Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [TEST 1]

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1 Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [TEST 1] 1. Esporre le principali caratteristiche della funzione logaritmica dopo averla denita. y = log a x 2. Spiegare come si calcola il dominio di una funzione razionale del tipo y = f(x) g(x) nel caso in cui f, g non hanno limitazioni ovvero hanno come dominio rispettivamente D f R D g ; nel caso in cui f, g hanno delle limitazioni ovvero non hanno come dominio l'insieme dei numeri reali (D f R, D g R). Determinare il dominio della funzione y = x4 + x x 1 1

2 3. Spiegare come si studia il segno di una funzione (incluse le intersezioni con gli assi coordinati) e riconoscere quali delle seguenti funzioni sono non negative su tutto il proprio dominio y = e x2 y = x x+1 y = (x + 1) x2 y = e x2 e x Giusticare le risposte date. Valutazione esercizi: 1.: punti 2; 2., 3.: punti 3,5. 2

3 Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [TEST 2] 1. Esporre le principali caratteristiche della funzione esponenziale y = a x dopo averla denita. 2. Spiegare come si calcola il dominio di una funzione irrazionale del tipo con n pari o dispari y = n f(x) nel caso in cui f non ha limitazioni ovvero ha D f dominio; R come nel caso in cui f ha delle limitazioni ovvero non ha come dominio l'insieme dei numeri reali (D f R). Determinare il dominio della funzione y = x 2 + 2x 3

4 3. Spiegare come si studia il segno di una funzione (incluse le intersezioni con gli assi coordinati) e riconoscere quali delle seguenti funzioni sono di segno qualunque (variabile) sul proprio dominio y = ln(x 2 ) y = x y = e 5x+1 y = x 3 Giusticare le risposte date. Valutazione esercizi: 1.: punti 2; 2., 3.: punti 3,5. 4

5 Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [TEST 3] 1. Che cos'è e come si calcola il dominio D di una funzione reale di una variabile reale y = f(x)? Fare l'esempio di una funzione avente tutto l'insieme R come dominio e di una che ne ha un suo sottoinsieme. 2. Spiegare come si calcola il dominio di una funzione logaritmica del tipo y = log a [f(x)] nel caso in cui f non ha limitazioni ovvero ha D f dominio; R come nel caso in cui f ha delle limitazioni ovvero non ha come dominio l'insieme dei numeri reali (D f R). Determinare il dominio della funzione y = ln(5x + 4) 5

6 3. Spiegare come si studia il segno di una funzione (incluse le intersezioni con gli assi coordinati) e determinare le intersezioni con gli assi delle seguenti funzioni: y = e x2 ; y = x2 1 ; cos(x)+1 y = 3 x 2 7x + 10; y = ln(2x + 3). Giusticare le risposte date. Valutazione esercizi: 1.: punti 2; 2., 3.: punti 3,5. 6

7 Soluzione degli esercizi Presentiamo qui di seguito la soluzione degli esercizi proposti omettendo le denizioni. Utilizziamo una delle notazioni R, (, + ) per indicare l'insieme dei numeri reali: R = (, + ). Parte I Correzione TEST [1] 1. La funzione logaritmica y = log a x è una funzione che, per ogni x (0, + ), associa il logaritmo in base a di x, a (0, 1) (1, + ). Essa è l'inversa della funzione esponenziale y = a x essendo, d'altra parte, log a (α) la soluzione dell'equazione esponenziale a x = α. Altre caratteristiche di funzioni del tipo y = log a x sono il passaggio per il punto (1,0); il fatto di essere strettamente decrescente per 0 < a < 1, strettamente crescente per a > 1; log a x < 0 per 0 < x < 1; log a x > 0 per x > Indichiamo con {g(x) 0} l'insieme {x R : g(x) 0} e con D il dominio della funzione razionale. Nel caso in cui f, g non hanno limitazioni ovvero hanno come dominio rispettivamente D f R D g, si ha che D = {g(x) 0} Nel caso in cui f, g hanno delle limitazioni ovvero non hanno come dominio l'insieme dei numeri reali (D f R, D g R), si ha: D = D f D g {g(x) 0}. Determiniamo, adesso, il dominio D della funzione y = x4 + x x 1 che una funzione algebrica razionale fratta per cui numeratore e denominatore non hanno limitazioni. 7

8 Per la determinazione di D è suciente imporre cosicché D = (, 1) (1, + ). x 1 0 = x 1 3. Lo studio del segno di una funzione y = f(x) di dominio D consiste nel determinare gli intervlli in cui essa è positiva, negativa o nulla compatibilmente col dominio. L'equazione f(x) = 0 permette di determinare i valori di x per cui y = 0 (intersezioni con l'asse delle x). Risolvendo la disequazione f(x) > 0 si ottiene l'insieme S + = S D in cui la funzione è positiva (S è l'insieme delle soluzioni della disequazione) e, di conseguenza, l'insieme S su cui la funzione è negativa: S = C D (S + ) avendo utilizzato la notazione C A (X) per indicare il complementare dell'insieme A in X. L'interzezione con l'asse delle ordinte è costituita dal punto (0, f(0)) se 0 D. Tra le funzioni y = e x2 ; y = x ; x+1 y = (x + 1) x2 ; y = e x2 e x, sono non negative y = (x + 1) x2 in quanto il suo dominio è costituito dalle soluzioni della disquazione x + 1 > 0 e dal punto x = 0 essendo y(0) = 1 ed y = e x2 e x poichè, nello studio di funzioni, si estraggono radici aritmetiche (con segno non negativo). 8

9 Parte II Correzione TEST [2] 1. La funzione esponenziale y = a x è una funzione che, ad ogni x R associa un sol valore y dato dalla potenza a x con a (0, 1) (1, + ) per cui y > 0 x R. Altre caratteristiche delle funzioni esponenziali sono il passaggio per il punto (0,1); il fatto di essere strettamente decrescente per 0 < a < 1, strettamente crescente per a > Il dominio D di una funzione irrazionale del tipo si determina come segue: y = n f(x) nel caso in cui f non ha limitazioni ovvero ha D f R si ha che D = R se n è dispari; D = {f(x) 0} = {x R : f(x) 0} se n è pari; nel caso in cui f ha delle limitazioni ovvero non ha come dominio l'insieme dei numeri reali (D f R) si ha che D = D f se n è dispari; D = {f(x) 0} D f se n è pari. Il dominio D della funzione y = x 2 + 2x coincide con l'insieme delle soluzioni della disquazione per cui D = (, 2) (0, + ). x 2 + 2x 0 = x 2 x 0 3. La discussione dello del segno e delle intersezioni con gli assi di una funzione è la stessa fatta al punto 3 della Parte I. Tra le funzioni y = ln(x 2 ); 9

10 y = x ; y = e 5x+1 ; y = x 3, la prima e la quarta sono di segno qualunque mentre le altre due sono di segno positivo su tutto il proprio dominio. 10

11 Parte III Correzione TEST [3] 1. Il dominio di una funzione reale di una variabile reale y = f(x) èl'insieme dei valori che può assumere la variabile indipentente x. Esso è detto anche insieme di denizione o di esistenza delle funzione in quanto la y è denita solo per tali valori della x. Pertanto, il dominio di una funzione coincide con l'insieme dei valori della varibile indipendente che rendono possibili sui reali le operazioni che deniscono la f; ciò spiega anghe il procedimento da seguire per determinarlo. Un fuzione avente come dominio tutto l'insieme R è, ad esempio, una funzione polinomiale intera come y = x 2 + 6x + 9 mentre una che ne ha un suo sottoinsieme in senso stretto è, ad esempio, y = x il cui dominio è D = [0, + ). 2. Sia D f il dominio di f(x). Allora il dominio D di una funzione logaritmica del tipo y = log a [f(x)] è dato da D = x R : f(x) > 0 nel caso in cui f non ha limitazioni D f R; D = D f x R : f(x) > 0 nel caso in cui f ha delle limitazioni ovvero D f R. Il dominio della funzione y = ln(5x + 4) coincide con le soluzioni della disequazione 5x + 4 > 0 = x > 4/5 per cui D = ( 4/5, + ). 3. La discussione dello studio del segno e delle intersezioni con gli assi di una funzione è la stessa fatta al punto 3 della Parte I. L'intersezione con l'asse delle y, della funzione y = e x2, è data dal punto P (0, e 0 ) ovvero da P (0, 1); le intersezioni con l'asse delle ascisse hanno ordinata nulla ed ascissa data dalle soluzioni dell'equazione esponziale e x2 = 0. Poiché quest'ultima non ammette soluzione, la funzione non interseca l'asse delle x. La funzione y = x2 1 interseca l'asse delle ordinate nel punto cos(x)+1 P (0, y(0)) ovvero in P (0, 1/2) essendo y(0) = 1. cos(0)+1 Le intersezioni con l'asse delle x sono le soluzioni del sistema { { y = x2 1 x 2 1 cos(x)+1 = = 0 { cos(x)+1 x y = 0 y = 0 = 2 1 = 0 y = 0 11

12 e, in denitiva, { x = ±1 y = 0 ovvero sono costituite dai punti P 1 ( 1, 0) e P 2 (1, 0). Rigurda alla funzione y = 3 x 2 7x + 10, per x = 0 si ha y = 3 10 cosicché essa interseca l'asse delle y nel punto P (0, 3 10). Per y = 0 si ha 3 x2 7x + 10 = 0 x 2 7x + 10 = 0 x = 2 x = 5 cossichè la funzione interseca l'asse delle x nei punti P 1 (2, 0) e P 2 (5, 0). Per quanto concerne la funzione y = ln(2x + 3) si ha, per x = 0, y = ln(3) per cui il punto P (0, ln(3)) costituisce l'intersezione con l'asse delle ordinate. Per y = 0, si ha ln(2x + 3) = 0 che è equivalente all'equazione 2x + 3 = 1 avente come soluzione x = 1 per cui la funzione interseca l'asse delle ascisse nel punto Q( 1, 0). 12