ANNO ACCADEMICO 2016/2017 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA Primo compitino 1/12/2016

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1 ANNO ACCADEMICO 2016/2017 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA Primo compitino 1/12/2016 Esercizio 1. Il menu di un ristorante comprende: 3 antipasti (due dei quali vegetariani) 6 primi (due dei quali vegetariani) 4 secondi (1 dei quali vegetariano) 5 dessert, tutti vegetariani (1) Quante sono le possibili ordinazioni diverse di un pasto completo (antipasto, primo, secondo, dessert)? e quante sono nel caso di un cliente vegetariano? (2) A un tavolo sono sedute 4 persone che ordinano ciascuna un pasto completo. Qual è la probabilità che almeno due di loro abbiano ordinato lo stesso primo? Qual è la probabilità che almeno due di loro abbiano ordinato lo stesso pasto? (3) Il 10% dei clienti del ristorante è vegetariano. Sapendo che tra i 4 pasti ordinati ce ne sono (esattamente) due con tutte le portate vegetariane, qual è la probabilità che almeno uno dei quattro commensali sia vegetariano? Esercizio 2. Dalla stazione ferroviaria di X ogni ora partono per Y tre treni locali, che impiegano 1 ora, e due diretti, che impiegano 45 minuti. Un pendolare P, che lavora a X da lunedì a venerdì, rientra la sera a Y in treno, salendo sul primo treno in partenza. (1) Sia T la v.a. che registra il tempo passato in treno da P tornando dal lavoro in una settimana. Calcolare media e varianza di T. (2) Calcolare la probabilità che T sia minore o uguale a 4 ore e 25 minuti. Esercizio 3 Sia f : R R la funzione definita da f(x) = 6 3x 2 x 3 (1) Disegnare approssimativamente il grafico di f. (2) Basandosi sul punto (1): (2a) dire se f è iniettiva, se è limitata superiormente e/o inferiormente e determinarne, se esistono, il minimo e il massimo. (2b) al variare di c R dire quante soluzioni ha l equazione f(x) = c. Durata: 2 ore.

2 2 SOLUZIONI Esercizio 1 (1) le ordinazioni possibili di un pasto completo sono: = 360; le ordinazioni possibili di un pasto completo vegano sono: = 20; (2) sia A l evento almeno due hanno lo stesso primo; allora P(A) = 1 P(A c ) dove A c, complementare di A, corrisponde all evento tutti i primi sono diversi. I casi possibili (tutte le possibili combinazioni di primi) sono 6 4 = 1296; i casi favorevoli sono dati dalle disposizioni di 4 elementi estratti da un insieme di 6: 6! D 6,4 = (6 4)! = 360; abbiamo allora che P(A c ) = 360 0, 28; 1296 dunque P(A) 1 0, 28 = 0, 72. Sia B l evento almeno due hanno ordinato lo stesso pasto; analogamente a prima calcoliamo P(B c ); il numero di casi possibili è mentre il numero di casi favorevoli è 360! D 360,4 = = (360 4)! Allora da cui P(B c ) = , 98, P(B) 1 0, 98 = 0, 02. (3) Sia C l evento vengono ordinati esattamente due pasti vegetariani e sia D l evento almeno uno dei commensali è vegetariano; ci è richiesto di calcolare P(D C). Osserviamo innanzi tutto che P(D C) = 1 P(D c C) e determiniamo P(D c C). Considerando che per quanto visto al punto (1) la probabilità che un commensale non vegetariano ordini un pasto vegetariano è = 1 16, usando la legge di Bernoulli si ha ( ) ( 4 1 P(C D c ) = 2 16 ) 2 ( ) ,

3 3 Per calcolare P(C) utilizziamo la legge delle alternative. Per comodità indichiamo con 1, 2, 3, 4 i commensali e denotiamo: D 1 l evento soltanto il commensale 1 è vegetariano, D 2 l evento soltanto il commensale 2 è vegetariano ecc. D 12 l evento 1 e 2 sono vegetariani, 3 e 4 non lo sono, D 13 l evento 1 e 3 sono vegetariani, 2 e 4 non lo sono ecc. La legge delle alternative dà: (1) P(C) = P(C D c )P(D c ) + P(C D 1 )P(D 1 ) + + P(C D 4 )P(D 4 )+ Abbiamo: P(C D 12 )P(D 12 ) + + P(C D 34 )P(D 34 ) P(D c ) = 1 (0, 9) 4 0, 66, P(D 1 ) = = P(D 4 ) = 0, 1 (0, 9) 3 0, 073, P(D 12 ) = = P(D 34 ) = (0, 1) 2 (0, 9) 2 0, 008. Inoltre, P(C D 1 ) = = P(C D 4 ) = 3 1 ( ) , 16, ( ) 2 15 P(C D 12 ) = = P(C D 34 ) = 0, Sostituendo questi risultati nell equazione (1), si ottiene: e infine, dalla formula di Bayes: P(C) = 0, 042 P(D c C) = P(C Dc )P(D c ) P(C) e P(D C) = 1 P(D c C) 0, 59. 0, 31 Esercizio 2 (1) Sia, per i = 1,, 5, T i la variabile aleatoria che descrive il tempo trascorso sul treno nel viaggio di ritorno nel giorno i-esimo. La variabile assume il valore 60 minuti con probabilità 3 5 e il valore 45 minuti con probabilità 2 5. La variabile T che misura il tempo trascorso sul treno durante tutte la settimana è data da abbiamo allora che T = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 ; E[T ] = 5 E[T 1 ] = 5 ( ) = 270. Inoltre le variabili T i sono indipendenti, e quindi non correlate, per cui V ar[t ] = V ar[t 1 ] + + V ar[t 5 ]. Si ha poi V ar[t i ] = E[T 2 i ] E[T i] 2 = = 54 e dunque V ar[t ] = 270. In alternativa, si può calcolare direttamente la varianza usando la definizione. La variabile T assume i seguenti valori:

4 4 300 con probabilità ( 3 5 )5 = 0, 07776; 285 con probabilità ( 3 5 )4 2 5 (5 1) = 0, 2592; 270 con probabilità ( 3 5 )3 2 2 ( 5 5 2) = 0, 3456; 255 con probabilità ( 3 5 )2 2 3 ( 5 5 3) = 0, 2304; 240 con probabilità ( 3 5 ) 2 4 ( 5 5 4) = 0, 0768; 225 con probabilità ( 2 5 )5 = 0, Allora E[T 2 ] = , , , , , = 73170; da cui V ar[t ] = = 270; (2) P[T 4h25min] = P[T 265min] = P[T = 225]+P[T = 240]+P[T = 255] = 0, Esercizio 2 (1) Iniziamo rappresentando la funzione y = 3x 2 x 3: si tratta di una parabola di vertice V ( 1 6, ) passante per i punti (0, 3), ( , 0) e ( , 0). Rappresentiamo adesso il valore assoluto y = 3x 2 x 3 :

5 5 Rappresentiamo ora y = 3x 2 x 3 : Trasliamo e otteniamo y = 6 3x 2 x 3 :

6 6 (2) la funzione non è iniettiva; è limitata superiormente ma non inferiormente; ammette massimo assoluto di valore 6; (3) il numero di soluzioni sono: per c > 6, zero soluzioni; per c = 6, due soluzioni; per per c = per c < < c < 6, quattro soluzioni;, tre soluzioni;, due soluzioni.