Stima puntuale di parametri

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1 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 017/018 C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica Stima puntuale di parametri Marco Pietro Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 1

2 Esercizi Esercizio 1. [Tratto dal tema d esame del 05/07/016-C6] Si consideri perϑ > 0 la funzione definita da 4 ϑ x se0 x ϑ 4 f (x;ϑ) = ϑ (ϑ x) se ϑ < x ϑ 0 altrimenti 1. Verificare che per ogniϑ > 0,f ( ;ϑ) rappresenta una funzione di densità di probabilità.. SiaX 1,X,,X n un campione casuale estratto dalla popolazione di densitàf(,ϑ), n stabilire set = n X i è uno stimatore corretto diϑ. Risoluzione. Disegniamo il grafico della funzione di densità di probabilità data ϑ ϑ ϑ Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p.

3 1. Risulta + f (x;ϑ)dx = 1 ϑ ϑ = 1 quindi f ( ; ϑ) rappresenta una funzione di densità di probabilità per ogni ϑ > 0. T è uno stimatore corretto o non distorto di ϑ se E[T] = ϑ. Nel nostro caso E[X] = 1 ϑ e [ ] n E[T] = E X i = n E[X i ] = n n = n ne[x i] = n n1 ϑ = ϑ = lo stimatore è corretto Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 3

4 Esercizio. Sia X la variabile casuale di Poisson di parametro λ, 1. determinare uno stimatore con il metodo dei momenti;. verificare la correttezza dello stimatore trovato; 3. calcolare l errore quadratico medio; 4. supponendo poi di avere i seguenti dati campionati, 3,, 4, 3, 5, 4,, 3,, 3, 4,, 3, 4, 3,, 3, 4, 5, 4, 3, 3, 4 calcolare il valore stimato di λ. Risoluzione. X ha funzione di densità di probabilità f X (x;λ) = { λ x x! e λ se x N 0 altrove Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 4

5 Determiniamo uno stimatore con il metodo dei momenti. Ricordiamo che con M r = 1 n X r n i, µ r = E[X r ] si indica, rispettivamente, il momento campionario assoluto di ordine r e il momento di ordine r della variabile casuale X. Il metodo dei momenti consiste nel risolvere il sistema nelle incognite ϑ 1,,ϑ k di k, numero dei parametri incogniti, equazioni µ 1 = M 1 µ = M µ k = M k Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 5

6 Nel nostro caso abbiamo solo un parametro da stimare, λ, quindi calcoliamo Posto µ 1 = M 1, risulta Λ = 1 n µ 1 = E[X] = λ, e M 1 = 1 n n X i. Per determinare se lo stimatore è non distorto calcoliamo ] E[ Λ(X1,X,,X n ) = E [ [ ] n ] 1 X n = n E X i = 1 ne[x] = E[X] n Essendo X v.c. di Poisson di parametro λ, si ha E[X] = λ, quindi ] E[ Λ(X1,X,,X n ) = λ = Λ stimatore non distorto n X i Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 6

7 Chiamiamo errore quadratico medio di uno stimatore T = t(x 1,,X ), la funzione di ϑ data da: MSE[T](ϑ) := E [(T τ(ϑ)) ] con τ(ϑ) funzione del parametro da stimare. Ma MSE[T](ϑ) := var[t]+[d[t](ϑ)], D[T](ϑ) := τ(ϑ) E[T] ] ] Nel nostro caso E[ Λ = λ = D[ Λ = 0, quindi ] MSE[ Λ ] = var[ Λ = var [ ] X n = }{{} X i ind. 1 n n var[x i ] = 1 n nλ = λ n Troviamo λ mediante i dati campionari λ = = ,083 Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 7

8 Esercizio 3. SiaX 1, X...X n un campione casuale di ampiezzanestratto da una popolazione con distribuzione uniforme nell intervallo[a b, a + b]. Determinare gli stimatori diaebcon il metodo dei momenti. Risoluzione. L intervallo ha ampiezza a+b (a b) = b, ne segue che la funzione di densità di probabilità della v.c. X è f (x;a,b) = { 1 b se a b x a+b 0 altrove Per determinare gli stimatori di a, b con il metodo dei momenti, bisogna risolvere il sistema { µ 1 = M 1 µ 1 = X n µ = M = n µ = 1 n Xi Calcoliamo µ 1 = a+b+a b = a e Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 8

9 µ = var[x]+(µ 1) = [(a+b) (a b)] 1 Sostituendo a = X n n b 3 +a = 1 n Xi +a = b 3 +a ed eseguendo alcuni passaggi algebrici, ne segue che gli stimatori cercati sono â = 1 ( n X i e n b n = 3 Xi n 3 n ) n X i Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 9

10 Esercizio 4. [Tratto dal tema d esame del 9/08/016-C6] Si supponga chex 1,X, X 3 sia un campione casuale di ampiezza3estratto da una distribuzione esponenziale di media λ. Si considerino i seguenti stimatori del parametro λ: Λ 1 = X 1, Λ = X 1 +X 1. Indicare quali sono gli stimatori non distorti di λ., Λ 3 = X 1 +X 3. Individuare tra gli stimatori non distorti quello con MSE minimo., Λ 4 = X 3 Risoluzione. Sia X una v.c. esponenziale di media λ, si ha f (x;λ) = { 1 λ e x λ se x 0 0 altrove con E[X] = λ e var[x] = λ. Calcoliamo il valore atteso degli stimatori dati E[Λ 1 ] = E[X 1 ] = λ Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 10

11 [ ] X1 +X E[Λ ] = E = 1 (E[X 1]+E[X ]) = 1 λ = λ [ ] X1 +X E[Λ 3 ] = E = (E[X 1]+E[X ]) = 1 3 (λ+λ) = λ E[Λ 4 ] = E [ X 3 ] = λ Tutti gli stimatori dati sono non distorti, per individuare il preferibile, calcoliamo la varianza di ciascuno: var[λ 1 ] = var[x 1 ] = λ [ ] X1 +X var[λ ] = var = 1 4 (var[x 1]+var[X ]+cov[x 1,X ]) = = 1 4 λ = 1 λ (X 1 e X sono indipendenti) [ ] X1 +X var[λ 3 ] = var = (var[x 1]+4var[X ]) = 1 (λ +4λ ) = λ Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 11

12 var[λ 4 ] = var [ X 3 ] = 1 3 λ Lo stimatore non distorto con varianza minima è la media campionaria. Esercizio 5. Il numero di interruzioni (crash) di un personal computer segue una distribuzione di Poisson di parametroλ. SiaX 1, X...X n un campione casuale di ampiezza n estratto dalla distribuzione di Poisson data. Se il costo di riparazione è dato da Y n = 3X n +X n dovex n è la media campionaria suncrash, calcolaree[y ]. Risoluzione. Sia X una v.c. di Poisson di parametro λ, si ha f (x;λ) = { λ x x! e λ se x = 0,1,, altrove con E[X] = λ e var[x] = λ. Calcoliamo il valore atteso dello stimatore dato [ ] E[Y n ] = E 3X n +X n = 3E [ ] [ ] [ ] X n +E X n = 3λ+E X n Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 1

13 Ma quindi E [ ] X n E [ X n ] = var [ Xn ], var [ Xn ] = var[x] n = λ n, E[Y n ] = 3λ+ λ n +λ e passando al limite per n si ha E[Y ] = 3λ+λ Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 13

14 Esercizio 6. Per un corso la prova d accertamento del profitto è costituita da una batteria di 30 quesiti con risposta dicotomica. Si può ipotizzare che chi risponde a caso ad un quesito abbia probabilità 1 di indovinare la risposta esatta. Supponiamo che ogni risposta esatta sia valutata 1 30, si dica qual è per una persona perfettamente ignorante: 1. la probabilità di ottenere la sufficienza in una prova d esame;. il numero medio di prove necessarie per superare l esame. SiaX la variabile casuale che conteggia il numero di risposte esatte in una prova. È ragionevole pensare chex = S +I doves indica la variabile casuale che conteggia il numero dei quesiti di cui il candidato sa la risposta esatta, mentrei è la variabile casuale che conteggia il numero di risposte indovinate. SiaS la v.c. binomiale di parametrin = 30 epesiai/s = s la v.c. binomiale di parametrin = 30 sep = 1. Si determini la funzione di densità di probabilità congiunta dis ei,p S,I (s,i). Si mostri chep X (x) = x p S,I (s,x s) conx = 0,, 30 e dunquex è una s=0 variabile casuale binomiale di parametrin = 30 e 1+p. Si determini uno stimatore non distorto dip. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 14

15 Risoluzione. Per ipotesi X è la v.c. che conteggia il numero di risposte esatte, ha distribuzione Bi ( 30, ) 1 con ( ) 30 p X (x) = p x (1 p) 30 x x = 0,,30 x Nel caso ricerchiamo la probabilità di ottenere appena la sufficienza si ha ( ) (1 ) 18 ( ) p = p X (18) = Se invece vogliamo almeno la sufficienza, dobbiamo calcolare P [X 18]. Dato che { np = 30 1 nq = 30 1 = 15 5 = X ha distribuzione appr. N = 15 5 ( 15, 15 ) Quindi P [X 18] = P [X 17.5] = p con l interpolazione, facendo invece " la media aritmetica" p = Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 15

16 T denota il numero di prove di 30 domande ciascuna. Quando si avrà il superamento della prova con esattamente la sufficienza T è una v.c. di Pascal di parametro p = , quindi E[T] = 1 p , per passare la prova con esattamente la sufficienza bisogna fare mediamente l esame dalle 1 alle 13 volte. Se invece si avrà il superamento della prova con almeno la sufficienza T è una v.c. di Pascal di parametro p = = E[T] p = = E[T] Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 16

17 Sia 0 s 30 e 0 i 30 s allora ( ) 30 p S,I (s,i) = p s (1 p) 30 s s = ( 30 s ) ( 30 s i ( ) 30 s i ) (1 p s [ 1 (1 p) ] 30 s ) i ( ) 30 s i 1 = Scelto 0 s 30 e 0 i 30 s risulta p X (x) = = (s,i): s+i=x ( x s=0 30 x p S,I (s,i) = ) ( x s ) (s,i): i=x s [ ] 30 s 1 p p s = p S,I (s,x s) = Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 17

18 = ( 30 s ) s=0 ( ) 30 x x ( 1 p Ricordando il binomio di Newton ( ) x ( x 1 p p s s s=0 x s ) x s = ) ( ) x s 1 p p s. ( 1+p ) x si ha p X (x) = ( 30 x ) (1 p ) (30 x) ( ) x 1+p, con x = 0,1,..., 30. Pertanto X è una binomiale di parametri 30 e 1+p, di media E[X] = 30 1+p = 15(1+p). Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 18

19 Determiniamo, inoltre, uno stimatore di p con il metodo dei momenti: Calcoliamo E[ p] quindi p è corretto. X n = 15(1+p) = p = X n 15 E[ p] = stimatore di p. 15(1+p) 1 = p, Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 19

20 Esercizio 7. X 1, X...X n un campione casuale proveniente da una distribuzione rettangolare nell intervallo[0, ϑ] con ϑ > Si determini lo stimatore diϑcon il metodo dei momenti.. Si verifichi se tale stimatore è consistente. Risoluzione. L intervallo ha ampiezza ϑ 0 = ϑ, ne segue che la funzione di densità di probabilità della v.c. rettangolare X è f (x;ϑ) = { 1 ϑ se 0 x ϑ 0 altrove Per determinare lo stimatore di ϑ con il metodo dei momenti, bisogna risolvere l equazione µ 1 = M 1 = µ 1 = X n, rispetto a ϑ. Calcoliamo µ 1 = 0+ϑ = ϑ, sostituendo nell equazione precedente risulta X n uno stimatore di ϑ. Essendo E [ ] X n = ϑ, lo stimatore è non distorto. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 0

21 Calcoliamo var [ X n ] = }{{} X i indip. 1 n n var[x i ] = 1 ϑ n n 3 = ϑ 3n. Ne segue quindi lo stimatore è consistente. [ (Xn lim E ϑ ) ] = lim n + n + ϑ 3n = 0, Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 1

22 Esercizio 8 (Tema d esame del 10/01/006 - E). SiaX 1, X...X n un campione casuale di ampiezzanestratto da una popolazione con densità di probabilità conϑ > 0. { ( ) f X (x,ϑ) = ϑ 1 x ϑ se0 x ϑ 0 altrove 1. Determinare uno stimatoret diϑcon il metodo dei momenti.. Stabilire se T è distorto e calcolarne l errore quadratico medio. Risoluzione. Individuiamo lo stimatore T del parametro ϑ, risolvendo rispetto a ϑ X n = E[X]. Calcoliamo quindi E[X] = ϑ 0 (1 ϑ x x ) dx = 1 ϑ 3 ϑ Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p.

23 X n = 1 3 ϑ = T = 3X n. Lo stimatore è non distorto, infatti, E [ 3X n ] = 3E [ Xn ] = 3 ϑ 3 = ϑ Calcoliamo, infine, l errore quadratico medio MSE[T] = var[t] = var [ ] var[x] 3X n = 9. n E [ X ] = ϑ Ne segue MSE[T] = ϑ n. 0 ϑ x( 1 x )dx = ϑ ϑ 6 = var[x] = ϑ 6 ϑ 9 = ϑ 18. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 3

24 Esercizio 9 (Tratto dal tema d esame del 1/01/016-C6). SiaX 1,...,X n un campione casuale, di dimensionen, estratto da una distribuzione rettangolare uniforme sull intervallo[a, a]. 1. Determinare uno stimatoret 1 diacon il metodo dei momenti. Verificare se lo stimatore T 1 è distorto e calcolarne l errore quadratico mediomse[t 1 ].. Considerato poi lo stimatoret = 1 X X, verificare set è distorto e calcolarne l errore quadratico mediomse[t ]. 3. Supposton = 3, quale dei due stimatorit 1 et diaèpreferibile (giustificare la risposta)? T 1 = 3 X n T 1 non distorto MSE[T 1 ] = a 7n T non distorto MSE[T ] = 5a 16 T 1 preferibile Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 4

25 Esercizio 10. [Tema d esame del 04/07/006 - E1] SiaX 1,...,X 8 un campione aleatorio, di dimensione8, estratto da una distribuzione rettangolare uniforme sull intervallo[ 1, b], con b > 1. Si chiede: 1. determinare uno stimatoret 1 dibcon il metodo dei momenti;. determinare se lo stimatoret 1 sia distorto; 3. calcolare l errore quadratico mediomse[t 1 ]; 4. considerato poi lo stimatoret = 4X 8 X 3 X 5 +1, calcolarne l errore quadratico mediomse[t ]; 5. determinare quale dei due stimatorit 1 et dibsia preferibile, giustificando la risposta. T 1 = X n + 1 T 1 non distorto MSE[T 1 ] = (b+1) 4 MSE[T ] = (b+1) 3 T 1 preferibile Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 5

26 Esercizio 11. SiaX una variabile casuale normale con mediaµevarianzaσ. SianoX 1,X,X 3 le variabili casuali indipendenti descritte dalle tre determinazionix 1,x,x 3 di un campione casuale estratto da essa. Per stimare il parametro µ si considerano i due seguenti stimatori: X 3 = X 1 +X +X 3 3, T = 1 5 X X X Dire sex 3 et sono stimatori non distorti diµemotivare la risposta.. CalcolareMSE[X 3 ] emse[t] e stabilire quale tra i due stimatorix 3 et diµsia preferibile, motivando la risposta. X 3 non distorto T non distorto MSE[X 3 ] = σ 3 MSE[T] = 11σ 5 X 3 preferibile Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 6

27 Esercizio 1. [Tema d esame del 09/06/015 - C7] SiaX 1,...,X n un campione casuale di ampiezzan, estratto da una distribuzione continua uniforme nell intervallo[a,a+3] cona > 1. Determinare uno stimatore dia con il metodo dei momenti. [ T = X n 1 3 ] Esercizio 13. [Tema d esame del 3/06/014 - C3] SiaX 1,...,X n,n, un campione casuale estratto dalla funzione di densità di probabilità 3 f(x;θ) = 4θ x 0 < x < θ, θ 0 altrove, θ > 0. Determinare uno stimatoret diθ con il metodo dei momenti. [ T = 5 ] 6 X n Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 017/018 Stima puntuale di parametri - Marco Pietro Longhi - p. 7