Alcuni esercizi di Analisi I (tratti da compiti ed esercitazioni in aula degli ultimi anni)

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1 Alcuni esercizi di Analisi I (tratti da compiti ed esercitazioni in aula degli ultimi anni) ) Risolvere la disequazione 2/ 3 < 4/ +. Numeri reali, insiemi, logica proposizionale 2) Trovare un numero M tale che risulti ( + 2)/( 4) < M, per ogni tale che ) Discutere se le seguenti affermazioni sono vere o false: a) 5 implica 2 > 3, b) = se e solo se 2 =, c) 3 8 implica 2. 4) Verificare che se α < < β e α < y < β, allora y < β α. 5) Se > 2 e risolve l equazione =, allora 3 > 8. 6) Data una funzione f(), negare la seguente frase logica: per ogni a > esiste un numero b >, tale che per ogni appartenente all insieme (b, b + ), allora f() > a. 7) Dire se le seguenti affermazioni sono vere, false oppure né vere né false (l importante è giustificare la risposta): a) per ogni tale che 2 + < /2 risulta 4 = 2, b) per ogni (, ), c) esiste tale che 3 > e 2 + > 3/2. 8) Un insieme si dice limitato se ammette un maggiorante e un minorante reali. In base alla precedente definizione far vedere che un insieme è limitato se e solo se esiste un numero reale m tale che < m per ogni elemento dell insieme di partenza. 9) Calcolare l estremo superiore, inferiore ed eventualmente il massimo e minimo del seguente insieme: A = {2n/(n 2 + ), n N, n }. ) Si consideri l enunciato p = q seguente: se tutti gli uomini fossero sani, tutti gli ospedali sarebbero vuoti. Scrivere la frase inversa, cioè non q = non p. ) Determinare i punti di accumulazione dell insieme A = { [2sen ( nπ 2 + n 2 )] n, n N n } 2) Sia U un insieme e A un suo sottoinsieme. Il complementare di A in U, C U A, è definito come l insieme dei punti appartenenti a U, ma non ad A. Dimostrare le seguenti leggi di De Morgan: ) C U (A B) = C U A C U B, 2) C U (A B) = C U A C U B. 3) Dimostrare che l unione di due insiemi che ammettono massimo ammette massimo. ) Dire per quali > la seguente serie converge: Sucessioni e serie (log( + /n)) n ( + /n ) 2. 2) Studiare al variare del parametro reale α il carattere della serie così definita: ( (cos n )sen ( n ) n α. n=3

2 3) Determinare per quali valori del parametro reale α converge la serie n+sen n α + / 2 e /2 d n sen n α (Suggerimento: non conviene cercare una primitiva della funzione + / 2 e /2 ) 4) Dimostrare che lim n ( ) n n non esiste. Calcolare lim n ( n 2 + n n). 5) Stabilire se le serie log n 2n 3 6, sen 3 (/n) sono convergenti. 6) Determinare se converge la seguente serie ( log ) n 2 n + 2 (Suggerimento: utilizzare un classico limite notevole che coinvolge il logaritmo e che deriva da lim n (+ /n) n = e). 7) Determinare per quali valori di α R converge la serie: n 3 (arctg n 2 π/2) sen n α 8) Studiare, al variare di R, la convergenza della seguente serie e n sen ( 2 n ) log( + 2n ). 9) Data una successione {a n }, dimostrare che la convergenza di Far vedere con un esempio che il viceversa non vale. a n implica la convergenza di a n. ) Data una successione a n tale che l insieme dei valori assunti {a n } è un insieme composto da un numero finito di punti, dire quale delle seguenti affermazioni è falsa: la successione è limitata l insieme dei valori assunti ammette massimo l insieme dei valori assunti ammette minimo la serie a n certamente non può convergere la serie a n certamente converge. ) Un criterio del confronto per le serie a termini non positivi. Date due successioni a n, b n, se a n b n, per ogni n, allora bn converge implica che a n converge, bn non converge implica che a n converge, an converge implica che b n converge, bn converge implica che b n non converge, nessuna delle precedenti affermazioni è esatta. 2) Data una serie convergente a n, dire quale condizione segue a) la successione delle somme parziali tende a zero b) a n è decrescente c) lim n a n = l (, )

3 d) a n è a termini positivi e) nessuna delle quattro precedenti condizioni segue dalla convergenza della serie. 3) Data la successione dire quale delle seguenti affermazioni è vera a) a n è limitata b) a n è decrescente c) lim n + a n = d) lim n + a n = e) nessuna delle precedenti affermazioni è vera 4) Determinare il seguente limite (se esiste): { + 2/n se n e a n = dispari /(n + ) se n e pari lim n + n 2 n + 3 n 5) La serie a) converge per = b) non converge qualsiasi sia il valore di c) converge per d) converge per ogni valore di e) converge per ogni valore di diverso da zero 6) La seguente serie a) converge per ogni valore di b) converge se e solo se ( 2, + 2) c) non converge per nessun valore di d) converge se e solo se (, ) e) converge se e solo se [, ] cos n 2n + cos n n 2 7) Siano {a n } e {b n } due successioni reali e supponiamo che: i) a n > per ogni n, lim n a n = 5, ii) b n < per n. Allora a) esiste il limite lim n a n b n b) esiste il limite lim n b n a log n n c) esiste il limite lim n a n b n d) se esiste il limite lim n a n b n tale limite è sicuramente zero e) nessuna delle precedenti risposte è esatta 8) La seguente serie e /n n

4 a) converge per ogni valore di b) non converge per nessun valore di c) converge per > d) converge per (, ) con e) converge per (, ) 9) La seguente serie ( arctg n + n 2 ) n+ a) non converge per nessun valore di b) converge per = c) converge per ( π/2, π/2) d) converge per ( 2/π, 2/π) e) nessuna delle precedenti affermazioni è esatta 2) La seguente serie ( 2 arctg n + n 2 ) n+ a) non converge per nessun valore di b) converge per = c) converge per ( π/2, π/2) d) converge per ( 2/π, 2/π) e) nessuna delle precedenti affermazioni è esatta 2) La seguente serie ( 2 (2 + /n) + n 2 ) n+ a) non converge per nessun valore di b) converge per = c) converge per ( /2, /2) d) converge per ( 2, 2) e) nessuna delle precedenti affermazioni è esatta 22) Sia E l insieme { /n + cos πn + sen πn 2, n N, n }. a) E ha massimo e tale massimo vale b) l estremo superiore di E è c) l estremo inferiore di E è d) il minimo di E è e) nessuna delle precedenti affermazioni è esatta 23) la serie log ( + /n 2) n a) converge per < b) converge per = c) converge per > 2 d) converge per 2 e) converge per < 2

5 24) la serie n + arctg n a) converge per (, + ) b) converge per (, ) c) converge per = d) non converge per nessun valore di e) converge per ( π/2, π/2) 25) Data la serie n 3, indichiamo con S n la successione delle somme parziali e con S il loro limite, cioè S = lim n + S n. Utilizzando il confronto con l integrale improprio in [, + ) di / 3, dire quale delle seguenti affermazioni è vera: S n < 2 2/(n + ) 2 S n < 2 2/(n + ) 2 S n < 2 2/(n + ) nessuna delle precedenti affermazioni è vera 26) Ricordando che dire quanto vale il seguente limite /e / e lim ( + n + a/n)n = e a, lim ( n + /n) n 27) Data una successione a n, se lim a n = +, allora a) la successione è crescente b) esiste n tale che la successione è crescente per ogni n > n c) esiste n tale che a n > per ogni n > n d) la successione è limitata e) per ogni coppia m, n risulta a n a m f) nessuna delle precedenti risposte è corretta 28) La seguente serie: ( 3 + sen ) n converge se e solo se a) > 3 b) > 2 c) = d) < e) > f) nessuna delle precedenti risposte è corretta n 3 + n 4

6 29) E data la seguente successione (si supponga n > ) { se n e a dispari n n e n se n e pari Dire quale delle seguenti affermazioni e vera. a) il massimo dei valori assunti dalla successione esiste e vale b) inf{a n } =, ma tale valore non e il minimo c) lim n a n = d) lim n a n = e) la successione e decrescente f) nessuna delle precedenti affermazioni e vera Funzioni, concetti generali, limiti e continuità ) Dire quale tra le seguenti proposizioni è la definizione esatta della scrittura lim 4 7 a) per ogni λ > e per ogni µ >, se 4 < µ e 4 allora f() 7 < λ b) per ogni λ > e per ogni µ >, se 4 < µ allora f() 7 < λ c) per ogni µ > esiste λ > ed esiste tale che 4 < λ e f() 7 < µ d) per ogni µ > esiste λ > tale che se 4 < λ e λ allora f() 7 < µ e) per ogni µ > esiste λ > tale che se 4 < λ e 4 allora f() 7 < µ f) nessuna delle precedenti 2)Vero o falso (giustificare la risposta): a) una funzione pari non è invertibile; b) una funzione dispari è invertibile 3) Studiare sen (/). Dire qual è il più grande dominio possibile, far vedere sottoinsiemi del dominio sui quali è invertibile, dimostrare che non esiste alcun numero a > tale che f sia invertibile in (, a). 4) Data una funzione f(), negare la seguente frase logica: per ogni a > esiste un numero b >, tale che per ogni appartenente all insieme (b, b + ), allora f() > a. 5) Dimostrare, utilizzando la definizione di limite, che lim 3 2 = 5 6) Si supponga che lim + () Si dica quale delle tre proposizioni seguenti discende dalla formula (): a) se > risulta f() <, b) esiste ε > tale che f() < per ogni > ε, c) per ogni ε > esiste η > tale che per > η si abbia f() > ε >. 7) Verificare che la funzione f : R R, definita da { Q R\Q è iniettiva e che non è crescente in nessun sottointervallo di R (che non si riduca a un solo punto). Far vedere che lim.

7 8)Usando il confronto con opportune funzioni far vedere che lim sen (/) =. 9) Data una funzione f : A B, verificare che a) se {C i } è una famiglia di sottoinsiemi di A, allora f( i C i ) = i f(c i ); b) se E F B, allora f (E) f (F ). ) Sia a >. Dimostrare che da lim + a = +, segue lim + log a = +. ) Utilizzando i teoremi di confronto per i limiti di funzione, calcolare: sen lim + sen +cos, lim + cos ) Dimostrare, utilizzando la definizione di limite, che lim 4 2 = 6 3) Il seguente enunciato è falso: se f(), definita in (a, b), è continua in (a, b), allora è continua in un intorno di, cioè esiste δ > tale che f è continua in ( δ, +δ). Proponiamo una dimostrazione sbagliata. Trovare l errore. Per ipotesi f() è continua in. Quindi, per ogni ε > esiste un δ > tale che () < δ = f() f( ) < ε. Se indichiamo con I l intervallo ( δ, + δ) allora f è continua in I. Infatti per ogni I risulta f() f( ) = f() f( ) + f( ) f( ) f() f( ) + f( ) f( ) 2ε. L ultimo passaggio segue dall ipotesi (), dato che sia che distano da per meno di δ. La disuguaglianza sopra scritta prova che f() è continua in = che è un generico punto dell intorno I. 4) Data f : [a, b] {} {}, suriettiva, far vedere che f non può essere continua. 5) a) Dimostrare che un polinomio di grado dispari ha almeno una radice (una radice di un polinomio P () è definita come una soluzione dell equazione P () = ). b) Consideriamo il polinomio P () = Scrivere un algoritmo che consenta di ricavare un valore che dista da una radice del polinomio per meno di 2 (in altre parole: pur non sapendo determinare esattamente la o le soluzioni di P () =, si tratta di trovare un metodo che, con l ausilio di una semplice calcolatrice, faccia ricavare un numero che disti da una radice di P () meno di 2 ). Scrivere l algoritmo e calcolare il numero approssimante la soluzione. Suggerimento: si tratta di una semplice applicazione di uno dei teoremi studiati sulle funzioni continue. 6) Sia I un intervallo di R non necessariamente chiuso né limitato e sia f() continua in I. Se f() tende a + per tendente agli estremi dell intervallo I, allora esiste il minimo di f() in I. 7) Sia f : E F. Scrivere che cos è f (D), dove D F. Dati due sottoinsiemi di F, A e B, dimostrare che f (A B) = f (A) f (B). 8) Una funzione f() si dice lipschitziana se esiste una costante l tale che f() f(y) l y per ogni, y nel dominio. Provare che una funzione lipschitziana è anche continua (in altri termini la lipschitzianità è una condizione di regolarità maggiore della continuità). Far vedere che non è lipschitziana in [, ] e lo è in [, 2]. 9) Dire se è vera o falsa la seguente affermazione (giustificare la risposta): sia f : [a, b] R una funzione continua con f() 4 per ogni [a, b] e f(a) = 2. Allora f(b) < 4. 2) Si supponga che lim + () Si dica quale delle tre proposizioni seguenti discende dalla formula (): a) se > risulta f() <,

8 b) esiste ε > tale che f() < per ogni > ε, c) per ogni ε > esiste η > tale che per > η si abbia f() > ε >. 2) Sia f : D R +cos +sen (si intenda con D il più grande dominio possibile). Determinare l insieme dei punti di discontinuità di f. 22) In quale dei seguenti insiemi la funzione cos( 2 ) è invertibile? [, ] ( π/2, π/2) [, π/2] (π, 2π) nessuno dei precedenti insiemi 23) Data la funzione f definita come segue: log (2 + 2) > = sen / + < Calcolare, se esiste, limite di f() per che tende a zero. 24) Date e +, g() = log e h() = dominio. +, scrivere la funzione composta h g f, con relativo 25) Data f : N N, + dire quale delle seguenti affermazioni è falsa: f è continua f è iniettiva f è suriettiva (cioè f(n) = N) f è limitata inferiormente 26) Consideriamo la proposizione seguente: date due funzioni f e g definite in un intervallo I, sia I. Supponiamo che f() g() per ogni e che lim. Allora lim g() =. La precedente proposizione è vera se aggiungiamo l ipotesi supplementare g(), vera se aggiungiamo l ipotesi supplementare g(), vera senza bisogno di ulteriori ipotesi vera se aggiungiamo l ipotesi supplementare f( ) = g( ) = falsa anche se si aggiungno le ipotesi supplementari di cui sopra 27) Sia f : [a, b] R continua e f() >, per ogni [a, b]. Quale delle seguenti affermazioni è vera esiste δ > tale che f() > δ, [a, b] esistono, 2 [a, b] tali che f( ) = a e f( 2 ) = b (f()) 2 > f() [a, b] f(a) < f(b) 28) Un equazione polinomiale di terzo grado a 3 + b 2 + c + d = ha sicuramente almeno una soluzione reale, ha sicuramente almeno una soluzione negativa, ha sicuramente tre soluzioni reali, non è detto che abbia soluzioni reali, nessuna delle precedenti affermazioni è corretta. 29) Sia f() una funzione definita su R. Supponiamo che lim +. Allora:

9 a) la funzione è decrescente b) lim n + f(n) = c) m, si ha che f() se m d) m e k f() k se m e) nessuna delle precedenti affermazioni è corretta. 3) Sia f : (, ) una funzione continua e strettamente decrescente. Quale delle seguenti affermazioni è falsa? a) Il limite lim f() esiste e può valere l R oppure b) Il limite lim f() esiste e vale necessariamente c) L immagine di f ristretta all intervallo [/3, 2/3] è l intervallo [f(2/3), f(/3)] d) Il limite lim f() esiste e f() > lim f() e) f non ha punti di massimo né di minimo relativo 3) Il limite lim log + è uguale a a) b) c) /2 d) e) + 32) Il limite lim ( sen 2) è uguale a a) /2 b) 2 c) + d) e) il limite non esiste perché i limiti destro e sinistro sono diversi Calcolo differenziale e studi di funzioni ) Studiare la seguente funzione e disegnarne il grafico (non utilizzare calcolatrici in grado di disegnare grafici di funzioni altrimenti l esercizio è del tutto inutile): ) Si scriva l equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = nel punto (, 3). 3) Consideriamo la seguente funzione f : R R, { /n se = /n, n Z se non e della forma /n con n Z. Dopo aver dimostrato che f è continua in =, dire se e derivabile in tale punto. 4) Dimostrare la seguente generalizzazzione del Teorema di Rolle: Sia f : [a, + [ una funzione derivabile e sia lim f(a). + Allora esiste un punto z ]a, + [, tale che f (z) = (suggerimento: applicate all esercizio il Teorema di Rolle in modo opportuno).

10 5) Vero o falso: a) data una funzione f(), se è un punto di massimo relativo, allora f() f( ) per ogni appartenente al dominio; b) data una funzione f(), se in la funzione è derivabile con derivata nulla, allora non può essere né di massimo né di minimo relativo. 6) Studiare la funzione e + 2sen + cos, R. La funzione è invertibile in un intorno dell origine? 7) Far vedere che f() definita come 2 cos(/) se e se = è derivabile in R e calcolarne la derivata (attenzione al calcolo nell origine). Verificare che la sua derivata prima non è continua in zero. Tale esempio mostra una funzione derivabile, ma con derivata non continua (cosa che incontriamo raramente, ma che esiste). 8) Studiare la funzione e e + 3( + ) Disegnarne il grafico. 9) Studiare la funzione sen cos e disegnarne il grafico. È periodica tale funzione? E pari? Dispari? ) Determinare al variare di α R il massimo e il minimo numero delle radici reali del polinomio = α. ) Determinare il numero delle soluzioni della seguente equazione: log = /4, >. Si puo dire qualcosa di piu? (per esempio il segno delle soluzioni, una loro piu o meno precisa approssimazione o altro ancora) 2) Studiare le due seguenti funzioni e tracciarne il grafico: e + +, R\{ }, log +, >,. 3) Sia e ; R; determinare: { f() f(y) sup y } :, y (, ]; y. 4) Dimostrare l esistenza e calcolare f () dove { + 2 > 2 /2. 5) Studiare la funzione e , R. 6) Sia e t2 (log( + t) + ) 2 dt, R. Dimostrare che f è invertibile in un intorno di =. Detta h l inversa, scrivere il polinomio di grado 4 e centro della funzione g() = (e )h 2 (), definita in un intorno dello zero. 7) Si studi e si disegni il grafico, nell intervallo [, ], della funzione così definita (non è richiesto il calcolo della derivata seconda): ( ) sen. log

11 Si determini inoltre il numero di intersezioni tra tale grafico e la retta di equazione y = /2. 8) Studiare la seguente funzione (non è richiesto il calcolo della derivata seconda): log /2 9) Studiare la seguente funzione Si consideri successivamente a R e la funzione g : [, ) R, g() = arctg log { a se = f() se < < Supponiamo che a sia tale che g è continua in zero. Determinare il valore di a e dire in quali punti la funzione g è derivabile. 2) Si trovino gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo in R della funzione 3 log. 2) Dire se la seguente funzione è invertibile in un intorno di zero: { + 2 cos(/) se se = 22) Determinare il numero e il segno delle soluzioni della seguente equazione: e = 23) Studiare la seguente funzione: { 2arctg 2 (, ) sen ( / 2 ) [, + ). 24) Disegnare il grafico della funzione + log. 25) Determinare quante sono le soluzioni dell equazione =. 26) Data una funzione f : R\{} R, condizione sufficiente affinché sia invertibile è che sia a) continua in tutto il suo dominio b) derivabile in tutto il suo dominio con derivata prima positiva c) strettamente crescente d) strettamente crescente in (, ] e [, + ) e) nessuna delle precedenti affermazioni è vera 27) Sia f : [a, b] R derivabile in [a, b]. Se è punto di massimo relativo allora f ( ) =. Questo enunciato somiglia al Teorema di Fermat, ma scritto così è falso. Quale ipotesi dobbiamo aggiungere affinché sia vero? a) (a, b) b) f derivabile in tutto l intervallo [a, b] e non solo in c) f derivabile in tutto l intervallo [a, b] con derivata continua d) f dotata di derivata seconda in e f ( ) <

12 28) Sia f una funzione definita in [, ]. Dire quale delle condizioni che seguono è sufficiente affinché l equazione abbia soluzione: a) f continua e f( ) < f() b) f derivabile e f( ) < f() c) f( ) < e f() > d) f continua, crescente e f( ) < f() e) nessuna delle precedenti condizioni garantisce l esistenza della soluzione di 29) Data una funzione continua f : [a, b] R, supponiamo che sia un punto di minimo relativo. Segue che a) Se f è derivabile, allora f () = b) Se f è derivabile e (a, b), allora f () = c) Sicuramente non può essere nessuno dei due estremi d) Se coincide con uno dei due estremi, allora la f non è derivabile in e) Se = a allora b è punto di massimo relativo 3) Sia f : (, ) (, ) derivabile e tale che f () = per ogni. Dire quale delle seguenti affermazioni non segue da quanto appena ipotizzato su f. a) I due limiti di f() per che tende a e a esistono e sono finiti b) f non ammette punti di massimo né di minimo relativo c) f è continua d) f è costante e) I due limiti di f() per che tende a + e a esistono e sono finiti 3) Data una funzione f : D R, i punti di massimo o di minimo relativo a) vanno cercati, se f è derivabile e D è un insieme della forma (a, b) (b, c), tra i punti in cui la derivata si annulla b) sicuramente esistono se D è un intervallo chiuso e limitato c) sicuramente esistono se D è un intervallo aperto e f è continua d) sicuramente non esistono se la funzione non è continua e) sicuramente non esistono se la funzione è derivabile, ma la derivata non si annulla in nessun punto ( 32) Calcolare il limite lim cos ) ) Calcolare il limite lim log + ( ) 2. 34) Calcolare 3arctg (2) + sen 2 ( cos 2) lim sen 35) Data arctg log, quale delle seguenti affermazioni è vera a) lim + + b) f ha un punto di minimo relativo in = c) lim f() non esiste d) f è crescente e) f è discontinua in = 36) Dire quale delle seguenti proprietà è verificata dalla funzione 2 +, (, ] a) = /2 è un punto di minimo relativo e non ci sono punti di massimo relativo b) = /2 è un punto di minimo relativo

13 c) = /2 è un punto di minimo relativo e = è punto di massimo relativo d) = è punto di massimo relativo e) nessuna delle precedenti affermazioni è esatta 37) Nell intervallo [π/4, π/6], si consideri la funzione sen 2 cos. Segue che a) f ha infiniti punti di massimo e minimo perché periodica b) π/6 è un punto di minimo relativo c) π/6 è un punto di massimo relativo d) π è punto di massimo relativo e) π/4 è punto di massimo relativo 38) La funzione + 2 log è invertibile esclusivamente nell intervallo (, ) è invertibile in (, /2) è invertibile nell insieme (, ) (, /2) è invertibile (, +, ) è invertibile in (, /2) ed è invertibile in (/2, + ) nessuna delle precedenti risposte è corretta 39) Data la funzione e, [, ] a) = è punto di massimo relativo b) non ci sono punti di massimo relativo c) non ci sono punti di minimo assoluto d) è punto di massimo relativo e) è punto di minimo relativo 4) La funzione e, R è invertibile in a) [, ] [2, 3] b) [, ] c) [ 2, ] [, 2] d) R e) nessuna delle precedenti affermazioni è esatta 4) Sia la funzione e, definita in [, + ). a) f non ha punti minimo relativo b) f non ha punti di minimo assoluto c) = è punto di massimo relativo, ma non assoluto d) = è punto di massimo assoluto e) = e è punto di massimo relativo 42) Data la funzione + 2, definita in R, a) f ammette esattamente due punti di minimo relativo b) i punti di minimo relativo di f sono tutti e soli i punti dell intervallo (, 2) c) i punti di minimo relativo di f sono tutti e soli i punti dell intervallo [, 2] d) f non ammette punti di minimo relativo e) nessuna delle precedenti affermazioni è esatta 43) Data la funzione + 2, definita in R,

14 a) f ammette esattamente un punto di minimo relativo e un punto di massimo relativo b) i punti di minimo relativo di f sono tutti e soli i punti dell intervallo (, ) c) i punti di minimo relativo di f sono tutti e soli i punti dell intervallo (, ] d) f non ammette punti di minimo relativo e) nessuna delle precedenti affermazioni è esatta 44) La funzione + 2, definita in R, a) è invertibile in tutto il suo dominio b) è strettamente crescente in tutto il suo dominio c) è invertibile in (, 2), ma non in [, 2] d) è invertibile in [, 2] e) è invertibile in R [, 2] 45) La funzione + 2, definita in R, a) è invertibile in [, ] [2, 3] b) è invertibile in (, ), ma non in [, ] c) è invertibile in [, ] [3, 4] d) è invertibile in R [, 2] e) nessuna delle precedenti affermazioni è esatta 46) L equazione = a) ha due soluzioni negative b) una sola soluzione c) una sola soluzione positiva d) nessuna soluzione negativa e) due soluzioni positive 47) L equazione arctg 3 + 3sen ( + 2 ) = a) non ha soluzioni negative b) ha infinite soluzioni negative c) ha solo la soluzione nulla d) ha una soluzione nell intervallo [, 2] e) nessuna delle precedenti risposte è corretta 48) L equazione + 2 log = a) ha una soluzione negativa b) non ha alcuna soluzione c) ha due soluzioni positive d) ha come soluzione = /2 e) ha almeno due soluzioni negative 49) L equazione 2 = a) ha una soluzione negativa b) ha una soluzione positiva c) ha due soluzioni d) ha come soluzione = /2 e) ha almeno due soluzioni positive 5) Data l equazione log ( /2 6 8) =, dire quale delle seguenti affermazioni è vera. a) l equazione ha due soluzioni negative e una positiva b) l equazione ha almeno una soluzione nell intervallo (, 2)

15 c) l equazione ha due soluzioni nell intervallo (, 3) d) l equazione ha solo la soluzione nulla e) l equazione ha tre soluzioni positive 5) Data l equazione log ( /2 6 8) =, dire quale delle seguenti affermazioni è vera a) l equazione ha almeno una soluzione negativa in (, ] b) l equazione ha due soluzioni nell intervallo (, ] c) l equazione ha due soluzioni positive e due negative d) l equazione ha solo la soluzione nulla e) l equazione ha almeno due soluzioni positive 52) Data l equazione arctg ( /2 6 8) =, dire quale delle seguenti affermazioni è vera a) l equazione ha due soluzioni nell intervallo [, ] b) l equazione ha due soluzioni positive c) l equazione ha due soluzioni nell intervallo [, + ) d) l equazione ha due soluzioni negative e) nessuna delle precedenti affermazioni è esatta 53) Data l equazione arctg ( /2 6 8) =, dire quale delle seguenti affermazioni è vera a) l equazione ha due soluzioni nell intervallo [, ] b) l equazione ha due soluzioni positive c) l equazione ha due soluzioni nell intervallo [, 3] d) l equazione non ha soluzioni negative e) nessuna delle precedenti affermazioni è esatta 54) Data l equazione (sen )( ) =, dire quale delle seguenti affermazioni è vera a) l equazione ha due soluzioni nell intervallo [, ] b) l equazione ha due soluzioni nell intervallo [, π] c) l equazione ha tre soluzioni nell intervallo [ π, ] d) l equazione ha tre soluzioni negative e) nessuna delle precedenti affermazioni è esatta 55) Data l equazione sen ( ) =, dire quale delle seguenti affermazioni è vera a) l equazione ha due soluzioni nell intervallo [, ] b) l equazione ha due soluzioni nell intervallo [, π] c) l equazione ha una soluzione positiva d) l equazione ha tre soluzioni negative e) l equazione ha una soluzione negativa 56) Data + + tg definita in ( π/2, π/2), detta g la sua inversa, allora g () è uguale a /2 2 la funzione g non è derivabile in 57) Se una funzione f è derivabile in un punto del suo dominio, allora la derivata di f in, f (), è a) la retta tangente al grafico di f in b) il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f in (, f())

16 c) il valore del minimo o del massimo relativo di f in d) è uguale al limite lim z f (z) e) uguale a zero se e solo se c e un flesso orizzontale in f) nessuna delle precedenti risposte è corretta 58) L equazione e sen = a) non ha soluzioni b) ha almeno due soluzioni negative c) ha almeno una soluzione nell intervallo [, 2] d) ha almeno una soluzione nell intervallo [2, 4] e) ha almeno una soluzione negativa f) nessuna delle precedenti risposte è corretta 59) Data la funzione dire quale delle seguenti affermazioni e falsa a) f() non ha asintoto obliquo per + b) 7 2 e punto di massimo relativo c) e punto di minimo relativo d) f() e decrescente nell intervallo ( 7 e) tutte le precedenti affermazioni sono vere e , ) 6) Scrivere lo sviluppo di Taylor al secondo ordine, centrato in =, di e ( + ) 6) Determinare la derivata quinta in = della funzione a) /2 b) /6 c) /2 d) e) nessuno dei precedenti valori ln( + 2 ) sen 2 62) Si consideri il seguente enunciato: sia f : [a, b] R derivabile in a. Se f (a) > allora a è punto di minimo relativo. Dire quale delle seguenti affermazioni e corretta. a) l enunciato e vero b) l enunciato e falso: diventa vero se scriviamo f (a) = al posto di f (a) > c) l enunciato e falso: diventa vero se consideriamo b al posto di a d) l enunciato e falso: diventa vero se consideriamo un punto (a, b), ma non il punto a e) l enunciato e falso: diventa vero se scriviamo f (a) < al posto di f (a) > f) l enunciato e falso, ma per una motivazione diversa da quella elencata nei casi b), c), d), e) 63) Scrivere lo sviluppo di Taylor al secondo ordine, centrato in =, di log cos a) cos ( ) + o( ) b) cos + cos ( ) (sen + cos 2 )( )2 + o( ) 2

17 c) cos + ( sen ) ( ) ( cos 2 + /2)( ) 2 + o( ) 2 d) cos ( sen ) ( ) + ( cos 2 + /2)( ) 2 + o( ) 2 e) cos ( ) (sen + cos 2 )( )2 + o( ) 2 f) nessuno dei precedenti sviluppi e corretto 64) Determinare la derivata prima in = della seguente funzione e confrontare le successive possibili conclusioni. { 2 sen (/) se se = a) b) c) d) + e) la funzione non e derivabile in = f) 2 65) Data la funzione f : [, 2] [3, 4]R, { + se [, 2] se [3, 4] dire quale tra le affermazioni dalla a) alla e) e falsa, oppure indicare la risposta f) se si pensa che tutte le prime cinque affermazioni sono vere. a) f e strettamente crescente b) f e invertibile c) = 2 e punto di massimo relativo d) = 3 e punto di minimo relativo e) la funzione e continua f) tutte le precedenti affermazioni sono vere Integrali, integrali impropri, funzioni integrali ) Far vedere che la funzione di Dirichlet non è integrabile secondo Riemann in [, ]. 2) Dire se la funzione è integrabile secondo Riemann in [, ]. { se Q, se Q, { sen cos(/), = 3) Sia f : [a, b] R una funzione diversa da zero solo in un numero finito di punti. Dimostrare che f è integrabile e che il suo integrale è nullo. 4) Sia f : [a, b] R una funzione continua con f() per ogni [a, b] e b a. Dimostrare che per ogni. 5) Stimare il valore di 2 grado di trovare. log, cioe cercare di maggiorarlo e minorarlo con valori piu precisi che si e in

18 6) Studiare la convergenza del seguente integrale: π/2 e cos d. Stimarne il valore nel caso sia un numero finito. Nel caso che non sia finito dare una stima della funzione e t cos t dt. 7) Si calcoli il seguente integrale indefinito: ( 2 + ) arctg ( ) d. 8) Sia f[, + ) la funzione definita come segue: dato n N, n, ( n) [n, n + ). n2 Dire in base a quale teorema della teoria degli integrali la funzione f è integrabile in ogni intervallo [, a), con a > e studiare la convergenza del seguente integrale imroprio: + f() d 9) Studiare la funzione F () = e t t 2 dt ) Studiare la convergenza del seguente integrale improprio: + (sen ) 2 d 2 ) Calcolare il seguente integrale: π ( + 3)sen d. 2) Studiare la convergenza del seguente integrale improprio: 3) Determinare il dominio della funzione + 2 (cos ) 2 + e +/ d 2 2 t 2 + cos t dt t + Dire inoltre se esiste lim + f() e in caso affermativo calcolarne il valore. 4) Determinare il dominio della funzione 2 2t 2 cos t dt t + 2 Dire inoltre se esiste lim + f() e in caso affermativo calcolarne il valore.

19 5) Determinare per quali valori di α R converge l integrale: α 2 log 6) Studiare al variare del parametro reale α la convergenza del seguente integrale: + log( cos )α π 2 arctg d. 8) Date due funzioni f e g, integrabili in [a, b], l area della regione del piano compresa tra i grafici delle due funzioni e tra le rette = a e = b è a) b a f() g() d b) b a f() g() d c) b a d) b a e) b a f() + g() d f() g() d f() g() d 9) Calcolare 2 lim + t 2 + e t2 dt 2) Calcolare 2+ lim + t 2 dt + e t2 2) Data calcolare lim + f(). 22) Data lim + f() risulta essere a) b) + c) 2 d) π/2 e) π cos 2 t t 2 + dt sen 2 t t 2 + dt 23) Si consideri la funzione definita come segue: { arctg ( 2 ) (, ) ( ) sen [, + ) e si consideri quindi la funzione F : [, 2] : R F () = f() d

20 Allora risulta che a) F non è derivabile b) F è derivabile in [, 2] e si ha che F () = f() per ogni [, 2] c) F è derivabile in [, 2] e si ha che F () = f() per ogni (, 2] d) F è derivabile in [, 2] tranne che in = e) F non è ben definita in [, 2] 24) Si consideri la funzione definita come segue: { = 2 sen R\{} e si consideri quindi la funzione F : [, 2] : R Allora risulta che F () = f() d a) F non è derivabile b) F è derivabile in [, 2] e si ha che F () = f() per ogni [, 2] c) F è derivabile in [, 2] e si ha che F () = f() per ogni [, ) d) F è derivabile in [, 2] tranne che in = e) F non è ben definita in [, 2], ma solo in [, ). 25) Determinare il dominio della seguente funzione a) (, 3) (, + ) b) (, ) (, + ) c) ( 3, ) d) (, + ) e) (, ) 26) Determinare il dominio della seguente funzione a) (, ) (, + ) b) (, ) c) (, + ) d) [, + ) e) (, + ) f) (, ) 27) Determinare il dominio della seguente funzione a) (, ) (, + ) b) (, ) e t t 2 + t dt e t t 2 + t dt arctg ( + t 2 ) 2 t 2 t dt

21 c) (, + ) d) [, + ) e) (, + ) f) (, ) 28) Determinare il dominio della seguente funzione +2 arctg ( + t 2 ) t 2 t dt a) (, 2) (, + ) b) (, ) (, + ) c) (, ) d) (, + ) e) (, + ) f) (, ) 29) Calcolare arctg d 3) Calcolare l integrale 2 e d. 3) Calcolare l integrale e (log )2 d. 32) Calcolare l integrale e 2 (log ) 2 d. 33) Calcolare l integrale 34) Calcolare l integrale 2 e +e d. e 2 d. 35) Determinare il dominio della seguente funzione: a) (, ) (, + ) b) (, 2) (, + ) c) R d) (, ) e) (, ) (, + ) f) nessuna delle precedenti risposte è corretta + + sen t (t + )arctg t dt 36) Determinare il valore del seguente integrale (suggerimento: conviene utilizzare un cambiamento di variabile) d a) 6 log log 2 b) 6 log 3 6 log 2 c) 3 log log 2 d) 6 log log 2 e) la funzione non e integrabile nell intervallo indicato f) nessuna delle precedenti risposte è corretta

22 37) Stabilire il dominio della funzione 2 38) Determinare il valore del seguente integrale 39) Data la funzione dire quale delle seguenti affermazioni e vera π/4 2 a) e punto di minimo relativo b) non ci sono punti di massimo relativo c) non ci sono punti di minimo relativo d) 3 e punto di minimo relativo e) nessuna delle precedenti affermazioni e vera 4) Data la funzione cos t arctg (2 + t t 2 ) dt (cos ) 2 d (sen t) 2 (t 2 + 4t + 3) dt log t(t 2 + 3t) dt dire quale delle affermazioni dalla a) alla e) e falsa, oppure indicare la f) se le prime cinque affermazioni sono tutte vere a) = e punto di minimo relativo di f b) f(), > c) f e continua e derivabile in (, + ) d) la derivata prima di f si annulla in = 3 e) non ci sono punti di massimo relativo di f in (, + ) f) tutte le precedenti affermazioni sono vere 4) Determinare il dominio della seguente funzione 2 t 2 + cos t t dt 42) Il limite è uguale a lim a) b) 2 c) + d) e) il limite non esiste f) nessuna delle precedenti risposte è esatta 43) La funzione t 2 log t dt e t dt + e

23 a) ha un punto di minimo relativo in = b) ha un punto di minimo relativo in = c) ha un punto di massimo relativo in = e d) ha un punto di massimo relativo per che tende a + e) ha un punto di minimo relativo in = /e f) nessuna delle precedenti risposte è corretta 44) Dire se le seguenti funzioni sono integrabili in senso improprio in [, + ): e 2, a e (a > ), + 4, sen, cos 2, sen 2, log + 2,. 45) Dire se le seguenti funzioni sono integrabili in senso improprio in (, ): sen, sen / sen,, 3 log, log. TESTI DELLE PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA DELL A.A Primo compitino del fila A ) Dimostrare che non esiste il limite lim sen + 2) Dimostrare la seguente proprieta del limite: se l, l 2 sono due numeri reali e f, g due funzioni tali che lim l, lim g() = l 2, dove R e un punto di accumulazione dei domini delle due funzioni, allora risulta che lim f()g() = l l 2. Se l esercizio cosi com e vi crea difficolta, provate a dimostrarlo nel caso particolare, leggermente piu facile, in cui l e l 2 sono positivi. 3) Calcolare (se esiste) il seguente limite 4) Dimostrare che la successione disuguaglianza lim + 3 e log { } n log, definita per n, e crescente, cioe che vale la n + a n a n+, n N, n. Determinare inoltre gli estremi superiore e inferiore dell insieme E = esistono) il massimo e il minimo. { } n log n +, n N, n e (se

24 Primo compitino del fila B ) Dimostrare che non esiste il limite lim cos + 2) Dimostrare la seguente proprieta del limite (caso particolare del teorema della permanenza del segno): dati X R illimitato superiormente e f : X R tale che lim l >, + allora esiste a R tale che per ogni (X (a, + )) risulta f() >. 3) Calcolare (se esiste) il seguente limite 4) Dimostrare che la successione disuguaglianza lim + 3 log 2 + e { } n log, definita per n, e crescente, cioe che vale la n + 2 a n a n+, n N, n. Determinare inoltre gli estremi superiore e inferiore dell insieme E = esistono) il massimo e il minimo. { } n log n + 2, n N, n e (se Primo compitino del fila C ) Dimostrare che non esiste il limite lim (sen )2 + 2) Dimostrare la seguente proprieta del limite: dati X R illimitato superiormente e f : X R tale che lim +, + allora per ogni successione { n } a valori in X tale che n + se n +, allora risulta che f( n ) + se n +. 3) Calcolare (se esiste) il seguente limite 4) Dimostrare che la successione disuguaglianza lim + 3 sen log { } n log, definita per n, e crescente, cioe che vale la n + 3 a n a n+, n N, n. Determinare inoltre gli estremi superiore e inferiore dell insieme E = esistono) il massimo e il minimo. { } n log n + 3, n N, n e (se

25 Secondo compitino del fila A ) Sia I un intervallo della retta reale e f : I R una funzione derivabile; se la derivata prima di f e nulla in ogni punto del dominio, dimostrare che allora f e costante. Se g : A R e derivabile con derivata prima nulla in ogni punto, ma il dominio A non e un intervallo, g e costante? Giustificare la risposta. 2) Studiare la convergenza della serie 3) Studiare la funzione 2 n + n 3 n +. sen t + t 2 t dt. In particolare determinare: dominio di f, eventuali limiti interessanti e asintoti, segno della funzione, se la funzione e pari, dispari, periodica, esistenza di punti di massimo e minimo assoluti di f. Tracciare infine il grafico di f. 4) Studiare gli eventuali punti di massimo e di minimo assoluti e relativi e gli eventuali valori massimo e minimo della funzione f : [, 5] R, definita come { 2 [, 4] log (4, 5]. Secondo compitino del fila B ) Sia I un intervallo della retta reale e f : I R una funzione derivabile e strettamente monotona. Se con g : J R indichiamo la funzione inversa, in quali punti di J g e derivabile? come si esprime la derivata di g laddove esiste? Giustificare la risposta. 2) Studiare la convergenza della serie 3 n + n 2 4 n + n. 3) Studiare la funzione cos t + t 2 t dt. In particolare determinare: dominio di f, eventuali limiti interessanti e asintoti, segno della funzione, se la funzione e pari, dispari, periodica, esistenza di punti di massimo e minimo assoluti di f. Tracciare infine il grafico di f. 4) Studiare gli eventuali punti di massimo e di minimo assoluti e relativi e gli eventuali valori massimo e minimo della funzione f : [, 5] R, definita come { 2 [, 4) log [4, 5].

26 Prova scritta del fila A ) Dimostrare il seguente enunciato: dati un intervallo I della retta reale e una funzione derivabile f : I R, se la derivata prima di f e positiva in ogni punto del dominio, allora f e strettamente crescente. Se g : A R e derivabile con derivata prima positiva in ogni punto, ma il dominio A non e un intervallo, g e strettamente crescente? Giustificare la risposta. 2) Studiare la convergenza della serie 2 log n n 2. 3) Si consideri la funzione seguente e si risolvano i tre problemi proposti (giustificando i risultati ottenuti). 2 t + t 4 + dt. a) Determinare il dominio di f; b) calcolare lim + f(); c) dire in quali punti del dominio f e derivabile e calcolare f () (suggerimento per questo terzo quesito: conviene scomporre l integrale nella somma di due integrali aventi ciascuno un estremo di integrazione costante). Suggerimento generale: non conviene cercare una primitiva della funzione integranda. 4) Dimostrare, usando la definizione di limite, che lim = +. Prova scritta del fila B ) Dimostrare il seguente enunciato: dati un intervallo I della retta reale e una funzione derivabile f : I R, se la derivata prima di f e negativa in ogni punto del dominio, allora f e strettamente decrescente. Se g : A R e derivabile con derivata prima negativa in ogni punto, ma il dominio A non e un intervallo, g e strettamente decrescente? Giustificare la risposta. 2) Studiare la convergenza della serie 3 log n 2n 2. 3) Si consideri la funzione seguente e si risolvano i tre problemi proposti (giustificando i risultati ottenuti). 2 t 2 + t 5 + dt. a) Determinare il dominio di f; b) calcolare lim + f(); c) dire in quali punti del dominio f e derivabile e calcolare f () (suggerimento per questo terzo quesito: conviene scomporre l integrale nella somma di due integrali aventi ciascuno un estremo di integrazione costante). Suggerimento generale: non conviene cercare una primitiva della funzione integranda.

27 4) Dimostrare, usando la definizione di limite, che lim 2 = +. Prova scritta del fila C ) Dimostrare il seguente enunciato: dati un intervallo I della retta reale e una funzione derivabile f : I R, se la derivata prima di f e positiva in ogni punto del dominio, allora f e strettamente crescente. Se g : A R e derivabile con derivata prima positiva in ogni punto, ma il dominio A non e un intervallo, g e strettamente crescente? Giustificare la risposta. 2) Studiare la convergenza della serie 2 log n 3n 2. 3) Si consideri la funzione seguente e si risolvano i tre problemi proposti (giustificando i risultati ottenuti). 2 t 3 + t 6 + dt. a) Determinare il dominio di f; b) calcolare lim + f(); c) dire in quali punti del dominio f e derivabile e calcolare f () (suggerimento per questo terzo quesito: conviene scomporre l integrale nella somma di due integrali aventi ciascuno un estremo di integrazione costante). Suggerimento generale: non conviene cercare una primitiva della funzione integranda. 4) Dimostrare, usando la definizione di limite, che lim 4 = +. Prova scritta dell fila A ) Studiare la convergenza della serie ( n 2 sen ) 4 n 2) Si consideri la seguente funzione f : R R { 2 sen (/) =. Dire in quali punti del dominio la funzione e continua. Dire in quali punti e derivabile e determinare la derivata. Dimostrare che f ammette infiniti punti di massimo e di minimo relativo (suggerimento: tali

28 punti di massimo e minimo relativo sono difficili da calcolare esplicitamente, ma se ne puo dimostrare l esistenza studiando il comportamento della funzione). Dire infine se la funzione ammette massimo e minimo assoluti. 3) Si dia la definizione di serie numerica e di convergenza di una serie numerica. Si dimostri il seguente enunciato: date due successioni a n e b n, definite per n e dato λ R, supponiamo che b n = λa n per ogni n. Dimostrare che se n= a n converge, allora n= b n converge. 4) Dire se converge il seguente integrale improprio: log( + 2 ) d Prova scritta dell fila B ) Studiare la convergenza della serie n ( sen ) 3 n 2) Si consideri la seguente funzione f : R R { 4 sen (/) =. Dire in quali punti del dominio la funzione e continua. Dire in quali punti e derivabile e determinare la derivata. Dimostrare che f ammette infiniti punti di massimo e di minimo relativo (suggerimento: tali punti di massimo e minimo relativo sono difficili da calcolare esplicitamente, ma se ne puo dimostrare l esistenza studiando il comportamento della funzione). Dire infine se la funzione ammette massimo e minimo assoluti. 3) Dire se converge il seguente integrale improprio: e 2 d 4) Si dia la definizione di serie numerica e di convergenza di una serie numerica. Si dimostri il seguente enunciato: date due successioni a n e b n, definite per n e dato λ R, supponiamo che b n = λa n per ogni n. Dimostrare che se n= a n converge, allora n= b n converge. Prova scritta del fila A ) Studiare per quali valori di R converge la serie n arctg n n 3 + n +

29 2) E data una funzione f : (a, b) R, derivabile nel suo dominio. Sia (a, b) tale che f ( ) =. Quali ulteriori ipotesi sulla derivata di f possiamo porre per poter dire che e punto di minimo relativo? e quali affinche sia punto di minimo assoluto? Dimostrare con cura le conclusioni ottenute. 3) Si consideri la funzione f : R R, definita come { 2 cos(/) = e quindi la funzione g() = f(t) dt Determinare il dominio di g. Dire in quali punti del dominio la funzione g e continua, in quali e derivabile e determinare la derivata. Determinare punti di massimo e di minimo relativo di g e calcolare eventuali limiti significativi. 4) Data la funzione e (sen )2, determinare lo sviluppo di Taylor di f al terzo ordine e con centro in zero. Nello svolgere l esercizio si sfrutti lo sviluppo delle funzioni e e sen e non si calcolino le derivate di f. Ricavare poi dallo sviluppo di f il valore f (). Prova scritta del fila B ) Studiare per quali valori di y R converge la serie y n arctg n n 2 + 2n + 2) E data una funzione f : (a, b) R, derivabile nel suo dominio. Sia (a, b) tale che f ( ) =. Quali ulteriori ipotesi sulla derivata di f possiamo porre per poter dire che e punto di massimo relativo? e quali affinche sia punto di massimo assoluto? Dimostrare con cura le conclusioni ottenute. 3) Si consideri la funzione f : R R, definita come { 2 sen (/) = e quindi la funzione g() = f(t) dt Determinare il dominio di g. Dire in quali punti del dominio la funzione g e continua, in quali e derivabile e determinare la derivata. Determinare punti di massimo e di minimo relativo di g e calcolare eventuali limiti significativi. 4) Data la funzione e sen 2, determinare lo sviluppo di Taylor di f al terzo ordine e con centro in zero. Nello svolgere l esercizio si sfrutti lo sviluppo delle funzioni e e sen e non si calcolino le derivate di f. Ricavare poi dallo sviluppo di f il valore f (). Prova scritta del fila A

30 ) Consideriamo una funzione g : R R, continua e positiva nel suo dominio, crescente in [, + ). Sia 2 g(t) dt. La funzione f ha punti di massimo o di minimo relativo? se la risposta e affermativa si riesce a localizzare tali punti? Si riesce cioe a dire, per esempio, se sono positivi o negativi, compresi in determinati intervalli, ecc.? 2) Determinare per quali valori del parametro reale α converge la serie log ( + ) n 2 n α. 3) Si consideri la funzione seguente e si risolvano i due problemi proposti (giustificando i risultati ottenuti). + dt. (t + 2)e t3 a) Determinare il dominio di f; b) calcolare lim + f(). (Suggerimento: non conviene cercare una primitiva della funzione integranda. 4) Tra tutti i triangoli rettangoli aventi ipotenusa di lunghezza fissata l, ne esiste uno la cui area al quadrato e massima rispetto agli altri? Se la risposta e affermativa, tale triangolo ha anche area massima (cioe senza elevare l area al quadrato) rispetto agli altri triangoli? (giustificare la risposta). Prova scritta del fila B ) Consideriamo una funzione g : R R, continua e positiva nel suo dominio, crescente in [, + ). Sia 2 g(t) dt. La funzione f ha punti di massimo o di minimo relativo? se la risposta e affermativa si riesce a localizzare tali punti? Si riesce cioe a dire, per esempio, se sono positivi o negativi, compresi in determinati intervalli, ecc.? 2) Determinare per quali valori del parametro reale α converge la serie log ( + ) n n α. 3) Si consideri la funzione seguente e si risolvano i due problemi proposti (giustificando i risultati ottenuti). + dt. (t + 3)e t2 a) Determinare il dominio di f; b) calcolare lim + f(). (Suggerimento: non conviene cercare una primitiva della funzione integranda. 4) Tra tutti i triangoli rettangoli aventi ipotenusa di lunghezza fissata l, ne esiste uno la cui area al quadrato e massima rispetto agli altri? Se la risposta e affermativa, tale triangolo ha anche area massima (cioe senza elevare l area al quadrato) rispetto agli altri triangoli? (giustificare la risposta).

31 Prova scritta del ) Studiare la funzione e Determinare in particolare il dominio, se ci sono punti di discontinuita, punti in cui la funzione non e derivabile, punti di massimo o di minimo relativo, asintoti e limiti interessanti. Dire infine se la funzione ammette massimo e minimo assoluti. (Suggerimento: la derivabilita di f nell origine puo essere difficile da determinare. Potete rimandare questo studio alla fine dell esercizio senza compromettere il resto dello svolgimento). 2) Studiare la convergenza dell integrale improprio e 2 log d. 3) Studiare la convergenza della serie { n a n dove a n = sen n n dispari n pari 4) Siano f, g : [a, b] R due funzioni integrabili. Dimostrare, in base alla definizione di integrale di Riemann, che, se f() g() per ogni [a, b], allora segue che b a f()d b a g()d. n 2