MODELLI PROBABILISTICI E STATISTICI

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1 Prime due lettere del cognome: Nome e Cognome: MODELLI PROBABILISTICI E STATISTICI Prova di esame del 22 Luglio 2002 Consegnare solo questo foglio e assicurarsi che la logica delle risposte sia ben indicata, anche a margine se necessario. Esercizio 1 Siano X 1, X 2 i.i.d. normali di media incognita µ e varianza 1. Si consideri il sistema di ipotesi e il test che rifiuta H 0 se (X 1 + X 2 )/2 > c. H 0 : µ = 0 H 1 : µ > 0 1. Si trovi c in modo da rendere il test di livello Si scriva la funzione potenza in termini della funzione di ripartizione della normale standard z 1 Φ(z) = e x2 /2 dx 2π 3. Supponendo di avere osservato X 1 = 0.3, X 2 = 2.3, si scriva la decisione da prendere. 1

2 Esercizio 2 Siano X 1,...X n i.i.d. esponenziali di parametro λ per ogni dato λ > 0, abbiano cioè densità f(x λ) = λe λx (x > 0). 1. Ottenere lo stimatore di massima verosimiglianza di λ. 2. Si assegni a λ una distribuzione a priori di tipo gamma con media 2/3 e varianza 2/9. Scriverne la densità a priori π(λ). 3. Calcolare la densità a posteriori di λ quando la distribuzione a priori sia come al punto precedente. 4. Supponendo di avere osservato x = 2/3, ottenere la stima di massima verosimiglianza e la stima bayesiana di λ rispetto alla funzione di perdita quadratica quando la distribuzione a priori sia come al punto precedente. Offrire un brevissimo commento a margine. 2

3 Esercizio 3 3

4 Una variabile aleatoria X è binomiale di parametri 10 e 0.2. Calcolare la probabilità che X sia uguale a 2 ed evidenziarla in modo inequivocabile nel grafico che meglio la illustra, provvedendo a denominarne con precisione gli assi x e y. Una variabile aleatoria Y è Poisson di media 2. Calcolare la probabilità che Y sia minore o uguale a 2 ed evidenziarla in modo inequivocabile nel grafico che meglio la illustra, provvedendo a denominarne con precisione gli assi x e y. Un numero Z è scelto a caso ed equiprobabilmente tra i numeri interi da 0 a 6. Calcolare la probabilità che Z sia maggiore di 2 ed evidenziarla in modo inequivocabile nel grafico che meglio la illustra, provvedendo a denominarne con precisione gli assi x e y. (solo per gli studenti di Matematica) Sei dei nove grafici sono stati prodotti dai seguenti comandi in ambiente R 1. plot(0:6,dbinom(0:6,10,.2),xlab=,ylab=,type= h,ylim=c(0,.4)) 2. plot(0:6,pbinom(0:6,10,.2),xlab=,ylab=,type= s,ylim=c(0,1)) 3. plot(0:6,dpois(0:6,2),xlab=,ylab=,type= h,ylim=c(0,.4)) 4. plot(0:6,ppois(0:6,2),xlab=,ylab=,type= s,ylim=c(0,1)) 5. plot(0:6,rep(1/7,7),xlab=,ylab=,type= h,ylim=c(0,.4)) 6. plot(0:6,1:7/7,xlab=,ylab=,type= s,ylim=c(0,1)) Usando la numerazione dei comandi data, associare a sei dei nove grafici il comando corrispondente, scrivendoci sopra il numero in maniera chiara e inequivocabile. 4

5 Esercizio 4 per gli studenti di Matematica Siano X 1,...X n tempi di guasto di n componenti con tassi di guasto diversi, sia cioè X i distribuito secondo una gamma di parametri a e b i. Il parametro a è incognito con distribuzione a priori π(a) ma con lo stesso valore per tutti gli X i. Le componenti si differenzino per la presenza di n valori di una covariata w 1,..., w n la quale, al proprio crescere, ne aumenta il rischio di guasto, secondo la relazione a/b i = w i ǫ i dove ǫ i, i = 1,..., n sono variabili aleatorie i.i.d. con una distribuzione che dipende da costanti note c e d. Si descriva una opportuna ipotesi di indipendenza condizionata e si disegni un modello grafico (DAG) per questa situazione. 5