Potenze, radici, esponenziali e logaritmi

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1 Potenze, radici, esponenziali e logaritmi Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 1 Potenze con esponente pari o dispari = 3 = Caso n pari: = biiettiva nell intervallo [0, [ Caso n dispari: = per < per < biiettiva nell intervallo [-, [ Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 2 1

2 Proprietà potenze x 1 = x x 0 = 1 (purché x 0) 0 n = 0 (purché n 0) 1 n = 1 Prodotto di potenze : x m x n = x m+n es. x 2 x3 = x 2+3 = x 5 Quoziente di potenze : x m / x n = x m-n es. x 5 /x 2 = x 5-2 = x 3 Potenza con esponente negativo : x -n = 1 / x n es. x -2 = 1/x 2 Potenza di un prodotto : (x y) n = x n y n es. (x y) 3 = x 3 y 3 Potenza di un quoziente : (x / y) n = x n / y n es. (x/y) 3 = x 3 / y 3 Potenza di potenza : (x m ) n = x m n es. (x 2 ) 3 = x 2 3 = x 6 Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 3 La funzione radice n-esima La funzione = è una applicazione biiettiva nell intervallo [0, [ Quindi f(x) nell intervallo considerato è invertibile e la funzione inversa è: = La funzione inversa di una funzione strettamente crescente è anch essa strettamente crescente f(x) crescente f -1 (x) crescente Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 4 2

3 Modelli di crescita di popolazioni Si supponga che una popolazione batterica sia costituita, in un certo istante che consideriamo iniziale, da y 0 batteri. In un certo intervallo di tempo T la popolazione batterica raddoppia, cosicché dopo l intervallo T la popolazione sarà formata da 2y 0 batteri. Dopo un altro intervallo T la popolazione raddoppierà nuovamente, e così via. Indicando con t il tempo e con y(t) la popolazione, si avrà: t y(t) 0 y 0 T 2y 0 2T 4y 0 La legge di crescita della popolazione batterica dell esempio è una legge esponenziale: = / 3T 8y 0 Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 5 Confronto potenze - esponenziali = = La funzione = è una potenza (x è la base) = 0 = 0 La funzione = è un esponenziale (x è l esponente) = 0 = 1 Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 6 3

4 Esponenziali con base > 1 e con base tra 0 e 1 La funzione con base a>0 = è biiettiva di R su R + (0<a<1) (a>1) Se la base a > 1 f(x) è strettamente crescente Se la base 0 < a < 1 f(x) è strettamente decrescente Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 7 Proprietà degli esponenziali (a > 0) Prodotto di esponenziali : = () es. 2 x 2 y = 2 x+y Quoziente di esponenziali : = () es. 3 x /3 y = 3 (x-y) Esponenziale con esponente negativo : = es. 5 -x = 1/5 x Esponenziale di un prodotto : (a b) x = a x b x es. (2 3) x = 2 x 3 x Esponenziale di un quoziente : (a / b) x = a x / b x es. (2/3) x = 2 x / 3 x Esponenziale di esponenziale : (a x ) y = a x y es. (3 x ) y = 3 x y Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 8 4

5 Equazioni esponenziali elementari Indicati con a e b due numeri reali, l equazione esponenziale elementare ha la forma: = La risoluzione consiste nel trasformare il secondo membro b in una potenza della base a per poi trasformare l uguaglianza tra potenze in uguaglianza tra esponenti. Es. 2 = 1 2 = 2 = 0 5 = 5 = 5 = 2 4 = 8 2 = 2 2 = 3 = 3 = 9 3 = 9 3 = 3 = 2 = 5 per risolverla è necessario il logaritmo: = log 5 La soluzione di una equazione esponenziale elementare esiste ed è unica se e solo se sono verificate le tre condizioni: a > 0, a 1 e b > 0 Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 9 Equazioni esponenziali particolari 2 = 4 2 = = 2( + 1) = 3 = = = 2 = 1 5 Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 10 5

6 Logaritmo Dati due numeri positivi a e b (con a 1), si definisce logaritmo in base a dell argomento y l esponente da attribuire alla base a per ottenere y: log 8 = 3 2 = 8 = se e solo se = log, 2 = 1 0,5 = 2 infatti 0,5 =, = = 2, log = 2 3 = infatti 3 = = Il logaritmo in base a dell argomento y esiste se e solo se sono verificate le tre condizioni: a > 0, a 1 e y > 0 Il logaritmo di un numero negativo non esiste nell insieme dei numeri reali. = Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 11 Grafici di logaritmo log (a>1) La funzione = log con base a>0 é biiettiva di R + su R Se la base a > 1 f(x) è strettamente crescente log (0<a<1) Se la base 0 < a < 1 f(x) è strettamente decrescente Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 12 6

7 Logaritmo come inverso dell esponenziale = = caso a > 1 y=2 x y=x y=log 2 x La funzione con base a>0 = log é biiettiva di R + su R Quindi è invertibile e la sua inversa è = Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 13 Logaritmo come inverso dell esponenziale caso 0 < a < 1 = = y=0,5 x y=x y=log 0,5 x Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 14 7

8 Proprietà dei logaritmi (a > 0) = in quanto = = in quanto = = Logaritmo di un prodotto : = + Logaritmo di un quoziente : = Logaritmo di una potenza : = Logaritmo di una radice : ( ) = combinando le ultime due proprietà: ( ) = Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 15 Passaggio dalla base aalla base b: Si ha: log = 1 log Cambiamento di base = log = log Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 16 8

9 Logaritmo in base e base e = 2,71828 (numero di Nepero) = Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 17 Equazioni logaritmiche In un equazione logaritmica l incognita compare nell argomento del logaritmo. Poiché la risoluzione avviene nell insieme dei numeri reali, occorre ricordarsi che si devono sempre porre le condizioni di esistenza per tutti i logaritmi. Es. log 2 x=0 C.E. x>0 log 2 x=log 2 1 x=1 (è rispettata la C.E.) Es. ln(x+1)=3 C.E. x+1>0 x>-1 ln(x+1)=ln e 3 x=e 3-1 >-1 (è rispettata la C.E.) Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 18 9

10 Legge del decadimento radioattivo Si abbia un numero iniziale n 0 di nuclei instabili. Il loro numero diminuisce nel tempo con legge esponenziale negativa con tempo di dimezzamento T (tempo dopo il quale rimangono metà dei nuclei instabili) che dipende dalla sostanza. =,, = n(t) n 0 n 0 /2 n 0 /4 n 0 /8 T Cobalto 60 T = 5,5 anni Esempi tempi dimezzamento (T1/2) Carbonio 14 T = 5700 anni Cobalto 60 T=5,5 anni Uranio 238 T = 4,5 miliardi di anni Carbonio 14 T=5700 anni Uranio 238 T=4,5 miliardi di anni 2T 3T 4T Paolo Montanari Appunti di Matematica Esponenziali e logaritmi 19 t 10