L analisi media-varianza

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1 L analisi media-varianza Pierpaolo Montana Università di Roma I Consideriamo un agente con preferenze di tipo VNM e funzione di utilità quadratica u(x) = x b x. La corrispondente espressione dell utilità attesa è dunque E (u(x)) = E(x b x ), b > 0 Consideriamo una variabile aleatoria x continua di densitá di probabilità p(x) e calcoliamone l utilità attesa E(x b x ) = applichiamo la linearità dell integrale (x b x )p(x)dx Ricordiamo e = xp(x)dx b xp(x)dx = E ( x) x p(x)dx = x p(x)dx = (x E( x)) + [(x E( x)) + E( x)] p(x)dx (x E( x)) E( x) + = E (x E( x)) + E ((x E( x)) E( x)) + E ( E( x) ) E( x) = V ar ( x) + E (( x))

2 cosicché l equazione?? diventa E (u(x)) = E ( x) b V ar ( x) + (E( x)) Se indichiamo con µ = E ( x) e con σ = V ar ( x) abbiamo la forma finale E (u(x)) = µ b σ + µ ovvero una funzione che dipende solamente dai parametri media e varianza della distribuzione di x. Consideriamo ora un agente con delle preferenze di tipo VNM, con funzione di utilità u(x) qualsiasi. Consideriamo due variabili casuali x e ỹ normali aventi la stessa media µ e stessa varianza σ L indice di preferenza attribuito a queste due variabili casuali é dato da E (u( x)) e da E (u(ỹ)) la densità normale è data da sostituendo E (u( x)) = p(x) = πσ (x µ) e σ u(x) e (x µx) σx dx πσ x E (u(ỹ)) = u(y) πσ y e (y µy) σy dy e le due espressioni in tutta evidenza coincidono. Riassumendo, abbiamo dimostrato come le preferenze di tipo VNM possano essere rappresentate da una funzione di due soli parametri, la media e la varianza della distribuzione, in due casi. La funzione di utilità VNM è di tipo quadratico. Le distribuzioni dei rendimenti sono di tipo normale Dalla espressioni ottenute per la utilità attesa nei due casi, differenziando rispetto a µ e a σ si ottiene il risultato che l utilità attesa di una variabile casuale dipende positivamente dal rendimento atteso µ e dipende negativamente dalla varianza σ.

3 Per la rappresentazione grafica dei titoli sul piano rischio-rendimento, spesso si preferisce la rappresentazione sul piano deviazione standard-rendimento atteso a quella varianza-rendimento atteso. Ovviamente, essendo la deviazione standard la radice quadrata della varianza, non cambia molto. Tuttavia si ha il vantaggio che l unità di misura del rischio risulta la stessa di quella del rendimento atteso. Le curve di indifferenza nel piano deviazione standard-rendimento atteso avranno allora andamento crescente. Consideriamo un titolo A i cui rendimenti presentino media µ e deviazione standard σ. I titoli preferiti ad A sono quelli che presentano rendimento atteso µ > µ e deviazione standard σ = σ rendimento atteso µ = µ e deviazione standard σ < σ ovvero, sintetizzando, possiamo dire che i titoli preferiti al titolo A sono quelli che presentano rendimento atteso µ µ e deviazione standard σ σ con almeno una delle due disugluaglianze in senso stretto. L insieme dei titoli preferiti al titolo A sarà quindi dato da La frontiera efficiente. {(µ, σ) : µ µ, σ σ, (µ, σ) ( µ, σ)} Consideriamo ora un insieme di n titoli i cui rendimenti R i i =,,..., n presentino valor medio e deviazione standard rispettivamente R i e σ i. Indichiamo con σ ik la covarianze tra i rendimenti del titolo i e i rendimenti del titolo k. Possiamo indicare i rendimenti degli n titoli con il vettore R = {R, R,..., R n } e l insieme delle varianze e covarianze mediante la matrice σ σ... σ k... σ n σ σ... σ k... σ n V = σ i σ i... σ ik... σ in σ n σ n... σ nk... σn Semplice applicazione del teorema delle funzioni implicite 3

4 Un portafoglio di titoli è una ripartizione della ricchezza iniziale tra questi n titoli. Indichiamo con λ i la percentuale di ricchezza investita nel titolo i. Un portafoglio sarà allora individuato da un vettore λ = {λ, λ,..., λ n }. Dato un portafoglio P, individuato dal vettore λ P, il rendimento del portafoglio è dato da: e la varianza da R P = λ R e ovviamente σ P = λ t R λ σ P = λ t R λ Dato un insieme di n titoli, l insieme di tutte le combinazioni rischiorendimento possibili sarà dato da {(σ P, R P ) λ} Chiameremo questo insieme insieme dei portafogli ammissibili e i portafogli che vi appartengono portafogli ammissibili. Un portafoglio P di caratteristiche (R P, σ P ) è detto efficiente se non esiste nessun altro portafoglio ammissibile strettamente preferito. Consideriamo in maggior dettaglio il caso in cui vi siano solamente due titoli di rendimenti R e R. Indichiamo con R, R, σ, σ i rendimenti attesi e le deviazioni standard dei due titoli. Sia σ la covarianza tra i rendimenti dei due titoli. Dato un portafoglio P di componenti {λ, ( λ)}, il rendimento atteso sarà dato da: mentre la deviazione standard R P = λr + ( λ)r σ P = ( λ σ + (λ( λ))σ + ( λ) σ ) / Possiamo esprimerla anche in funzione del coefficiente di correlazione ottenendo ρ = σ σ σ L ovvio vincolo è che n i= λ i =. Il vincolo λ i 0 viene imposto solo quando non sono ammesse vendite allo scoperto. 4

5 σ P = ( λ σ + ( λ) σ + λ( λ)σ σ ρ ) / Per effetto diversificazione intendiamo la possibilità che un portafoglio presenti un profilo rischio-rendimento che domini strettamente il profilo rischiorendimento dei titoli componenti. L elemento centrale della diversificazione è la correlazione tra i titoli. Guardando la formula della deviazione standard si vede chiaramente che l unico addendo suscettibile di assumere valori negativi è quello in cui compare il coefficiente di correlazione. E quindi questo termine che permette di abbassare la deviazione standard del portafoglio. Andiamo quindi a considerare i due casi estremi ρ = + e ρ =. Nel primo caso e ovvero R P = λr + ( λ)r σ P = ( λ σ + ( λ) σ + λ( λ)σ σ ) / σ P = λσ + ( λ)σ Il punto (σ P, R P ) giace quindi sul segmento che congiunge (σ, R ) a (σ, R ) di equazione R P = R + [ σ P σ σ σ ] (R R ). Consideriamo ora il caso ρ =. Le espressioni del rendimento atteso e della deviazione standard del portafoglio diventano e R P = λr + ( λ)r σ P = ( λ σ + ( λ) σ λ( λ)σ σ ) / = [(λσ ( λ)σ ) ] / In questo caso esiste un valore di λ che rende nullo il rischio del portafoglio, ed è λ = σ σ + σ 5

6 il corrispondente rendimento atteso è R P = (σ R + σ R )/(σ + σ ) Il punto (0, R P ) rappresenta questo portafoglio a rischio zero sul piano rischio-rendimento. Per valori di λ > λ il profilo rischio rendimento giace sul segmento, a pendenza negativa, che congiunge (0, R P ) a (σ, R ). Per valori di λ < λ il profilo rischio rendimento giace sul segmento, a pendenza positiva, che congiunge (0, R P ) a (σ, R ). Nel caso generale < ρ < + l insieme delle possibili combinazioni rischio-rendimento sarà rappresentata da una curva concava compresa tra le rappresenatzioni dei due casi estremi. Si noti in particolare che, mentre occorre avere ρ = per avere un portafoglio a rischio zero, per avere gli effetti della diversificazione è sufficiente un ρ >. La individuazione della frontiera efficiente. Vi sono due modi di individuare la frontiera dell insieme dei portafogli ammissibili nel caso generale con n titoli. Il primo consiste nel risolvere il problema per ogni valore di σ max λ λ R s.c. λ t V λ = σ n i= λ i = Il secondo metodo consiste nel risolvere il problema duale per ogni valore di R min λ λ t V λ s.c. λ R = R n i= λ i = Se i due metodi sono equivalenti per trovare la frontiera dell insieme dei portafogli ammissibili, il primo metodo fornisce direttamente la porzione efficiente della frontiera. Il secondo metodo invece fornisce tutta la frontiera e occorre quindi successivamente distinguere la porzione efficiente da quella non efficiente. 6