A B C D E CODICE=400028

Transcript

1 Testi dei compiti e dei compitini di Analisi Matematica I Corso di Laurea in Ingegneria Civile, Ambientale ed Edile A.A Cognome: Nome: Matricola: CODICE = A B C D E CODICE=400028

2 PARTE A. Si consideri il sistema di equazioni { x arctg(x 2 +y 2 ) = 0, y arctg( x 2 y 2 ) = 0. A: Tutte le altre risposte sono sbagliate. B: Il sistema ha esattamente 3 soluzioni. C: Il sistema ha esattamente soluzione. D: Il sistema ha esattamente 5 soluzioni. E: Il sistema ha infinite soluzioni. 2. Se f(x) = e sinx allora f (x) = A: Non presente. B: sinxe sinx +cos 2 xe sinx. C: cos 2 xe sinx. D: e sinx. E: e sinx. 3. Il dominio della funzione log(t 2 ) log(+t) è A: (,e) (e,+ ). B: (,e ) (e,+ ). C: (, ) (,) (,+ ). D: Ê\{e }. E: Non presente. 4. La successione n3 sin( n )+2n+arctg n+5 4n 2 +9 A: Converge a /4. B: Converge a 0. C: Converge ad 5/9. D: Diverge. E: Tutte le altre affermazioni sono sbagliate. 5. Se f(x) = e sinx allora f (x) = A: Non presente. B: cosxe sinx. C: e sinx. D: e cosx. E: cos(e sinx ). 6. Quando x 0 la funzione e sinx A: è o(x 3 ). B: è o(x). C: è o(x 2 ). D: Non è o(x n ) per nessun n. E: Non è un infinitesimo. CODICE=400028

3 Parte B. Determinare dominio ed immagine della funzione f(t) = t 2 log( t 0 ). Si tracci un disegno atto a spiegare i risultati rigorosi ottenuti. CODICE=400028

4 2. Studiare il comportamento delle successioni 3n 2 +2n+cosn n 2 e cos(nπ)+πe n. In particolare determinare due sottosuccessioni convergenti della seconda ed i relativi limiti. CODICE=400028

6 PARTE A. Quando x 0 la funzione sin(e x ) sin A: Non è un infinitesimo. B: è o(x 2 ). C: è o(x). D: è o(x 3 ). E: è o(x α ) per ogni 0 < α <. 2. Se f(x) = sin(e x ) allora f (x) = A: sin(e x ). B: cos(x)e x sin(x)e x. C: Non presente. D: sin(e x )e 2x + cos(e x )e x. E: sin(e x ). 3. Si consideri il sistema di equazioni { (y x 2 ) log(2 x2 3 y2 2 ) = 0, (y 3) ( x2 3 + y2 2 ) = 0. A: Il sistema ha esattamente soluzione. B: Tutte le altre risposte sono sbagliate. C: Il sistema ha infinite soluzioni. D: Il sistema ha esattamente 2 soluzioni. E: Il sistema ha esattamente 3 soluzioni. 4. Se f(x) = sin(e x ) allora f (x) = A: cos(e x ). B: cos(e x ). C: cos(e x )e x. D: Non presente. E: e x cosx. 5. La successione n n sin( n ) A: Converge a 0. B: Diverge negativamente. C: Diverge positivamente. D: Tutte le altre affermazioni sono sbagliate. E: Converge ad. 6. Il dominio della funzione log(t 2 4) log(t 2 +2t 3) è A: (, 2) (,+ ). B: (,+ ). C: (2,+ ). D: Non presente. E: (, 3) (2,+ ). CODICE=733506

7 Parte B. Per un 0 < α a piacere si tracci un grafico qualitativo della funzione f(x) = ( x 2 ) 2 +αx. CODICE=733506

8 2. Si considerino le successioni a n = n 2, b n = n 4 e c n = (n 25) 2. Quali tra esse sono strettamente crescenti? Utilizzare la definizione di successione estratta per verificare se b n e c n sono successioni estratte di a n. CODICE=733506

10 PARTE A. 0 A: D: x6 dx = π 2 0 π 2 0 sin 6 t6sin 5 tcostdt. B:Duedellealtrerispostesonocorrette. C: sin 6 tdt. E: π 2 0 sin 6 tcostdt. π 2 0 cos6 t sintdt. 2. Quando x 0 la funzione e +x2 e A: Non è un infinitesimo. B: È o(x3 ). C: Nessuna delle altre risposte è vera. D: È o(x 2 ). E: È o(x). 3. 2xcos(+x 2 )dx = A: sin(+x 2 )+c. B: Tutte le altre risposte sono sbagliate. C: x 2 cos(+x 2 )+2xsin(+ x 2 )+c. D: x 2 sin(+x 2 )+c. E: x 2 cos(+x 2 )+c. 4. Quale tra i seguenti è l integrale generale di u (x)+2u (x) 35u(x) = cos(x)? A: Non presente. B: C e 5x + C 2 e 7x cosx sinx. C: C(e5x + e 7x ) cosx+ 650 sinx. D: C e 5x +C 2 e 7x. E: e 5x +e 7x cosx+ 650 sinx. 5. La serie n= n 2 ( cos( n 2 )) A: È a termini di segno alterno. B: Converge. C: Tutte le altre risposte sono sbagliate. D: È indeterminata. E: Diverge. 6. La serie ( ) n+ n= n A: Tutte le altre risposte sono sbagliate. B: Può solo convergere o divergere. C: Converge. D: È indeterminata. E: Diverge. CODICE=967346

11 Parte B. Calcolare 4 x2 +6x 8 dx 2 CODICE=967346

12 2. Studiare la serie n= (e + n 3 e). In particolare studiare il segno dei termini e spiegare come funziona il criterio scelto per mostrare il comportamento della serie. CODICE=967346

14 PARTE A. Quale tra le seguenti affermazioni è vera? A: Tutti i numeri irrazionali sono la radice di un numero primo come, per esempio, 2, 3 e 5. B: Tutti i numeri irrazionali sono pari. C: 9 è irrazionale. D: 2 è un numero 3 razionale. E: Il prodotto di numeri irrazionali è irrazionale. 2. Se f(x) = sinx allora f (x) = A: Non presente. B: 3. Quando x π 2 la funzione sinx cosx sin 2 x. C: cosx. D: cosx sin 2 x. E: sin 2 x +cosx. A: Non è un infinitesimo. B: è o((x π 2 )2 ). C: è o((x π 2 )3 ). D: Tutte le altre affermazioni sono sbagliate. E: è o(x π 2 ). 4. Il dominio della funzione f(x) = 5x x2 6 è: A: (,2) (3,+ ). B: [2,3]. C: n.p. D: (2,3) E: Ê\{2,3}. 5. Quale tra le seguenti funzioni è una primitiva di f(x) = A: (+2x)log(x+x 2 ). B: log x +x. C: logx log(+x). D: log(x+x 2 ). E: n.p. 6. Se f(x) = sinx allora f (x) = x+x 2? A: 2 sin 3 sinx. B: Non presente. C: x sinx. D: +cos2 x sin 3 x. E: sinx. 7. L immagine della funzione x+x 2 è A: [0,+ ). B: [ 4,+ ). C: (0,+ ). D: (,+ ). E: [ 4,+ ). 8. Si consideri lim. Quali tra le seguenti affermazioni è vera? x 0 x A: lim x 0 + x = + invece lim x 0 x =. B: Il limite non ha senso perchè il denominatore si annulla in 0. C: Il limite non esiste. D: Tutte le altre affermazioni sono sbagliate. E: Il limite è La serie n= e/n A: converge. B: ha somme parziali decrescenti. C: è indeterminata. D: Tutte le altre affermazioni sono sbagliate. E: diverge. CODICE=87998

15 Parte B. Tracciare un grafico qualitativo(il più dettagliato possibile) della funzione f(x) = 5x x 2 6. In particolare si spieghi con precisione l esistenza o non esistenza dei limiti nei punti di accumulazione del dominio. CODICE=87998

16 2. Calcolaretutte le primitive della funzione x 2 arctgx e discutere i possibili limiti per x e per x Studiare le serie n= log(+n 2 ), ( ) n log(+n 2 ). n= CODICE=87998

17 Testi dei compiti e dei compitini di Analisi Matematica I Corso di Laurea in Ingegneria Civile, Ambientale ed Edile A.A Cognome: Nome: Matricola: CODICE = 5804 A B C D E CODICE=5804

18 PARTE A. Se f(x) = log(cosx 2 ) allora f (x) = A: 4x sinx 2. B: sinx 2. 2tgx 2 4x 2 4x 2 tg 2 x Le soluzioni dell equazione x 4 = 0 sono: 2xsinx2 C: cos 2 x 2 2sinx2 4xcosx 2. D: Non presente. E: A: n.p.. B:,, i e i. C: e con molteplicità. D: i e i con molteplicità 2. E: e con molteplicità Il dominio della funzione log(cos x) è: A: (0,+ ). B: n.p. C: ( π 2, π 2 )+2kπ, k D: ( π 2, π 2 ). E: [ π 2, π 2 ]+2kπ, k. 4. Quale tra le seguenti affermazioni è vera? A: Tutte le radici quadrate di numeri interi sono irrazionali come, per esempio, 2, 3 e 5. B: Tra due diversi numeri reali c è sempre un numero intero. C: 3,4 è un numero razionale. D: I numeri primi sono irrazionali. E: L estremo superiore di un insieme di numeri reali è sempre irrazionale. 5. Si consideri lim. Quali tra le seguenti affermazioni è vera? x + log(+cos(arctg x)) A: Il limite è +. B: Il limite non esiste. C: Il limite è. D: Il limite è. E: Il limite non ha senso perchè il denominatore si annulla in Nello sviluppo di Taylor nel punto 0 della funzione f(x) = log(cosx 2 ) il primo coefficiente diverso da 0 A: è quello di x 4. B: La funzione non è un infinitesimo quindi il polinomio di Taylor inizia con una costante. C: Tutte le altre affermazioni sono sbagliate. D: è quello di x. E: è quello di x L integrale f(x) = + x 3dx? A: è uguale a. B: è o( x ). C: n.p. D: è divergente. E: è uguale a Se f(x) = log(cosx 2 ) allora f (x) = 2x A: cosx 2 2xsinx2. B: cosx 2. C: Non presente. D: cosx 2. E: 2xtgx2. 9. Si consideri la serie n=2 log(+ ( )n ). Quale tra le seguenti affermazioni è falsa? n A: è a termini di segno alterno. B: il termine generale è il logaritmo di un numero reale. C: ha termine generale infinitesimo. D: ha termini di segno costante. E: la successione delle somme parziali è convergente. CODICE=5804

19 Parte B. Tracciare un grafico qualitativo(il più dettagliato possibile) della funzione f(x) = log( x log x ). In particolare si spieghi con precisione l esistenza o non esistenza dei limiti nei punti di accumulazione del dominio. CODICE=5804

20 2. Calcolare tutte le primitive della funzione x +. x 3 5logx e poi calcolarne il limite per 3. Studiare le serie cos( n ), cos( n n ). n= n= CODICE=5804

22 PARTE A. Per quale valore di α si ha lim A: α = 2. 3 x 2 x 0 x α = log3? B: α = 2log3. C: α =. D: Nessuno dei valori proposti. E: α = La successione ( ) n n 2 A: diverge a +. B: ha un estratta che converge a 0. C: non ha limite. D: converge. E: diverge a.. 3. Se f(x) = 3 x2 allora f (x) = A: 3 x2. B: Non presente. C: log x2. D: x 2 (x 2 )3 x2 2. E: 2log3 3 x2 + 4log 2 3 x 2 3 x2. cos(arctg( x 4. Si consideri lim ) x). Quali tra le seguenti affermazioni è vera? x 0 + x A: Il limite è +. B: Il limite non ha senso perchè il denominatore si annulla in 0. C: Il limite è 2. D: Il limite è.. E: Il limite non esiste Quale tra le seguenti affermazioni è vera? A: Un sottoinsieme limitato dei numeri naturali ammette massimo e minimo. B: I numeri naturali hanno un massimo. C: Ogni numero naturale è divisibile per 2 (pari) oppure per 3 (dispari). D: Un numero è dispari se e solo se è divisibile per. E: I numeri naturali non hanno minimo. 6. Il dominio della funzione log( arctgx π 4 ) è: A: < x. B: x <. C: (,+ ). D: π 4 < x < π. E: n.p L integrale f(x) = x dx? A: è uguale a log3.. B: è uguale a. C: è divergente. D: n.p. E: è uguale a log3 log3. 8. La serie cos( π 2 n ) n= A: è indeterminata. B: diverge. C: è a termini di segno alterno. D: converge. E: ha somme parziali decrescenti. 9. Se f(x) = 3 x2 allora f (x) = A: Non presente. B: 3 x2. C: x 2 3 x2. D: 2log3 x3 x2. E: log3 3 x2. CODICE=535

23 Parte B. Tracciareungraficoqualitativo(ilpiùdettagliatopossibile)dellafunzionef(x) = ( x )x 2. In particolare si studi la derivabilità della funzione. La funzione è limitata dall alto e/o dal basso? CODICE=535

24 2. Calcolare tutte le primitive della funzione punto π 4. sin 2 xcos 2 x e poi sceglierne una che valga nel 3. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale u (x) u (x)+u (x) u(x) = cosx. Scegliere tra le soluzioni quelle che sono limitate. CODICE=535

26 PARTE A. Se f(x) = π x2 allora f (x) = A: 2x π x2. B: logπ x π x 2. C: 2logπ x π x2. D: Non presente. E: π x2. cos( π 2 2. Si consideri lim log(+x)). Quali tra le seguenti affermazioni è vera? x 0 x A: Il limite è 2. B: Il limite è. C: Il limite è π. D: Il limite non ha senso perchè il 2 denominatore si annulla in 0. E: Il limite non esiste. 3. Quale tra le seguenti affermazioni è vera? A: il massimo dell insieme dei numeri razionali strettamente più piccoli di è irrazionale. B: l insieme dei numeri razionali strettamente più piccoli di non ha un massimo ed il suo minimo è 0. C: l insieme dei numeri razionali strettamente più piccoli di non ha un massimo. D: il massimo dell insieme dei numeri razionali strettamente più piccoli di è un numero razionale strettamente più piccolo di. E: il massimo dell insieme dei numeri razionali strettamente più piccoli di è. 4. Il dominio della funzione log(log(max{, x })) è: A: (, ] [,+ ). B: (,+ ). C: (, ) (,+ ). D: n.p. E: [,+ ). 5. Per x 0, π x2 A: è o(x 3 ). B: è o(x 2 ). C: non è infinitesima. D: tutte le altre affermazioni sono false. E: è O(x 2 ). 6. Se f(x) = π x2 allora f (x) = A:Nonpresente. B:4log 2 π π x2. C:4x 2 (x 2 ) π x2 2. D: π x 2. E:logπ π x2 + log 2 π x 2 π x (arctg(x)+arctg( ))dx =? x A:.. B: n.p. C: + D: 0. E: π La successione (n+3)! 3 n A: converge a. B: tutte le altre affermazioni sono sbagliate. C: diverge a +. D: converge a 0. E: converge a La serie n=2 A: converge. (logn) n B: diverge. C: è indeterminata. D: ha somme parziali decrescenti. E: è a termini di segno alterno. CODICE=4967

27 Parte B. Tracciareun graficoqualitativo (il più dettagliato possibile) della funzione f(x) = ( x ) 3. In particolare si studi la derivabilità della funzione. La funzione è limitata dall alto e/o dal basso? CODICE=4967

28 2. Calcolare l integrale indefinito xcos(logx) dx. 3. Studiare per quali valori di 0 < x e 0 < α converge la serie n= n α x n CODICE=4967