che (1; ). Gli asintoti dell'iperbole sono le rette passanti per il centro e parallele agli assi coordinati. Qindi, le eqazioni degli asintoti sono = 1 e =. Il fascio di iperboli eqilatere aventi per asintoti le rette = 1 e = ha la segente eqazione: ( 1)( ) =. Imponendo alla crva di passare per il pnto A( 1; ), si ha: ( 1 1)( ) = = 8. L'eqazione dell'iperbole è allora: ( 1)( ) = 8 ssia: + 6 = 1 Note sll iperbole eqilatera 7