COMPITI PER IL RECUPERO DELLA CARENZA FORMATIVA (E RIPASSO) MATEMATICA IV A PT

Transcript

1 COMPITI PER IL RECUPERO DELLA CARENZA FORMATIVA (E RIPASSO) MATEMATICA IV A PT

2 Scheda : equazioni e disequazioni goniometriche. Risolvi la seguente equazione: sin + sin cos + 5 = 0. Suggerimento dell insegnante: ricorda 5 5 cos sin.. che. Risolvi la seguente disequazione: cos sin cos 0. Suggerimento dell insegnante: passaggio intermedio sin sin cos 0, studiare il segno dei due fattori, il segno del secondo fattore si studia osservando in quale intervallo sin cos.. Risolvi la seguente disequazione: cos tan 0.. Quali tra i seguenti insiemi è il dominio della funzione y ln sin dell insegnante: passaggio intermedio ln(...)...0 sin... 0 A) k k B) Insieme dei numeri reali C) k k D) L insieme vuoto? Suggerimento 5. Determina le coordinate dei punti di intersezione A e B del grafico della funzione y = cos e del grafico della funzione y sin nell intervallo [0, Scheda: soluzioni. Impossibile. k k. k k. C A ; B ; 5. ;

3 Scheda : equazioni e disequazioni goniometriche. Quali tra i seguenti insiemi è il dominio della funzione: y? Suggerimento sin dell insegnante:dominio o campo di esistenza rappresenta i valori di per cui la funzione esiste, la funzione esiste se tutti i denominatori sono diversi da 0, se tutti i radicandi sono maggiori o uguali a 0, se tutti gli argomenti del logaritmo sono maggiori di 0, spesso si tratta di impostare un sistema di condizioni. A) arcsin k B) k C) L insieme vuoto D) L insieme dei numeri reali. Quali tra i seguenti insiemi è il dominio della funzione y sin cos? A) L insieme vuoto B) k k C) k k D) R E) < <. Risolvi la seguente disequazione: sin sin. Scheda : soluzioni. B. C. k k k

4 Scheda : equazioni e disequazioni goniometriche. Quali tra queste affermazioni sono VERE? A) L equazione sin cos = 0 è omogenea B) L equazione sin = ha due soluzioni nell intervallo [0, ] C) L equazione sin = non ha soluzioni reali D) La sola soluzione dell equazione cos = nell intervallo [0, ] è E) L equazione sin cos + cos = 0 equivale a tan + = 0. Risolvi la seguente equazione: sin.. Risolvi la seguente equazione: + cos sin = 0.. Quali delle seguenti sono soluzioni dell equazione: cot = 0? A) k B) 5 k C) k D) 5 k 5. Determina per quale valore di k l equazione ksin cos = sin + cos ammette come soluzione. Suggerimento dell insegnante: se è soluzione allora sostituendo tale valore diventa un eguaglianza vera 6. Determina il dominio della seguente funzione reale di variabile reale: y sin cos. 7. Risolvi la seguente equazione: 8cos + = Risolvi la seguente equazione: sin( ) + sin =. 9. Risolvi la seguente equazione: tan sin cos 6.

5 0. Risolvi la seguente equazione: sin cos 0 Suggerimento dell insegnante: si tratta di un equazione lineare omogenea ed è impossibile che cos 0 perché., si può dividere per cos da ambo i membri.. Quale tra le seguenti è la soluzione dell equazione 5sin = 6 nell intervallo [0, ]? A) arcsin B) arcsin 5 6 C) arcsin 6 5 D) Nessuna Scheda : soluzioni. B-C. k k. k arctan k. B-C 5. k = 6. k 7. k k 8. 7 k k k 0. k 6. D 5

6 Scheda : equazioni e disequazioni goniometriche. Quante soluzioni ammette l equazione tan = nell intervallo [0,? A) Una B) Nessuna C) Infinite D) Due. Risolvi la seguente equazione: tan 6.. Risolvi la seguente equazione: sin cos = 0. Suggerimento dell insegnante:ricorda che sin cos. Determina le coordinate dei punti A e B di intersezione del grafico della funzione y = sin con la retta di equazione y nell intervallo [0, 5. Sia [0, una delle soluzioni di un equazione della forma cos = m, con < m < ; quale dei seguenti insiemi rappresenta tutte le soluzioni dell equazione? A) [k B) [k C) [k D) [kk 6. Risolvi la seguente disequazione: tan. 7. Risolvi la seguente disequazione: cos Risolvi la seguente equazione: variabile ausiliaria. tan tan 0. Suggerimento dell insegnante: utilizza la 9. Risolvi la seguente equazione: sin + sin(+ ) = Risolvi la seguente disequazione: cos cos. 6

7 . Quali delle seguenti sono affermazioni VERE? A) L equazione tan = non ha soluzioni reali B) L equazione sin = non ha soluzioni reali k C) L insieme delle soluzioni dell equazione tan è S = k D) L insieme delle soluzioni dell equazione sin = è S = E) L equazione sin = non ha soluzioni reali Scheda : soluzioni. A A 6. k 9 k k A ;, 5 B ; 5 k k 7. Impossibile B-D k k 6 5 k k k k k 7

8 Scheda 5: equazioni e disequazioni esponenziali. Completa ponendo il simbolo corretto scelto tra <, =, >: a) b) c) Determina il dominio delle seguenti funzioni: Suggerimento dell insegnante: si ricorda che la base deve essere maggiore di zero: a) y b) y. Determina l espressione analitica della funzione il cui grafico è simmetrico di y = rispetto alla retta di equazione y =. Suggerimento dell insegnante:scrivi l equazione della trasformazione.. Risolvi la seguente equazione: 9. a y 5. Determina per quali valori di a l equazione a definisce una funzione esponenziale strettamente crescente. Suggerimento dell insegnante: si ricorda che la base deve essere maggiore di uno, se la base è nell intervallo (0;) allora la funzione è decrescente. 6. Risolvi la seguente equazione: t 5 0. Suggerimento dell insegnante: poi 7. Determina a, b e c, con b > 0, in modo che il grafico della funzione di equazione y ab c sia quello rappresentato in figura. 8

9 y. y Suggerimento dell insegnante: considera la traslazione della funzione y ab e quindi individua prima il valore di c e poi, sapendo che passa per due punti noti, ricava li valori di a e il valore di b. 8. Risolvi la seguente disequazione:. 9. Quali delle seguenti affermazioni sono VERE? A) La funzione definita da y = a, con a R +, a, ha come asintoto l asse y B) Le due funzioni di equazioni a e y = a hanno lo stesso grafico per ogni a R + C) La funzione definita da y = a è crescente per ogni a R +, con a 55 y D) Le funzioni di equazioni 8 e y = 05 intersecano l asse y nello stesso punto E) La funzione definita da y è esponenziale 0. Risolvi il seguente sistema:. Risolvi la seguente equazione: 8.. Ordina le seguenti frasi in modo che la sequenza corrisponda alle equazioni proposte: L equazione ha soluzione = L equazione ha soluzione = L equazione ha soluzione = L equazione ha soluzione = L equazione è impossibile 9

10 A) B) C) D) E) 9 0 Scheda 5: soluzioni. a) 9 > 0 ; b) 5 ; c) 7 7. a) ; b). y. = 5. < a < 0 6. = 0 = 7. a =, b =, c = A-B-D 0. 0,. 0 y. D-C-A-B-E 0

11 Scheda 6: funzione esponenziale, equazioni e disequazioni esponenziali. Risolvi la seguente equazione: 8.. Stabilisci se la seguente affermazione è vera o falsa: Ogni funzione esponenziale ha come asintoto orizzontale l asse.. Semplifica la seguente espressione, applicando le proprietà delle potenze:.. Determina, per la funzione y = +, dominio, immagine ed equazione dell asintoto orizzontale. 5. Quali di queste affermazioni sono VERE? A) La funzione definita da B) La funzione definita da C) La funzione definita da 5 y 5 y y 5 ha come asintoto l asse y. è crescente. ha come asintoto l asse. D) La funzione y = a, con 0 < a <, ha come immagine R +. E) La funzione y = a, con 0 < a <, ha come dominio R Determina per quali valori di k reale l equazione nell incognita : 6 soluzione reale. Suggerimento dell insegnante: ricorda 6 è sempre maggiore di 0. k e k non ha alcuna 7. Quale delle seguenti espressioni analitiche rappresenta l equazione della funzione esponenziale il cui grafico compare nella figura?

12 5 y A) 5 y B) y C) 5 y D) 5 8. Determina il dominio della seguente funzione: y. 9. Risolvi la seguente disequazione:. 0. Risolvi la seguente equazione: a fattor comune 5 e Suggerimento dell insegnante: raccogli. Quali di queste funzioni esponenziali hanno come dominio l insieme dei numeri reali? y A) e B) y e C) y e D) y e

13 Scheda 6: SOLUZIONI.. È falsa. 0. Dominio: R; immagine: (, +); asintoto: y = 5. B-C-D 6. 0k 7. C 8. > =. A-B-C Scheda 7: Funzione esponenziale, funzione logaritmica, equazioni e disequazioni esponenziali, equazioni e disequazioni logaritmiche. Risolvi la seguente equazione:.. Il valore del logaritmo log log 9 log 8 log 8 è: A) O B) 7 O C) O D) 5 O log... Suggerimento dell insegnante log 8 log...

14 . Due delle seguenti affermazioni sono FALSE. Quali? A) L equazione log log56 è logaritmica. B) Log ( ) = Log + Log, con 0 < < y C) Le funzioni 5 e y log/5 si intersecano in un punto che ha l ascissa uguale all ordinata. D) È sempre Risolvi la seguente disequazione: ln ln. 5. È vero che log 7 log log 8? 6. Il dominio della funzione f ln è l insieme degli reali tali che: (suggerimento dell insegnante: ricorda che l argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero e il radicando maggiore o uguale a zero, per la soluzione rivedi della disequazione irrazionale rivedi gli schemi di soluzione volume III capitolo.): A) < O B) < O C) 0 < O D) 0 < O 7. In un castagneto sono presenti 80 alberi. Ogni anno vengono piantati dei nuovi alberi di castagno in ragione del 50% del numero presente. Quanti anni occorrono per avere 05 alberi? Scrivi una funzione che permetta di ricavare gli alberi presenti nel castagneto, dopo un generico numero a di anni, della kt forma: N() t N0e, in cui N rappresenta il numero degli alberi dopo un tempo t e N0 il numero degli alberi all istante t = 0. Scheda 7: SOLUZIONI.. D, = 0. A-B. < < e 5. Vero 6. A 7. Occorrono anni

15 Scheda 8: Funzione esponenziale, Funzione logaritmica, Equazioni e disequazioni esponenziali, Equazioni e disequazioni logaritmiche e. Risolvi la seguente equazione: 0 e cifra decimale. 0 e dai un valore della soluzione approssimato alla seconda. Il numero dei donatori di organi in Italia è cresciuto negli ultimi anni molto rapidamente. Si è passati da 5,8 donatori effettivi registrati per milione di popolazione nel 99 a 0,8 nel 00. Assumendo una crescita esponenziale, quale sarà il numero di donatori per milione nel 00? (Arrotondare ai decimi). Considera la funzione f() = e + e e. Determina le coordinate del punto A in cui la curva grafico della funzione incontra la curva rappresentativa dell equazione y = e.. Determina il dominio della funzione ln f. 5. Determina il dominio della seguente funzione: f e ln ln. 6. Se ln indica il logaritmo di in base e, risulta ln ln ln per tutti e soli gli reali tali che: (suggerimento dell insegnante: osserva il radicando, è il quadrato di un binomio?... ricorda poi che, inoltre se A( ) B( ) allora B ( ) 0 ), A) 0 O B) O C) e O D) e O 7. Una sola delle seguenti affermazioni è FALSA. Quale? A) ( ) /5 può essere uguale sia a sia a. O B) L equazione 0 = 0 ha infinite soluzioni se > 0. O C) Le potenze di numeri reali negativi con esponente irrazionale non si definiscono. O D) La funzione y = non ha come immagine R. O e 0 8. Risolvi la seguente equazione: e. suggerimento dell insegnante: poste le condizioni di esistenza puoi semplificare il denominatore. 5

16 Scheda 8: SOLUZIONI. 0,6. Circa 9,. A ln( 5 ); ,, e 6. C 7. D 8. L equazione è impossibile 6

17 Scheda 9: Calcolo combinatorio. In quanti modi posso disporre 5 penne in un astuccio, scegliendole da un gruppo di 8 penne, tutte diverse tra loro?. Le targhe delle automobili sono formate da una coppia di lettere, una terna di numeri e infine una coppia di lettere. Le lettere variano possono essere solo perché sono state tolte la I, la O, la Q e la U. Quante targhe sono possibili?. In quanti modi posso mettere nella libreria 5 libri sapendo che sono di autori diversi, che del primo autore ci sono 6 libri e del secondo 9 e che si vogliono mettere vicini i libri dello stesso autore?. Alla fine di uno spettacolo teatrale gli attori, 5 uomini e donne, devono uscire a raccogliere gli applausi. In quanti modi si possono presentare al pubblico, supponendo che si dispongano in fila e considerando i maschi indistinguibili e le donne indistinguibili? In quanti modi si possono disporre se l ultimo della fila è un uomo (sempre considerando i maschi indistinguibili e le donne indistinguibili)? 5. In quanti modi diversi si possono scegliere persone per un interrogazione tra i alunni di una classe? 6. In un gioco da tavolo si lanciano 5 dadi contemporaneamente. In quanti modi si possono presentare le 5 facce? (Suggerimento dell insegnante: lanciare 5 dadi (diversi) contemporaneamente è come lanciare un dado 5 volte) 7. Usando solo le cifre,,, 6, 7, 8, quanti numeri di sei cifre, tutte distinte, si possono scrivere? Come cambierebbe la risposta, ammettendo di potere ripetere le cifre? Tra questi ultimi numeri (quelli dove si ammette anche di poter ripetere le cifre), quanti contengono almeno una volta la cifra 7? (Suggerimento dell insegnante: determina quanti numeri non contengono la cifra 7 e poi per differenza.) 8. La combinazione di una cassaforte è formata da 8 cifre (ciascuna scelta tra 0 e 9). Sapendo che le cifre possono ripetersi e che l ultima cifra è pari, quante combinazioni sono possibili (considerando lo 0 pari)? Scheda 9: Calcolo combinatorio a) 6 b) a) 70 b) 6656 c)

18 Scheda 0: Problemi di probabilità. Il mazzo di carte del gioco del poker, quando si gioca in quattro, è costituito da carte, 8 per ogni seme. Si distribuiscono 5 carte per ogni giocatore. Qual è la probabilità di ricevere Assi? (Suggerimento dell insegnante: determina il numero di casi possibili nell estrarre 5 carte contemporaneamente da un mazzo di carte, per determinare il numero di casi favorevoli (ricevere assi) suddividi le carte in due insiemi: l insieme dei assi e l insieme delle altre 8 carte, determina poi il numero di casi favorevoli nell estrarre assi dall insieme dei assi e il numero di casi favorevoli nell estrarre una carta dall insieme delle altre 8 carte, moltiplica poi le possibilità. Nel gioco del lotto si chiama «ambo» una puntata su due numeri. Si vince se tra i cinque numeri estratti sono presenti i due giocati. Qual è la probabilità di vincere? Suggerimento dell insegnante: determina il numero di casi possibili nell estrarre 5 numeri contemporaneamente da un urna contenente 90 numeri, il numero di casi favorevoli è dato dalle combinazioni di 5 numeri contenenti i due numeri giocati, dal momento che i due numeri giocati sono fissi è quindi come estrarre numeri da un urna contente gli altri 88 numeri.. Nel gioco del lotto si gioca un estratto semplice puntando su un numero da a 90 su una determinata ruota. Se tra i cinque estratti è presente tale numero, si vince. Qual è la probabilità che ciò accada?. Si lanciano 0 monete. Qual è la probabilità che escano 5 Testa? (Suggerimento: distribuzione binomiale individua la probabilità di successo in un lancio, il numero di lanci e il numero di successi richiesto) 5. Si lanciano 5 monete. Qual è la probabilità che escano esattamente Testa? 6. Si ricevono cinque carte da un mazzo da poker. a) Qual è la probabilità che siano tutte di cuori? b) Qual è la probabilità che siano tutte di uno stesso seme? 7. Da un mazzo di carte si estraggono Asso,,,, 5, 6, 7 di uno stesso seme, si mescolano queste carte e le si scoprono una alla volta. Qual è la probabilità che escano nella sequenza Asso,,,, 5, 6, 7? 8. Si lanciano 5 monete. Qual è la probabilità che escano almeno tre Testa? Suggerimento dell insegnante: almeno tre testi significa Pteste o teste o 5teste che risulta P( teste ) Supponiamo di avere un urna contenente 5 palline numerate da a 5. Si estraggono a caso due palline, una alla volta, e con reinserimento. Calcola la probabilità dei seguenti eventi:. la prima pallina ha un numero pari e la seconda è 0;. almeno una delle due palline ha un numero dispari. 8

19 0. Due carte vengono estratte da un mazzo di 5, senza reinserimento. Calcola la probabilità:. che la prima carta sia di cuori e la seconda rossa;. che la seconda carta sia rossa.. Sono date urne contenenti rispettivamente 5 biglie di cui 8 rosse, 5 biglie di cui rosse e 0 biglie di cui rosse. Si lancia un dado. Se esce 6 si sceglie la prima urna, se esce si sceglie la seconda urna, altrimenti si sceglie la terza. Si estraggono biglie contemporaneamente. Calcola la probabilità che le biglie siano rosse. Scheda 0: SOLUZIONI a) ; b) a) 7/5 b) 76/5 0. /. 5/0 b) ½ 9

20 Scheda : Variabile casuale discreta. Una ditta dispone di 0 linee telefoniche. La probabilità, in un istante qualsiasi, che una data linea sia occupata è 5. Determina il numero medio di linee telefoniche libere. Suggerimento dell insegnante si ricorda che il valore atteso di una variabile casuale che si distribuisce secondo una binomiale è dato da n p. Carlo è un buon tiratore e a ogni tentativo ha una probabilità p di riuscire a colpire il bersaglio. Stabilisci quanto vale p sapendo che, in tre tentativi, la probabilità che Carlo colpisca almeno una volta il bersaglio è 0,99. Suggerimento dell insegnante: la probabilità di non colpire il bersaglio... PX 0 p... p..., scrivi la probabilità di colpire il bersaglio almeno una volta e ponila 0 uguale a... p = 0,9 O. p = 0,98 O. p = 0,80 O. p = 0,88 O 5. p = 0,8 O. La seguente tabella definisce una variabile aleatoria (si tratta della distribuzione di una variabile casuale discreta?). Vero Falso. Trova la varianza e lo scarto quadratico medio della variabile aleatoria della tabella riportata di seguito. 0

21 5. Si lanciano dadi equi e sia X la variabile aleatoria che conta il numero di dadi in cui è uscito il numero. Calcola (suggerimento dell insegnante: è come lanciare un dado volte) a. la probabilità che X = 0; b. la probabilità che X = ; c. la media di X; 6. Supponiamo di avere urne, una contenente palline bianche e nere e l altra contenente palline bianche e nere. Si lancia una moneta per decidere da quale urna estrarre: se esce testa si estrae dalla prima urna, se esce croce si estrae dalla seconda. Vengono estratte palline dall urna scelta, una alla volta e con reinserimento. Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di palline bianche estratte. Calcola la probabilità che sia X=. Suggerimento dell insegnante: calcola la probabilità che l estrazione avvenga dalla prima urna e che da essa escano uscite due palline bianche e due nere P U b,n, calcola la probabilità che l estrazione avvenga dalla seconda urna..... e che da essa escano uscite due palline bianche e due nere. Scheda SOLUZIONI. 8. C. Falso. Varianza =,97; scarto quadratico medio =,99 5. a) 0,8 b) 0, ,56

22 Scheda : Correlazione e regressione e Connessione. Data la seguente tabella, determina l equazione della retta di regressione e calcola i valori di y per = e per = 7.. Esercizio senza soluzione I dipendenti di una piccola azienda variano da semestre a semestre a seconda degli ordini da soddisfare. La seguente tabella riporta quante persone lavorano in 5 semestri. X = numero di semestre 5 Y = numero di dipendenti a. Rappresenta la nuvola di punti e determina le coordinate del baricentro. b. Calcola il coefficiente di correlazione lineare della distribuzione rappresentata. Arrotonda il risultato alla terza cifra decimale. c. Scrivi l equazione della retta di regressione che esprime il personale in funzione del tempo. d. Sulla base del modello trovato, stima il numero di persone che lavoreranno nell azienda nel decimo semestre. (senza soluzione) ) Esercizio senza soluzione In una classe di 6 allievi viene fatta un indagine sull ultimo libro letto. La seguente tabella riporta i risultati dell indagine. X indica il sesso (M o F) e Y il genere del libro. X Y romanzo giallo fantasy M 6 F 8 a. Determina la moda dei lettori maschi e delle lettrici femmine. b. Determina le distribuzioni marginali di X e Y.

23 c. Determina la distribuzione di X condizionata alla modalità «romanzo» di Y. d. Costruisci la tabella teorica di indipendenza di X e Y. e. Valuta il grado di connessione. Scheda SOLUZIONI. y = 0,9 +,7; per =, y =,; per = 7, y =,05

24 Scheda : trasformazioni geometriche ) Dati i punti A(, ), B(, 0), C(, ), determina: a) le coordinate dei punti A', B', C' rispettivamente simmetrici di A, B e C rispetto al punto P, ; b) il perimetro e l area dei triangoli ABC e A B C, dopo averli rappresentati. Verifica inoltre che i due triangoli hanno lo stesso perimetro e la stessa area. Che cosa si può dedurre? c) le equazioni della simmetria rispetto alla retta r passante per B e parallela all asse y; determina inoltre il punto Q simmetrico del punto Q, rispetto a r; d) i vertici del corrispondente del triangolo A'B'C' nella traslazione di vettore v, ; determina inoltre, sempre nella traslazione di vettore v,, l equazione della curva corrispondente di quella di equazione y ; e) i corrispondenti di A, B e C nella omotetia di equazioni y y e trova il rapporto tra i perimetri dei due triangoli omotetici. Che cosa si osserva? f) le equazioni della dilatazione con centro nell origine che trasforma i vertici A, B e C nei corrispondenti punti di coordinate,,, 0,,. ) Costruisci il grafico delle seguenti funzioni: c)y = +5 c) y log ( ) c) y sin c) y sin( ) c) y sin c) y cos