Primo blocco. Secondo blocco. 1. Provare l uguaglianza. (A B) c = (A B) (A c B c ). 2. Provare che. A = B A B c = A c B.

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1 Primo blocco 1. Provare l uguaglianza. Provare che (A B) c = (A B) (A c B c ). A = B A B c = A c B. 3. Se e y sono due numeri reali entrambe non nulli, e tali che y Q e y Q, e y sono entrambe razionali? 4. Siano A e B due sottoinsiemi di R tali che i. A, y B si ha < y; ii. n N esistono A e y B tali che y < n. Provare che A e B sono classi contigue. 5 Provare che 3 è irrazionale. Per quali altri numeri naturali il risultato è vero? 6. Dati tre insiemi A, B, C in R itati inferiormente, e detti i A, i B, i C i loro estremi inferiori, provare che inf(a B C) = min{i A, i B, i C }. 7. Dato un sottoinsieme A R provare che sono equivalenti le affermazioni i. A è itato; ii. esiste R > 0 tale che < R per ogni A; iii. esiste un intervallo [a, b] tale che A [a, b]. (Provare cioè che i = ii. = iii. = i.) 8. Dato un sottoinsieme A R non vuoto e itato, si chiama diametro di A il numero diama = sup{ y,, y A}. Provare che se s = sup A, allora s diama = inf A. 9. Se e y sono due numeri reali entrambe non nulli, e tali che y Q e y Q, e y sono entrambe razionali? 10. Quanto fa la somma dei primi n numeri pari? 11. Calcola la somma dei primi n multipli di 3, e generalizza la formula al caso dei multipli di un naturale p assegnato. Secondo blocco 1. Determinare dominio e codominio della funzione f : R R definita da e stabilire se è iniettiva. f() = (1 ) 1 1

2 . Determinare il dominio delle applicazioni 1 + log f 1 () = f () = + log. 3. Determinare il dominio e il codominio dell applicazione definita dalla legge f() = 1 log Determinare dominio e codominio dell applicazione definita dalla legge 1 f() = 1 + log. 5. Assegnate le leggi f() = g() = 3 determinarne i campi di esistenza. Costruire, ove sia possibile, f g e g f, e stabilire se g f è invertibile. 6. Data la funzione f : R R definita da f() = log( 1 ) determinare dominio e codominio. Sapendo poi che la funzione g() = 1 è monotona crescente, stabilire se f è monotona crescente. 7. Determinare dominio e codominio della funzione f : R R definita da 3 +, = 1 f() = n, n N (1 ) 1, altrove. f è iniettiva? 8. Determinare il campo di esistenza della funzione f : R R definita da y f(, y) = y e stabilire se è iniettiva. 9. Data la funzione f() = { + 3 se 0 ( + 3) se > 0 determinare l espressione della funzione inversa.

3 1 10 Determinare dominio e codominio dell applicazione f : R R definita da log(3 1) e stabilire se la restrizione f 1, è itata inferiormente o superiormente Determinare il campo di esistenza della funzione f : R R definita da f(, y) = y + log e provare che non è iniettiva. 1. ia f : R R definita da dove Determinare il dominio di f. f(, y) = (f 1 (, y), f (, y)), f 1 (, y) = log(y 3), f (, y) = y y. 13. Sia f : R n R m, f = (f 1,..., f m ) tale che f i è iniettiva per i = 1,..., m; provare che f è iniettiva. E vero il viceversa? 14. Siano f e g due funzioni monotòne non decrescenti. a. La funzione h() = f() + g() risulta monotòna? b. Stesso quesito per la funzione k() = f() g(). 15. Sia f : [a, b] R una funzione itata. Provare che le funzioni g() = sup{f(t), a t < }, h() = inf{f(t), a t < }, sono monotone. Trovare un esempio in cui g() e γ() = sup{f(t), a t } non coincidono. 16. Sia f : A R una funzione crescente; provare che anche f 1 è crescente. Terzo blocco 1. Dati due sottoinsiemi di R, A e B, con A B, provare che A B : fornire un controesempio atto a provare che l inclusione non si conserva per l insieme dei punti isolati.. Provare che (A B) = A B. 3. Sia E un sottoinsieme itato inferiormente (risp. superiormente) di R, e sia i = inf E (risp. s = sup E.) Provare che vale l alternativa i E oppure i E (risp. s E oppure s E ). 4. Siano D ed E due classi contigue in R. Provare che se o è l elemento separatore, allora D E = { o }. 5. Verificare, attraverso la definizione, che + + = 10. 3

4 6. Verificare, attraverso la definizione, che 10 1 log = Si consideri la funzione f : [0, 1] [0, 1] definita da se = 1 f() = n, n N+ altrove. Provare che f() = 0. Cosa si può dire del f()? 0 1 n 8. Si consideri ora la funzione f : [0, 1] [0, 1] definita da se = 1 f() = n, n N+ 1 altrove. Cosa si può dire relativamente a f() = 0. e f()? 0 1 n 9. Provare il Teorema dell unicità del ite nei casi l R e o R. 10. Sia f : A R tale che Considerate le affermazioni 1. δ > 0. δ > 0 3. < δ 4. < δ 5. f() < ε 6. f() ε < 7. f() < ε f() =. (1) inserisci i numeri corretti al posto dei puntini per ottenere la definizione della formula (1). Per ogni ε > 0... tale che per ogni... risulta Stabilire la corretta catena di implicazioni tra le affermazioni i. n + a n = 3; ii. (a n ) n è itata; iii. (a n ) n è convergente. 4

5 ...=... = Sia A R, A Ø, e sia o R. Provare che sono equivalenti le affermazioni i. o A ; ii. esiste una successione n a n A tale che (a n ) n converge ad o. 13. Sia f : [0, ] R tale che esiste f(). Siano D ed E le approssimazioni per difetto e per eccesso di e sia f 1 = f D, f = f E. Provare che 14. Sia (a n ) n una successione convergente ad l. Allora < inf{a n, n N} l sup{a n, n N} < Determinare i punti di continuità delle funzioni { se Q, f() = 1 se R \ Q se Q \ {0}, f() = 1 cos se R \ Q, 1 per = 0, se R \ Q, f() = per = 0, se Q \ {0} f 1 () = f (). 16 Sia f : [0, 1] N definita da f() = 1 se se [ 0, 1 [, [ ] 1, 1. Sia g : [0, 1] R. Provare che condizione necessaria e sufficiente affinchè la funzione fg sia continua in [0, 1] è che g sia continua in ogni 1 ed inoltre ( ) ( ) 1 1 g() = g, 1 + g() = g. 1 Determinare due funzioni f e g discontinue in un punto, ma tali che fg sia continua in [0, 1]. Quarto blocco 1. Riordinare correttamente l enunciato del Teorema della Permanenza del Segno i. a n > 0 5

6 ii. a n > l iii. a n 0 iv. a n = l > 0 n + v. n o N vi. n o N vii. n > n o viii. n > n o Teorema della Permanenza del Segno Se (a n ) n è una successione tale che..., allora... tale che risulti.... Calcolare i iti ; ; , Siano f : A R e o A tali che o f() = +. Posto g() = f() provare che o (Domg) e che o g() = +. Se A è ilitato superiormente e 4. Facendo uso dell esercizio precedente calcolare 1 = 1 e verificarne il risultato attraverso la definizione di ite. f() = + come si trasforma il risultato? + 5. Calcolare il ite seguente: arctan + ( 1). 6. Utilizzando noti teoremi sui iti provare che non esiste log(10 + sin ). + Quinto blocco 1. Verificare che 1 ( ) = +. 6

7 . Calcolare se esistono, , ( 3). 3. Calcolare, se esistono, i seguenti iti: tg, sin. 4. Siano (a n ) n e (b n ) n due successioni tali che 0 a n b n per ogni n N. Stabilire la corretta catena di implicazioni tra le affermazioni: i. n + b n = 0; ii. esiste n N tale che per ogni n > n risulti b n iii. a n = 0. n +...=... = Calcolare i seguenti iti 6. Calcolare il ite 1 n + n ; ( ) n (, ) n n + n n + 3 n ( arctg 3 ) 1 + e (, arctg 3 + sin (log ) + 1 e verificarne il risultato attraverso la definizione di ite. 7. Calcolare, se esistono, i seguenti iti ) 1 + e Calcolare + sin 1 3, sin, + sin cos. sin log(10 + 1) giustificando il risultato tramite i teoremi appresi. 7

8 9. Calcolare i iti (p è un parametro reale) ( p ; n + n) n Calcolare i iti ( n) n+p ; n + ( n) pn ; ( ) n ( ; ) n ( ; ) 1 n ; n + n n + n n + n ( ) n! ; n + n n n + ( n! ) n n. ( n + 5 n 1); n + ( ) n n 1 n n + n + n + 1 n; sin n ; n + n n + an + b n, con a, b R. n + n + n + ( 1) n + ( 1) n n, N; n n ; n + n n n Data la funzione f : R R definita da a. determinarne il campo di esistenza; f() = log( + 1), b. stabilire se è possibile definirla con continuità su tutto R; c. dimostrare che la funzione f è itata. 1. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = e 1 log (1 + e 1 ), e determinare un prolungamento continuo su tutto R. 13. Si consideri la funzione seguente: g() = 4 1 cos 1 sin ; i) determinare il campo di esistenza della g; ii) in quali punti del complementare del dominio è possibile prolungare con continuità la funzione g? 14. Determinare il dominio della funzione f() = log(sin ) e dimostrare che il complementare di questo è costituito di punti isolati. 8

9 15. Calcolare n + ( ) n n+1 e stabilire se è possibile invertire l ordine di calcolo dei iti. 16. Determinare il campo di esistenza della funzione f () = arcsin, e determinare un prolungamento continuo su tutto R. 17. Data una successione (a n ) n si sa che: i) la sottosuccessione (a n ) n è crescente, e la sottosuccessione (a n+1 ) n è decrescente; ii) n + a n+1 a n = 0; Allora la successione (a n ) n è regolare; si può dire che è convergente? 18. Data la successione { n ( 1) (n + 1) se n è pari a n = n se n è dispari i. provare che non è iniettiva, neanche definitivamente; ii. provare che ammette due sottosuccessioni divergenti a + ; iii. provare che la successione non è regolare. Il risultato non contraddice il II Teorema delle Restrizioni: perchè? 19. Provare che se una funzione monotona f :]a, b[ N ammette un punto o di discontinuità, allora necessariamente esistono finiti f() = l 1 e f() = l, ma o + o l 1 l Sesto blocco 1. Provare che, comunque scelto a o N la successione definita ricorsivamente dalla legge è convergente e determinarne il ite. a n+1 = sin a n. Studiare il comportamento e, dove esiste, determinare il ite delle successioni definite per ricorrenza tramite le a 1 =, a n+1 = 1 ) (a n + an ; a 1 = α > 0, a n+1 = 1 a n + a n; 9

10 a 1 = α [0, 1], a n+1 = a n (1 a n ); (0.XII.005) a 1 = α ]0, 1], a n+1 = a n a 3 n; a 1 = α > 0, a n+1 = 1 a n + a n; a 1 = α ]0, 1], a n+1 = 1 a n. 3. Si consideri la successione definita per ricorrenza da { a1 = a = 1 a n = 3a n 1 + ( 1) n a n, n Provare che se esiste (a n ) n converge, allora a n è necessariamente un infinitesimo. 4. Determinare la definizione ricorsiva che fornisce il numero di coppie adulte presenti in un allevamento di una razza di conigli il cui ciclo riproduttivo inizia al 3 o mese di vita e termina al 7 o. Determinare anche il comportamento dell accrescimento. 5. Calcolare i iti seguenti: 1 1 1, 0 sin 1 cos. 6. Calcolare 3 + e + e + e Provare che α sin 1 con α > 0 è un infinitesimo per 0 di ordine superiore ad ogni potenza β con β < α. 8. Calcolare 9. Calcolare 10. Calcolare, se esiste, il seguente ite cos + 3 sin sin + e 1 3 tan 1 + log. + log + sin + 5( + 1) ( + sin ) arctan 11. Calcolare, mediante il principio di sostituzione degli infinitesimi, il ite (17.XII.004) 0 (e 1) + (e 1) e 1 + sin. 10

11 1. Sia A = [1, ] [3, 4]... [n 1, n]... e sia f : A R una funzione continua. Provare attraverso un opportuno esempio che f può non essere itata. Ogni restrizione f [n 1,n] è tuttavia itata (Perché?); quale condizione imporresti alla successioni m n = min{f(), [n 1, n]}, M n = ma{f(), [n 1, n]} per ottenere che f sia globalmente itata in A? Settimo blocco 1. Data una funzione f : [0, 1] [0, 1] continua, provare che l equazione ammette soluzione per ogni n N +.. Sia f : R R definita da f() = f() = n { se Q \ {0}, 0 se R \ Q, Provare che f è derivabile in un solo punto di R. 3. Determinare i punti di derivabilità della funzione { se Q, f() = 3 se R \ Q. 4. Sia f : [a, b] R e sia o = a + b. Stabilire la corretta catena di implicazioni tra le affermazioni i. f è continua in o ; ii. o f() f( o ) = 0; iii. esiste f ( o )....=... = Data la funzione f() = arcotg i. determinarne il campo di esistenza; ii. determinarne un prolungamento continuo su tutto R; iii. stabilire se tale prolungamento risulta ovunque derivabile. (0.XII.005) 6. Studiare la derivabilità nel punto 0 della funzione g() =

12 7. Sia f : R R la funzione definita da 1 1 f() = e1 se 0, 0 se = 0 Determinare il campo di esistenza della derivata di f. 8. Data la legge f() = e + 1 1, i. determinarne il campo di esistenza E; ii. stabilire se f è itata ed in tal caso determinare inf f(), E sup f(); E iii. determinare l insieme dei punti di derivabilità della f. 9. Sia f : R R una funzione ovunque derivabile. Allora la funzione g() = log ( arctan 1 + e f()) è derivabile in tutto R e g () = Sia f : R R una funzione ovunque derivabile. Allora la funzione g() = e1+f () + 4 è derivabile in tutto R e g () = Date f, g : R R + due funzioni derivabili, calcolare la derivata di h() = f[g()]. 1. Sia f : R [0, + ) una funzione ovunque derivabile, e sia h() = arctg f(). Allora h () = Siano P e Q due polinomi di grado n, e sia f() = P () Q() ; calcolare i. f () = ii. f () = + 1

13 Ottavo blocco 1. Adoperando il Teorema di Rolle stabilire il numero di radici reali dell equazione (7.VII.006) = 0.. Tra le seguenti affermazioni si trovano le ipotesi e la tesi del Teorema del Valor Medio; ricostruisci l enunciato corretto. i. f è continua in [a, b] ii. f è definita in [a, b]; iii. esiste o tale che f ( o ) = 0; iv. f è derivabile in [a, b]; v. esiste o tae che f ( o ) < 0; f(b) f(a) vi. esiste o tale che = f( o ); b a vii. f è continua in ]a, b[; viii. f è derivabile in ]a, b[; i. esiste o tale che f ( o ) > 0;. f(a) = f(b); i. f(a) > f(b); ii. esiste o tale che f ( o ) = iii. f(a) < f(b). Se f soddisfa..., allora... f(b) f(a) ; b a 3. Data la funzione f() = e + 1 i. se ne determinino i punti di massimo e di minimo; ii. si stabilisca se è possibile applicare il Teorema del Valor Medio nell intervallo [ 1, 1]. 4. Siano f, g : [a, b] R due funzioni continue, derivabili in ]a, b[ e tali che f(b) f(a) = g(b) g(a). Provare che esiste o ]a, b[ tale che. (16 Giugno 003) f ( o ) = g ( o ) 5. Siano p 1 e I = [a, b] un intervallo chiuso e itato di R. i) Provare che esiste una costante L > 0 dipendente da p e da I tale che per ogni 1, I risulta p 1 p L 1 ; 13

14 ii) Provare che l affermazione precedente è falsa per p = 1. (11 Febbraio 005) 6. Tra le seguenti affermazioni si trovano le ipotesi e la tesi del Teorema dell Hospital: ricostruisci l enunciato corretto. i. f, g :]a, b] R; ii. f, g : [a, b] R; iii. f(a) = 0; iv. g(a) = 0; v. f, g continue in [a, b]; vi. f, g continue in ]a, b]; vii. f, g derivabili in [a, b];; viii. f, g derivabili in ]a, b]; i f () 0;. g () 0; i esiste a + f() g() ; f () ii esiste a + g () Sia f : R R. Provare che le seguenti affermazioni sono equivalenti i) per ogni coppia di valori, y R e per ogni λ [0, 1] risulta ii) f() λ è convessa. f(λ + (1 λ)y) λf() + (1 λ)f(y) λ(1 λ) y ; Se f soddisfa la ii) è convessa? (5 Febbraio 005) 8. Studiare il comportamento e tracciare il grafico delle seguenti funzioni: f() = log 1 ; f() = ; + 1 f() = 1 ; f() = e 1 ; f() =

15 9. Studiare il comportamento della funzione f() = e + 1 e stabilire se esiste un intervallo [a, b] in cui sono verificate le ipotesi del Teorma di Rolle. 10. Studiare la funzione e tracciarne il grafico. f() = i) Studiare il grafico della funzione f() = e 1 (Non è richiesto lo studio della derivata seconda); ii) stabilire se è possibile determinare un intervallo in cui la funzione f soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle; iii) senza calcolare la derivata seconda, determinare un intervallo in cui la funzione f non è convessa. 1. Studiare la funzione f() = 1 + log e stabilire se esiste un suo prolungamento a tutta la retta reale continuo e derivabile in ogni punto. 13. Studiare il grafico della funzione f() = log(log + 1 ) log( + 1). 14. Studiare il comportamento della funzione { ( 1) f() = 3 (log( 1) 1) se > 1, 0 se 1, e tracciarne il grafico. 15. Studiare e tracciare il grafico della funzione (Dicembre 004) f() = e Studiare e tracciare il grafico della funzione (8 Gennaio 005) f() = e 1. 15

16 17. i) Studiare e tracciare il grafico della funzione f() = 1 log (non è richiesto lo studio della derivata seconda). ii) Tracciare i grafici delle funzioni 1 f() e f( + ). (11 Febbraio 005) 18. Studiare e tracciare il grafico della funzione f() = log ( + 1 ). 19. Studiare e tracciare il grafico della funzione f() = 3e log + (non è richiesto lo studio della derivata seconda).(18 Luglio 005) 0. Data la funzione f() = log i. studiarla e tracciarne il grafico qualitativo (non è richiesto lo studio della derivata seconda); ii. stabilire se esiste un intervallo in cui è possibile applicare il Teorema di Rolle. (9 Febbrao 006) 1. Studiare la funzione f() = log 1 log log e tracciarne il grafico qualitativo (non è richiesto lo studio della derivata seconda). (3 Febbraio 006) Nono blocco 1. Sia f : [a, b] R una funzione derivabile. Provare che H = { [a, b] (f + ) ()} = { [a, b] : (f ) ()} = { [a, b] ( f ) ()}. Se f(a)f(b) < 0 è vero che H Ø?. Se f C 1 ([a, b]) è monotona crescente, provare che se P è una sua qualunque primitiva, P è convessa in [a, b]. (Esonero del 5 Gennaio 001) 3. Sia f : [a, b] R una funzione continua; provare che per ogni n N esiste una funzione Φ n : [a, b] R tale che Φ n C n ([a, b]) e Φ (n) n () = f() per ogni [a, b]. 16

17 4. Sia f : R R una funzione continua, e si consideri la funzione G : [ 1, 1] R definita da G() = 0 f(t)dt. i) Provare che G è derivabile in tutti i punti 0; ii) sotto che ipotesi esiste G (0)?; (0 Febbraio 003) 5. Sia f : R R una funzione continua, e sia g() = f() + Provare che i) se f è lipschitziana, allora g è lipschitziana; ii) se f è derivabile, allora g è derivabile; iii) se f C n ([a, b]), allora g C n ([a, b]), n IN. (16 Luglio 003) b f(t)dt. 6. Sia f : [a, b] R una funzione continua. Per ogni o [a, b] definiamo l applicazione P o : [a, b] R come P o () = o f(t)dt = o f(t)dt. o f(t)dt con l usuale convenzione che, per < o i. Provare che P o è una primitiva di f per ogni scelta di o [a, b]. ii. Provare che l inclusione {P o, o [a, b]} f()d può essere propria. (9 Febbraio 006) 7. Data la funzione G : ]0, 1] IR definita da G() = arcsin 1 log tdt i) determinarne gli eventuali massimi e minimi relativi; iii) stabilire se è possibile estendere con continuità G a tutto [0, 1]. (5 Febbraio 005) 8. Calcolare e 1 e d, nell intervallo [, 1]. 9. Per ogni ε ] 0, 1 ] sia A(ε) l area della regione di piano compresa tra l asse, le rette = ε, = 1 ε ed il grafico di f() = 1 log. 17

18 i) determinare A(ε); ii) determinare ε o tale che A(ε o ) = log ; iii) calcolare ε 0 + A(ε). (11 Febbraio 005) 10. Dopo averne giustificato l esistenza determinare la famiglia delle primitive della funzione f : [π, π] R definita dalla legge f() = sin cos 1 sin Studiare il comportamento della funzione { log se 0 f() = 0 se = 0, e tracciarne il grafico (non è richiesto lo studio della derivata seconda). Determinare poi l area della porzione di piano deitata dall asse, dalle rette = 0 e = e dal grafico della f(). 1. Calcolare, nell intervallo [, 3], la famiglia delle primitive della funzione f() = e Calcolare ( 1) 3 [log( 1) 1]d, nell intervallo [e + 1, e + 1]. 14. Calcolare log( + )d, nell intervallo [1, 3]. 15. Calcolare l area della porzione di piano compresa tra il grafico della funzione f() = l asse delle ascisse e le rette di equazione = 1 e = 3. [ 16. Data la funzione f : 3, π ] R sin cos 0 π f() = + 3 < 0, (1 + )( + 4) i) stabilire se ammette primitive; 18

19 ii) calcolare l espressione della funzione integrale; iii) determinare l area della porzione di piano compresa tra il grafico della f, la retta ortogonale alla tangente al grafico nel punto = π e passante per il punto ( 3, f( 3)) e le rette = 3 e = Calcolare l integrale definito nell intervallo [4, 5]. della funzione f() = log Data la funzione f : [ 3, 0] R definita da ( + ) 3 < f() = (3 3 1) arctan( + ) 0 i) giustificare l esistenza di primitive; ii) determinarne l espressione; iii) calcolare l integrale definito. 19. Dopo averne giustificato l esistenza determinare la famiglia delle primitive della funzione f : [0, 1] N definita dalla legge f() = log( + 1 ) 0. Calcolare 1 0 log d Determinare l espressione delle primitive della funzione f : [0, 1] R definita da ( ) + f() = log + 1 e determinare in particolare quella che assume il valore 1 in = 0.. Determinare l integrale indefinito nell intervallo [5, 6] della funzione f() = log Dopo averne giustificato l esistenza determinare la famiglia delle primitive della funzione f : [5, 6] R definita dalla legge f() = ( 3) log(4 1) 4. Dopo averne giustificato l esistenza determinare la famiglia delle primitive della funzione f : [5, 7] R definita dalla legge f() = log

20 5. Determinare l area della porzione di piano compresa tra l asse delle, le rette di equazione = 1, = 1 [ e il grafico della funzione f : 1, 1 ] R definita da f() = ( 1)( + 1). 6. Determinare l area della porzione di piano compresa tra l asse delle, le rette di equazione =, = 3 e il grafico della funzione f : [, 3] R definita da f() = Decimo blocco 1. Data la funzione f : [0, ] R definita tramite la legge { se 0 1 f() = c + arctan se 1 < i) provare che f é integrabile; ii) determinare c in modo che la funzione integrale F di f sia una sua primitiva; iii) fornire l espressione di F. (7 Giugno 005). Sia f : [a, b] R una funzione itata; i) Provare che S f S f ; ii) dedurne che b a f()d b a f() d; iii) l integrale inferiore è additivo, cioè per ogni c [a, b] Vero o falso? iv) La funzione b a c b f()d = f()d + f()d. a G() = f(t)dt è continua. Vero o falso? (4 Luglio 00) 3. Considerata la funzione f() = { se [ 1, 0], + se ]0, 1], i. provare che è itata e determinare sup{f(), [ 1, 1]}, inf{f(), [ 1, 1]}; a c 0

21 ii. provare che essa è integrabile e determinare l espressione della funzione integrale in [ 1, 1]; iii. calcolare se esiste la derivata della funzione integrale in = Dopo averne giustificato l esistenza, determinare la famiglia delle primitive della funzione f : [, 4] R definita da f() = 1 = Data f : [, 4] R definita da f() = e 1 + e se [, 3] 3 1 se ]3, 4], determinare l espressione della sua funzione integrale. 6. Determinare l espressione della funzione integrale di arctan( + 6) se [ 1, 0] g() = e se ]0, 1] e discutere la derivabilità di tale funzione integrale. 7. Determinare l espressione della funzione integrale della f : [, 4] R definita da: 3 se [, 3] f() = e 3 se ]3, 4], e stabilire se è una primitiva di f. 8. Dopo averne giustificato l integrabilità determinare l integrale indefinito della funzione f : [, 3] R definita da [ se, 5 ] f() = 1 se ] ] 5, 3 9. Calcolare + 1 d, nell intervallo [0, 3]. 1

22 10. Dopo aver stabilito gli intervalli di integrabilità, determinare il valore degli integrali indefiniti: d; d; d 3 + ; ( + 1 ) 1 d. 11. Dopo avere determinato gli intervalli di integrabilità, calcolare gli integrali definiti: b a 1 + d; b a d; b a d 3 (1 + 3 ) ; 1. Sia L : [0, 1] IR definita da L(t) = log(3t + 1) + t, e sia f C 1 ([0, 1]) tale che la lunghezza della curva γ = {(t, f(t)), t [0, ]} è L() per ogni [0, 1]. Provare che f è monotona. (10 Giugno 005)