Esercizi. Esercizi [101] [102] 1) Rappresentare sull asse x l insieme dei punti la cui a- scissa x soddisfa la condizione x < 5.

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1 Limiti di successioni [] Valore assoluto [] La tabella qui sotto riporta, nella prima colonna, alcune successioni. Per ciascuna successione occorre indicare, contrassegnando la casella corrispondente, se si tratta di una successione convergente, divergente o indeterminata. Scrivere nell ultima colonna il valore del ite (se la successione considerata ammette ite). Succes- conver- diver- indeter- ite (se sione gente gente minata esiste) n 3n n 3n ) Rappresentare sull asse x l insieme dei punti la cui a- scissa x soddisfa la condizione x < 5. ) Rappresentare sull asse x l insieme dei punti la cui a- scissa x soddisfa la condizione x < 9. 3) Rappresentare sul piano cartesiano il luogo dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano la condizione x < 3. 4) Rappresentare sul piano cartesiano il luogo dei punti le cui coordinate (x, y) soddisfano la condizione x = y. 5) Indichiamo con t, come di consueto, la radice quadrata del numero reale t. In altri termini, il simbolo t rappresenta quell unico numero reale non negativo il cui quadrato è uguale a t. Determinare tutti i numeri reali x tali che x = x. ( ) n ( ) n

2 Limiti di success. () [3] Limiti di success. (3) [4] La tabella qui sotto riporta, nella prima colonna, alcune successioni. Per ciascuna successione occorre indicare, contrassegnando la casella corrispondente, se si tratta di una successione convergente, divergente o indeterminata. Scrivere nell ultima colonna il valore del ite (se la successione considerata ammette ite). Successione conver- diver- indeter- ite (se gente gente minata esiste) n ( ) n n + n 3 7n ( ) n n n 3 n +3n n Suggerimento: sfruttare l uguaglianza n +3n n = ( n +3n n ) n +3n+n n +3n+n La tabella qui sotto riporta, nella prima colonna, alcune successioni. Per ciascuna successione occorre indicare, contrassegnando la casella corrispondente, se si tratta di una successione convergente, divergente o indeterminata. Scrivere nell ultima colonna il valore del ite (se la successione considerata ammette ite). Successione conver- diver- indeter- ite (se gente gente minata esiste) n n n [n] (parte intera di n) [ n +( ) n n 3 +n ] ( + n) n+7 ( n) n Suggerimento: si indichi con la lettera e il ite della successione (+ n )n, che esiste ed è finito (numero di Nepero). Posto k = n, si noti che n =. + k

3 Sommatorie [5] Coefficienti binomiali [6] ) Posto n = 3, calcolare le seguenti sommatorie: n k ) Indichiamo con n ed m due interi positivi tali che n < m. Siano a,...,a m e b,...,b n numeri reali qualunque. Stabilire quali delle seguenti uguaglianze sono verificate. (a) (b) (c) (d) a k + k= a k + k= b k = k= m k=n+ n a k = k= a k = k= k= a k = a k+ (a k +b k ) k= a n k+ m k= a k ) Stabilire per quali numeri naturali n l espressione (+ x) n rappresenta un polinomio nell indeterminata x. ) Usando la formula di Newton ( ), scrivere lo sviluppo di (+x). 3) Sfruttando l uguaglianza ( ) n n! = k k!(n k)!, che vale per ogni n N ed ogni k {,...,n}, svolgere i seguenti esercizi. (a) Stabilire per quali numeri naturali n e k sussiste l uguaglianza ( ) ( ) n n =. k n k (b) Stabilire per quali numeri naturali n sussiste l uguaglianza ( ) n ( ) n a n k b k = a k b n k. k k (c) Calcolare numericamente ( ). ( ) La formula era già nota agli Arabi nel Duecento: v. Kline, Storia del pensiero matematico, Einaudi, cap. XIII, par. 6, pag. 38.

4 Induzione matematica [7] Serie [8] ) Verificare per induzione che: (a) (b) (c) k= k= k = n(n+) per n. k = n(n+)(n+) 6 q k = qn+ q per n. per n. La lettera q denota una qualunque costante reale diversa da. ) Verificare ( ) che n (k ) = n per n. k= (a)conti, Ferrario, Terracini, Verzini, Analisi matematica, vol., Apogeo Education - Maggioli Editore, pag. 7 (b) ibidem, esercizio, pag. 5 (c) ibidem, esercizio, pag. 5 ( ) ibidem, esempio (I.3), pag. 3. ) Calcolare 9 k. ) Trovare due numeri reali a,b tali che per ogni n N ed ogni x R\{} si abbia x k = a+bxn+ x 3) Scrivere la definizione di somma di una serie. 4) Stabilire se la serie + k è convergente, ed in caso affermativo calcolarne la somma. 5) Trovare le prime quattro cifre decimali del numero x = + k. 6) Diciamo che una serie + a k è indeterminata se il li- mite a k non esiste. Costruire un esempio di n + serie indeterminata. 7) Dimostrare che condizione necessaria per la convergenza di una serie + a k è che a n =. n + Suggerimento: osservare che a n = n. a k n a k.

5 Criteri di convergenza [9] Dominio e potenze [] ) Stabilire il carattere delle seguenti serie: ; + k k= 7k. ) Indicato con x un parametro reale, stabilire il carattere (che dipenderà, in generale, dal valore di x) delle seguenti serie: + x k + k! ; x k ; + + x k+ k + ; ( ) k x k+ + (k +)! ; + k= ( ) k xk (k)!. x k k ; 3) Per ciascuna delle serie dell esercizio precedente, scrivere la somma dei primi due termini. ) Trovare il dominio delle seguenti funzioni: f (x) = 3x; f (x) = 4x 5; f 3 (x) = x ; f 4 (x) = x 3 ; f 5 (x) = /x; f 6 (x) = x ; f 7 (x) = x 3 ; f 8 (x) = x; f 9 (x) = x+3; f (x) = x 5; f (x) = x ; f (x) = x ; f 3 (x) = x+7 ; f 4(x) = x +3 ; f 5(x) = x 9. ) Fra le funzioni dell esercizio precedente, individuare quelle pari e quelle dispari. 3) Disegnare il grafico delle funzioni f (x) e f (x) dell esercizio. 4) Segnare sul piano cartesiano i punti di coordinate (x k, f 3 (x k )) con x k = k/4 per k =,...,4. 5) Segnare sul piano cartesiano i punti di coordinate (x k, f 4 (x k )) con x k = k/4 per k =,...,4.

6 Esponenz. e logaritmi [] Trigonometria [3] ) Determinare tutti i numeri reali x tali che x >. ) Determinare tutti i numeri reali x tali che x >. 3) Determinare tutti i numeri reali x tali che x >. 4) Determinare tutti i numeri reali x tali che log x >. 5) Determinare tutti i numeri reali x tali che log x <. 6) Determinare tutti i numeri reali x tali che x. 7) Determinare tutti i numeri reali x tali che log x >. 8) Determinare tutti i numeri reali x tali che log x >. 9) Determinare il dominio e tracciare il grafico della funzione y(x) = x+ log x. ) Trovare il dominio delle funzioni senx, cosx e tgx. ) Stabilire se le funzioni dell esercizio precedente sono pari o dispari. 3) Stabilire se le funzioni dell esercizio sono periodiche, ed in caso affermativo determinarne il periodo. 4) Trovare tutti i valori reali della variabile x tali che sen x+cos x =. 5) Trovare tutti i valori reali della variabile x tali che senx cosx = tgx. 6) Determinare il valore di senx, cosx e tgx per x =, π 6, π 4, π 3, π. Determinare altresì il valore di sen π e di cos π. ) Determinare il dominio e tracciare il grafico della funzione y(x) = log x. ) Determinare il lato di un triangolo equilatero sapendo che l altezza misura 3 m (suggerimento: usare il teorema di Pitagora). ) Rappresentare sul piano cartesiano il luogo dei punti le cui coordinate (x,y) soddisfano la condizione x + y < 4 (suggerimento: usare il teorema di Pitagora).

7 Limiti di funzioni [4] Limiti di funzioni () [5] ) Indicato con ε un numero reale positivo arbitrario, stabilire se esiste un numero reale a tale che per ogni x > a risulti x ( ε,ε). ) Indicata con [x] la parte intera del numero reale x (cioè il più grande intero z tale che z x), stabilire per quali numeri reali x sussiste la disuguaglianza 3) Trovare il ite x + x. [x] x. 4) (Fuocodellaparabola)Trovareunnumerorealey > in modo tale che ogni punto P del grafico della funzione y = x disti dal punto (,y ) tanto quanto P stesso dista dalla retta di equazione y = y. Trovare i seguenti iti: ) x 5 x x 3 ) x 4 x+5 3) x 4) senx x π 5) e senx x π x x +

8 Continuità di log y o [6] Limiti notevoli [7] Indichiamo con g(y) = logy il logaritmo naturale di y, detto anche logaritmo neperiano ed indicato con ln y. Sapendochelafunzioneesponenzialef(x) = e x èstrettamente crescente, e continua in ciascun punto x R, verificare che g(y) è continua in ogni punto y >. Trovare i seguenti iti: ) x + e x senx ) x cosx sen x 3) x + 4) x e x cosx logcosx e x +e x (suggerimento: moltiplicare per +cosx +cosx ) (suggerimento: posto h = (cosx), moltiplicare per h h ) Strategia n. : fissato ε >, determinare r > tale che per ogni y (y r, y +r) risulti logy logy < ε (conviene togliere il valore assoluto e scrivere ε = loge ε ). Strategia n. : per la completezza dell insieme R dei numeri reali, la funzione strettamente crescente g(y) ammette ite y y logy = l logy. Se, per assurdo, fosse l < logy, prenderemmo un x (l, logy ) e, posto y = e x, avremmo logy > l e y < y. Ma questo non è possibile perché per y (y,y ) si ha logy...

9 Def. della derivata [3] Regole di derivazione [3] ) Applicando la definizione, trovare, se esiste, la derivata delle seguenti funzioni nel punto x =. (a) La funzione costante y = 3; (b) 6x; (c) mx+q, dove m e q sono due costanti; (d) x ; (e) senx; (f) cosx; (g) e x ; (h) log(x+); (i) x; (j) x+. ) Per ciascuna delle funzioni dell esercizio precedente, trovare, se esiste, l equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa x =. Stabilire in quali punti le seguenti funzioni sono derivabili, e scrivere le loro derivate: ) x; ) x +x ; 3) x 3 senx; 4) x cosx; 5) tgx; 6) x; 7) x ; 8) sen x; 9) cos x; ) senx ; ) cosx ; ) e x ; 3) log x+. 3 x

10 Punti stazionari [33] Teorema di Lagrange [34] ) Trovare gli eventuali punti stazionari, detti anche punti critici, delle seguenti funzioni: x; x +x ; tgx; x; x ; sen x; cos x; e x ; log x+ ; arcsen x; arccos x; arctg x. 3 x ) Trovare gli eventuali punti di massimo, e gli eventuali punti di minimo delle seguenti funzioni: x ; x 3 ; x; 33 x; ) Trovare il più grande intervallo aperto in cui la funzionef(x) = x logxècrescente, eilpiùgrandeintervallo aperto in cui f è decrescente. ) Trovare gli eventuali punti di massimo, e gli eventuali punti di minimo della funzione f dell esercizio. 3) Trovare una funzione derivabile g che assume almeno due valori distinti e tale che g (x) = per ogni x (,) (,+ ). 4) Trovare, se esiste, una funzione derivabile h che assuma tre o più valori a due a due distinti e tale che h (x) = per ogni x (,) (,+ ). x ; sen x; cos x; tg x; e x ; logx; arcsen x; arccos x; arctg x.

11 Regola di de l Hôpital [35] Studi di funzione [36] ) Calcolare i seguenti iti: x ± x + e x x x +x logx e x +senx x 3 x + x + e x x logx x log(+x senx) x cosx ) Dimostrare o confutare la seguente affermazione: se f e g sono due funzioni derivabili tali che il ite x + f(x) g(x) ) Tracciare il grafico delle seguenti funzioni: f(x) = e x g(x) = x x h(x) = +x ) Dimostrare o confutare la seguente affermazione: se una funzione f: R R è dispari, e la derivata seconda f (x) esiste per ogni x R, è positiva per ogni x > ed è continua nel punto x =, allora tale punto è un punto di flesso per f. esiste, allora anche il ite x + f (x) g (x) esiste, e i due iti hanno lo stesso valore.

12 Serie di Taylor [37] Integrabilità [38] Se f: (a,b) R è una funzione dotata delle derivate di tutti gli ordini, la serie + f (k) (x ) k! (x x ) k si dice serie di Taylor associata alla funzione f con punto base x (a,b). ) Scrivere la serie di Taylor associata alla funzione f(x) = e x con punto base x =. ) Trovare la somma di tale serie (suggerimento: usare la formula di Taylor con il resto di Lagrange). Stabilire se le seguenti funzioni sono integrabili secondo Riemann sull intervallo [, ], ed in caso affermativo calcolarne l integrale:, se x = ; f(x) =, se x., se x > ; g(x) =, se x = ;, se x <., se x = ; h(x) = /x, se x.

13 Proprietà dell integr. [39] Teorema fondament. [3] Utilizzando la monotonia dell integrale, stabilire quali delle seguenti disuguaglianze sono corrette: 3 e π e x dx < 3 logx dx > 3 5 senx x dx < ) Trovare una primitiva delle seguenti funzioni: (a) la funzione costante f(x) = ; (b) la funzione costante g(x) = 3; (c) la funzione h(x) = x; (d) x ; (e) /x; (f) / x; (g) e x ; (h) senx; (i) cosx; (j) cosx (suggerimento: usare la regola di derivazione della funzione composta); (k) cos x (suggerimento: usare le formule di duplicazione). ) Calcolare i seguenti integrali: π dx; x dx; senxdx; 43 7 π/ 3dx; x dx; cosxdx; 9 4 π/ π/ xdx. x dx; cos xdx. 3) Trovare (se esiste) un numero reale a tale che a e x dx =. 4) Stabilire se è ben definito l integrale dx nel senso di Riemann, ed in caso affermativo determinarne il x valore numerico. ( ε 5) Calcolare il ite ε + x dx+ ) ε/e x dx, dove con la lettera e si indica il numero di Nepero.

14 Integraz. per sostituz. [3] Integrazione per parti [3] ) Fra tutte le funzioni f: ( r,r) R, dispari e integrabili secondo Riemann sull intervallo ( r, r), r >, stabilire quali soddisfano l uguaglianza r r f(x)dx = (suggerimento: effettuare la sostituzione x = t). ) Stabilire se il seguente integrale è ben definito nel senso di Riemann, ed in caso affermativo calcolarne il valore numerico: 3 4 3) Calcolare i seguenti integrali: 4 3 x+7 dx; 3 x x+ dx; x+7 dx e x/3 dx; 3+x dx; Calcolare i seguenti integrali: π xe x dx; π π senxcosxdx; x e x dx; x senxdx; π π π e logxdx; e x senxdx; arctgxdx; sennxcoskxdx con n,k N. /3 /3 7+π 3x dx; cos(x+7)dx. 7 π 4) Calcolare l area del semicerchio Ω individuato nel piano xy dalle seguenti disuguaglianze: x +y, y.