Compitino di Meccanica dei Fluidi, 18/6/2019

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1 Compitino di Meccanica dei Flidi, 18/6/ foglio aiti ammesso, più diagramma di Moody fila A Esercizio 1 Si consideri n flido di ci si vole conoscere la viscosità. Per far ciò si sano delle biglie di vetro che vengono fatte cadere nel flido e si misra la velocità limite di affondamento. La densità del flido e del vetro sono, rispettivamente, 1000 e 2000 kg/m Usando delle biglie sferiche di raggio pari ad 1 cm, qal è la viscosità dinamica minima che si pò misrare perché il moto rimanga n moto di Stokes? [2.088 Pa s] 2. Qanto vale la velocità di affondamento in tale limite, per il valore trovato di viscosità minima? [0.104 m/s] 3. Si mantengano ora le stesse biglie di vetro, ma si cambi il flido e se ne consideri no di densità pari a 1000 kg/m 3 e viscosità pari a x 10-4 Pa s. Qanto valgono adesso la velocità limite di affondamento, il nmero di Reynolds, Re, e il coefficiente di resistenza, C D? [0.716 m/s; 1.68 x 10 5 ; 0.51] Esercizio 2 Dell aria ( = 1.5 x 10-5 m 2 /s) scorre sopra na lastra piana lnga L = 3 m di profondità nitaria, di scabrezza = 3 mm, con velocità U = 5 m/s. Si valti il coefficiente di attrito globale slla lastra nel caso laminare e nel caso trbolento. Le correlazioni per i coefficienti di attrito locale C fx per no strato limite in assenza di gradiente di 1/2 pressione sono C fx = 0.664/Re x (caso laminare) e 1/5 C fx = 0.059/Re x (caso trbolento). Usando tali correlazioni si verifichi se i valori letti precedentemente sl grafico sono accrati, e si gistifichino eventali differenze. [Dal grafico: C f lam = ; C f trb = Dalle correlazioni: C f lam = ; C f trb = ; differenza dovta all asperità della parete]

2 Esercizio 3 Un moto piano ed irrotazionale è formato dalla somma di n moto niforme in direzione x, più n pozzo nell origine degli assi. Si faccia no schizzo delle linee di corrente, mettendo bene in evidenza eventali pnti particolari (pnti sella o pnti di ristagno). Si chiede poi di calcolare le coordinate di tali pnti (o di tale pnto) per il caso in ci la portata (per nità di profondità) del flido che entra nel pozzo è gale a V /L = 628 m 2 /s e la velocità del moto niforme è U = 10 m/s. Si calcoli infine il valore della fnzione di corrente per la linea di corrente che passa per i pnti (o il pnto) di ci sopra. [(x, y) ristagno = (10, 0)m; ristagno = 0 (ponendo a zero la costante di integrazione)] Esercizio 4 Si consideri il moto incomprimibile, stazionario ed assial-simmetrico che si forma nello spazio tra de cilindri concentrici infinitamente lnghi, di raggi pari a R 1 e R 2 (R 1 < R 2). Il moto viene prodotto dalla rotazione del cilindro esterno a velocità angolare. Dopo aver trovato (r), si calcoli la distribzione di pressione (dovta a cosa?), trascrando la forza di gravità. [ = A/r + Br, p = (Cr 2 +D ln r + E/r 2 + F)] Esercizio 5 Dato l impianto idralico in figra, dimensionare il diametro D della condotta necessario a far deflire na portata volmetrica d acqa pari a 400 l/s. Sia p 0 = 10 4 Pa la pressione relativa all interno del serbatoio ed = 0.1 mm la scabrezza dei condotti. Il problema deve essere risolto fino ad ottenere n valore del diametro (in metri) corretto fino alla seconda cifra decimale. Dati: = 10-6 m 2 /s, K L imbocco = 0.5, K L gomito = 1, a = 4 m, L 1 = 13 m, L 2 = 2 m, L 3 = 25 m. [0.343 m] Esercizio 6 In na galleria del vento si vole sare n modello a grandezza doppia per valtare la resistenza F D di n minidrone con dimensione caratteristica L p = 10 cm che dovrà viaggiare in aria alla velocità U p = 40 km/h. Se il test viene esegito a velocità U m = 20 km/h e in galleria si misra na forza pari a 100 N, determinare la potenza minima che il motore del mini-drone dovrà erogare. Qal è il rapporto tra le scale di tempo caratteristiche dei fenomeni flidodinamici nel modello e nel prototipo? Nota: si considerino le stesse proprietà termofisiche dell aria per modello e prototipo. [1.11 KW, = 4]

3 Compitino di Meccanica dei Flidi, 18/6/ foglio aiti ammesso, più diagramma di Moody fila B Esercizio 1 Un profilo di strato limite (con velocità esterna U costante) pò essere approssimato da n profilo lineare a pezzi del tipo = η oppre = 2η η 2 y per η 1, e = 1 per η 1 (con η = ). Si disegnino U U U δ 99 i de profili di velocità e si calcoli lo spessore di spostamento e lo spessore di qantità di moto per le de approssimazioni di ci sopra. Qale caso approssima meglio lo strato limite laminare di Blasis? [ * A = , A = ; * B = , B = ; * Blasis = , Blasis = ] Esercizio 2 Si vogliono dimensionare i motori di n piccolo sottomarino che deve operare in zona costiera, qindi in vicinanza della sperficie libera del mare. La velocità di pnta del sottomarino deve essere pari a 12 nodi (1 nodo natico = km/h). Si decide di operare na similitdine parziale (qale?) testando n modello del sottomarino in galleria del vento per stimare la resistenza di attrito, e na seconda similitdine parziale (qale?) testando n secondo modello in canale idrodinamico per valtare la resistenza d onda. Per le prove in galleria del vento si sa n modello in scala 1:1 e si misra na resistenza di attrito pari a 1300 N. Qanto vale la resistenza di attrito nel prototipo? [similitdine Re; 4815 N] Per le prove in vasca si sa n modello in scala 1:25 e si misra na resistenza d onda pari a 0.2 N. Qanto vale la resistenza d onda nel prototipo? [similitdine Fr; 3123 N] Si stimi la potenza massima che devono erogare i motori del sottomarino. [49 kw] Dati: aria = 1.5 x 10-5 m 2 /s, H2O = 10-6 m 2 /s, aria = 1.2 kg/m 3, H2O = 10 3 kg/m 3. Esercizio 3 Una pallina di diametro D = 9 cm si sposta in aria a 10 m/s rotando attorno al proprio asse a freqenza f = 41.7 Hz. Usando i dati per l aria dell esercizio 2, si valti la resistenza incontrata dalla pallina nel so movimento e la forza di portanza slla pallina. [F D = 0.20 N, F L = N]

4 Esercizio 4 Un moto piano, incomprimibile ed irrotazionale è descritto da = C x y (con C costante positiva). Si calcoli la fnzione potenziale di velocità, le componenti del vettore velocità, la pressione, e si faccia no schizzo delle linee di corrente (indicando il verso del moto) e delle linee eqipotenziali nel qarto di piano x 0, y 0. Infine, si dimostri che per tale moto le linee di corrente e le linee eqipotenziali sono ortogonali tra loro. [ = C x, v = - C y, = C(x 2 - y 2 )/2, p = - r C 2 (x 2 + y 2 )/2 + k] Esercizio 5 Dato l impianto idralico in figra, calcolare la prevalenza h P della pompa necessaria a far deflire na portata pari a 400 l/s di n certo flido ( = 10 3 kg/m 3 = x 10-5 m 2 /s) dal serbatoio inferiore (in pressione) a qello speriore. Sia p 0 = 10 4 Pa la pressione relativa all interno del serbatoio in pressione, = 2 mm la scabrezza della condotta. Considerando che la potenza elettrica assorbita dalla pompa è pari a 400 kw, qanto vale il rendimento della pompa? Dati: K L imbocco = 0.5, K L gomito = 1.1,, K L sbocco = 1, a = 10 m, L 1 = 5 m, L 2 = 20 m, D = 0.2 m (diametro della condotta). [85%] Esercizio 6 Si consideri il moto laminare, stazionario, assialsimmetrico e completamente svilppato di n flido incomprimibile che si trova nell interstizio tra n cilindro cavo infinito di raggio b e na sbarra cilindrica di raggio a, piazzata al so interno e libera di cadere per effetto del so peso mantenendosi coassiale al canale. Non ci sono gradienti di pressione imposti nel dominio flido. Dopo aver trovato la distribzione di velocità del flido nell interstizio, z = z(r), si trovi la velocità di cadta della sbarra per i segenti dati: a = 1 mm, b = 2 mm, sbarra = 2 x 10 3 kg/m 3, flido = 10 3 kg/m 3, flido = 10-3 Pa s. Nota: per trovare la velocità limite di cadta si dovrà fare n bilancio delle forze slla sbarra. [ z = g r 2 /4 + A ln r + B; U cadta = 7.36 m/s]

5 Compitino di Meccanica dei Flidi, 18/6/ foglio aiti ammesso, più diagramma di Moody fila C Esercizio 1 Si vole svilppare n micro-drone ad ali battenti che deve volare a velocità di pnta pari a 4 m/s qando le ali battono ad na freqenza di 30 Hz. Viene svilppato n modello in scala 2:1 da testare in galleria del vento. Le proprietà termofisiche dell aria sono le stesse per modello e prototipo. Qal è la scala di ridzione dei tempi tra modello e prototipo? Se in galleria del vento si misra na resistenza di 8 N, qanto sarà la potenza necessaria a vincere la resistenza aerodinamica del prototipo? Perché, in realtà, il motore del prototipo dovrà essere in grado di erogare na potenza molto maggiore di qella trovata? Esercizio 2 Dato l impianto idralico in figra, dimensionare il diametro D della condotta necessario a far deflire na portata volmetrica d acqa pari a 80 l/s. Sia p 0 = 10 5 Pa la pressione relativa all interno del serbatoio ed = 1 mm la scabrezza dei condotti. Il problema deve essere risolto fino ad ottenere n valore del diametro (in metri) corretto fino alla seconda cifra decimale. Dati: = 10-6 m 2 /s, K L imbocco = 0.5, K L gomito = 1, a = 10 m, L 1 = 12 m, L 2 = 6 m, L 3 = 22 m. [0.136 m] [ = 4; W = 32 W] Esercizio 3 Dalla ciminiera di n impianto foriescono piccole particelle di polvere. Tali particelle sono approssimativamente sferiche, di raggio pari a circa 10-6 m. La densità delle particelle è di 1300 kg/m 3 ; la viscosità dell aria vale 1.7 x 10-5 Pa s e la sa densità è di 1.25 kg/m 3. Specificando le ipotesi fatte, si calcoli la velocità terminale delle particelle. [1.67 x 10-4 m/s; Re = 2.46 x ] Esercizio 4 Un cilindro di raggio R che rota con velocità angolare costante viene investito da n flsso niforme di velocità V. Il flsso attorno al cilindro pò essere descritto dalla fnzione di corrente ψ = V r sin θ (1 R2 r 2) Γ 2π ln r R ( > 0), somma di n moto niforme, più na doppietta, più n vortice che circola in verso antiorario. 1. Trovare le coordinate dei pnti di ristagno slla sperficie del cilindro (per il caso in ci 0 < Γ < 4πVR). [r = R, = arcsin( /(4πVR)] 2. Cosa sccede qando Γ = 4πVR? [pnti di ristagno coincidono in /2] 3. Si calcoli [p(r) - p ] e, integrando tale qantità slla sperficie del cilindro, si trovino le espressioni di resistenza e portanza. [F D = 0, F L = - V ]

6 Esercizio 5 Si consideri il moto incomprimibile, stazionario ed assial-simmetrico che si forma nello spazio tra de cilindri concentrici infinitamente lnghi, di raggi pari a R 1 e R 2 (R 1 < R 2). Il moto viene prodotto dal movimento assiale del cilindro esterno a velocità U, in assenza di gradienti di pressione imposti e trascrando il termine gravitazionale. Dopo aver trovato la componente assiale di velocità, z(r), nell ipotesi di moto completamente svilppato, si calcoli lo sforzo di taglio rz slle de pareti. r ln( R1 [ z = ) ln( R 2 R1 μu/r rz = ), ln( R 2 R1 ) ] Esercizio 6 Si consideri il profilo di strato limite approssimato dall eqazione: per η 1 (con η = U = 2η η 2 per η 1, e U = 1 y δ 99 ). Si disegni tale profilo e si discta il particolare tipo di strato limite che si sta osservando. Qanto vale il coefficiente di attrito locale? Calcolare gli spessori di spostamento e di qantità di moto. [ * = 99/2, = 9 99/70, C f = 0]