STATISTICA Disciplina scientifica che fornisce strumenti per l interpretazione delle informazioni contenute in insiemi di dati relativi a

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1 STATISTICA Disciplina scientifica che fornisce strumenti per l interpretazione delle informazioni contenute in insiemi di dati relativi a VARIABILI CASUALI VARIABILE Qualunque fenomeno esprimibile numericamente che può assumere valori diversi

2 Esempi di Variabile Qualunque fenomeno esprimibile numericamente che può assumere valori diversi L altezza nella specie umana Il numero di nati per parto nei conigli Il diametro del fusto di un albero misurato a diverse età Il numero di Adenine nella sequenza di un gene di una monocotiledone La presenza di un contaminante in un alimento

3 VARIABILE CASUALE Variabile che può assumere infiniti valori, al limite infiniti, la cui variabilità risulta in-determinata Nella realtà la perfetta casualità è rara quanto la perfetta determinazione Le variabili con cui la statistica ha a che fare sono di solito una mescolanza di determinazione e in determinazione

4 VARIABILE Peso di un uomo Età Sesso parte Razza deterministica Alimentazione Altri fattori che non conosciamoparte casuale

5 La statistica comprende i metodi ed i principi che trattano le variabili casuali al fine di aumentare la componente deterministica e ridurre quella casuale AUMENTO COMPONENTE DETERMINISTICA Aumento della capacità esplicativa Conoscenze sui fattori di variabilità del peso Aumento del potere previsionale Possibilità di prevedere il peso di un bovino in maniera più accurata

6 VARIABILE CONTINUA Assume tutti i valori possibili su una scala graduata Es. peso di una pecora ,5 52,4

7 VARIABILE DISCRETA Assume valori discontinui rappresentabili da punti isolati in una scala metrica Ad es. numero di capre di un allevamento (totale=100 animali) risultate positive ad una indagine sierologica positivi negativi

8 LA STATISTICA SI DIVIDE IN 1) STATISTICA DESCRITTIVA Metodi per organizzare e sintetizzare i dati al fini di una loro più efficace rappresentazione TABELLE GRAFICI Istogrammi Curve

9 2) STATISTICA INFERENZIALE Metodi che sulla base dei dati relativi ad un campione consentono di trarre delle considerazioni valide per la popolazione da cui il campione è stato selezionato

10 POPOLAZIONE L intero insieme di individui dei quali si vogliono conoscere i valori della variabile oggetto di studio In statistica la popolazione è un concetto ideale CAMPIONE Insieme di individui appartenenti alla popolazione sui quali si misura realmente la variabile oggetto di studio

11 Le quantità riferite al campione sono dette Statistiche e sono indicate con l alfabeto latino Le quantità riferite alla popolazione sono dette parametri e sono indicate con l ìalfabeto greco

12 MISURE RIASSUNTIVE DI UN INSIEME DI DATI Un modo informativo di descrivere la collocazione di un insieme di dati è quello di riportarlo ad un valore centrale Tra le misure di centro vanno ricordate la moda, la mediana e la media

13 MODA VALORE PIU FREQUENTE PRESENTE IN UN INSIEME DI DATI MEDIANA VALORE CENTRALE DELL INSIEME DEI DATI ORDINATI IN MANIERA CRESCENTE MEDIA ARITMETICA MEDIA ARITMETICA = SOMMA DELLE OSSERVAZIONI = NUMERO DELLE OSSERVAZIONI X x n i LA MEDIA ARITMETICA DI UN CAMPIONE E DETTA MEDIA CAMPIONARIA ED E UNA STATISTICA X LA MEDIA DELLA POPOLAZIONE SI INDICA CON m ED E UN PARAMETRO LA MEDIA HA UN FORTE POTERE ESPLICATIVO

14 60,1 77,3 52,6 67,8 64,6 79,1 68,8 64,4 67,7 78,5 59,5 53,0 74,9 83,6 64,2 69,2 60,2 54,1 54,3 82,4 61,3 54,7 47,4 76,2 78,4 73,0 67,3 45,6 84,4 54,6 74,9 49,8 63,6 48,7 58,1 77,9 59,4 46,5 69,5 54,9 Due insiemi di dati: A e B

15

16 n.individui Variabile A

17 n. individui Variabile B NONOSTANTE LA MEDIA SIA UGUALE, I DUE INSIEMI DI DATI SONO STRUTTURALMENTE DIVERSI I DATI DEI DUE INSIEME DI DATI PRESENTANO UNA DIVERSA DISTRIBUZIONE

18 frequenza relativa (%) DISTRIBUZIONE DI VARIABILI CASUALI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA : LA DISTRIBUZIONE DELLE PROBABILITA CHE LA VARIABILE OGGETTO DI STUDIO HA DI ASSUMERE I DIVERSI VALORI POSSIBILI 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, AD OGNI VALORE DELLA VARIABILE E ASSOCIATA LA PROBABILITA CON CUI IL VALORE PUO VERIFICARSI Nell esempio: prendendo un dato dall insieme A, abbiamo il 30% di probabilità che abbia un valore compreso fra 60 e 65

19 QUANDO LA VARIABILE OGGETTO DI STUDIO HA UNA DISTRIBUZIONE MOLTO DIVERSA DALLA NORMALE 1 - TRASFORMAZIONE DEI DATI ESEMPIO: LA TRASFORMAZIONE LOGARITMICA DEL CONTENUTO IN CELLULE SOMATICHE DEL LATTE Consente di ottenere una distribuzione dei dati che si avvicina a quella normale LA MEDIA ARITMETICA DELLE VARIABILI TRASFORMATE CONSTITUISCE UNA MISURA DI CENTRO PIU ATTENDIBILE RISPETTO ALLA MEDIA DELLE VARIABILI ORIGINARIE 2 - USO DI MISURE DI CENTRO DIVERSE DALLA MEDIA ARITMETICA MEDIA GEOMETRICA = n x 1 x2... xn MEDIA TRONCATA: CALCOLO DELLA MEDIA ARITMETICA ESCLUDENDO I VALORI ESTREMI (OUTLIERS) DELL INSIEME DEI DATI OGGETTO DI STUDIO

20 n. individui EFFETTO DELLA TRASFORMAZIONE SULLA DISTRIBUZIONE DELLA VARIABILE Distribuzione del CCS in 88 pecore raggruppate in classi di ampiezza di media= classi di CCS (da 0 a )

21 n. individui Distribuzione del logaritmo in base 10 del CCS ,75< 1, ,25 2,25-2,5 2,5-2,75 2, ,25 3,25-3,5 3,5-3,75 3,75-4 LOG CCS media=2,87

22 Una misura di centro fornisce una sintesi parziale delle informazioni in esso contenute Indici di dispersione: Indicano come i dati si distribuiscono rispetto al centro Range Valore massimo-valore minimo Percentili Valori soglia che lasciano alla loro destra (o sinistra) una certa percentuale dell insieme dei dati

23 NEL CASO DELLE DUE MANDRIE VARIANZA q 2 DEVIAZIONE STANDARD q MANDRIA A 81,37 9,02 MANDRIA B 176,49 13,28 LE MISURE DI VARIABILITA METTONO IN EVIDENZA LE DIFFERENZE STRUTTURALI TRA LE DUE MANDRIE COEFFICIENTE VARIAZIONE= DI DEVIAZIONE.STANDARD MEDIA RAPPORTO TRA UNA MISURA DI VARIABILITA ED UNA DI CENTRO ESPRIME IL GRADO DI DISPERSIONE DEI DATI ATTORNO ALLA MEDIA MANDRIA A = 0,14 MANDRIA B = 0,20

24 Misure di dispersione di una variabile S 2 x i n x 1 2 Varianza. S x x n 1 2 i Deviazione standard.

25 La rappresentazione Box-Plot: insieme A

26 La rappresentazione Box-Plot: insieme B

27 Probabilità e distribuzioni di probabilità Probabilità del verificarsi di un evento A Rapporto fra il numero di uscite favorevoli all evento A (n A ) ed il numero totale di uscite possibili (N) p(a) n A N

28 Probabilità in senso frequentista Un esperimento viene compiuto N volte (100 lanci di una moneta) e n volte (45) si registra un determinato risultato (croce) f(croce) n croci 0.45 N lanci f(croce) p croce

29 Rapporto tra Probabilità e frequenza Lancio contemporaneo di due monete. Uscite possibili CC CT TC TT 2 croci croce a dx e testa a sx testa a dx e croce a sx due teste 2 p( 1testa) 4 1 2

30 Rapporto tra Probabilità e frequenza Esperimento con 2000 lanci Tabella 6. Frequenze assolute e relative dei risultati di 2000 lanci di due monete. Uscita Frequenza Frequenza relativa CC /2000 = 0,237 CT /2000 = 0,251 TC /2000 = 0,248 TT /2000 = 0, f( 1testa)

31 Cenni di calcolo delle Probabilità MOLTIPLICAZIONE Eventi indipendenti: Ad es. il lancio di due monete p(a e B) = p(a) x p(b) Eventi non indipendenti p(a e B o entrambi) = p(b) x p(a B)

32 Distribuzioni di probabilità < >80

33 f(y) La distribuzione Normale : Funzione di densità di probabilità y

34 f(y) La distribuzione Normale : Funzione di distribuzione cumulativa di probabilità y

35 La distribuzione Normale : Funzione di densità di probabilità f ym ( y) e 2 2 REGOLA EMPIRICA: IL TRATTO DI CURVA COMPRESO TRA LA MEDIA E: ± 1 DEVIAZIONE STANDARD RAPPRESENTA IL 68% DELL AREA TOTALE ± 2 DEVIAZIONI STANDARD RAPPRESENTA IL 95% DELL AREA TOTALE ± 3 DEVIAZIONI STANDARD RAPPRESENTA IL 99% DELL AREA TOTALE

36 f(y) La distribuzione Normale : I parametri fondamentali sono m e y

37 La distribuzione Normale standardizzata Z z y y z

38 Applicazioni della distribuzione Normale standardizzata La statura media degli italiani è di cm 170 con una deviazione standard di cm 15. Se si prende un italiano a caso, che probabilità si ha di trovare un individuo di altezza superiore a cm 190? Bisogna standardizzare la variabile z

39 Applicazioni della distribuzione Normale standardizzata z Quindi p(h>cm 190)= 9.2%

40 La distribuzione binomiale Variabili categoriali (positività) Tentativi e Successi Importante la probabilità puntuale Esempio: Poniamo che la prevalenza della forma subclinica della mastite negli ovini in Sardegna sia del 30%. In queste condizioni, se nel corso di un indagine sanitaria 15 pecore vengono sottoposte ad un test capace di individuare la mastite, che probabilità ci sono di trovare 10 animali infetti?

41 La distribuzione binomiale N. di successi = 10 N. di prove = 15 Probabilità di successo per ciascuna prova= 0.3 La risposta è

42 CONTROL CHARTS Monitoraggio della qualità di un processo produttivo Mantenimento di una qualità uniforme Individuazione del momento in cui la qualità cambia 3 LINEE Centrale (media generale) = Y C Y nk Superiore = Y C 3 Inferiore = n Y C 3 n

43 Controllo sulla qualità del colore di tappeti Campione somma range 1 2,4 1,8 0,7 1 2,5 8,4 1,8 2 2,3 3 2,5 1,2 3,1 12,1 1,9 3 1,3 1,2 0,9 1,2 3 7,6 2,1 4 0,5 2,2 2,4 1,5 3 9,6 2,5 5 2,8 1,9 2,6 1,3 2,9 11,5 1,6 6 2,4 3,1 1,7 3,3 2,6 13,1 1,6 7 2,5 2,9 1,4 4 2,1 12,9 2,6 8 1,1 2,9 3 1,4 2,8 11,2 1,9 9 3,3 2,2 2,7 2,8 2,1 13,1 1,2 10 0,8 4,2 2,3 1,4 2,1 10,8 3,4 11 0,2 2,6 2,3 0,7 4, ,8 1,6 2,3 2,1 1,7 9,5 0,7 13 0,1 3,9 2,3 1,4 1 8,7 3,8 14 1,1 3,1 1,8 0,9 1,8 8,7 2,2 15 0,5 0,9 4 2,2 2,8 10,4 3,5 16 2,9 3,3 1,9 3,1 2,3 13,5 1,4 17 3,5 2 2,5 2 0,3 10,3 3,2 18 2,5 2,1 2,7 1,7 1,5 10,5 1,2 19 1,1 3,9 2,7 1,2 1,3 10,2 2,8 20 1,4 2 2,5 4,2 2,4 12,5 2,8 21 2,2 1,9 0,7 1,3 1,4 7,5 1,5 22 1,5 1,5 1,1 2,3 2,4 8,8 1,3 23 2,2 1,3 2,5 1,9 0,7 8,6 1,8 24 1,7 0,1 1,8 0,7 2,1 6, ,7 1,5 1,9 0,6 4,6 12,3 4

44 Regola pratica per determinare r dn r = range medio; d n lo si ricava da una tabella (nel nostro caso è 2,326) 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, LSUP Yc LINF DATI

45 INFERENZA STATISTICA

46 CAMPIONE Media = Y Varianza = s 2 STATISTICHE Deviazione standard = s INFERENZA STATISTICA POPOLAZIONE Media = m Varianza = 2 PARAMETRI Deviazione standard =

47 DOMANDE A CUI RISPONDE L INFERENZA STATISTICA 1.Stima di un parametro Quale è la media della produzione di latte delle pecora di razza Sarda? 2. Test di ipotesi La media della produzione di latte della pecora di razza Sarda è diversa da quella della pecora di razza Comisana?

48 STIMA DELLA MEDIA DI UNA VARIABILE CONTINUA Teorema del limite centrale Se campioni casuali di numerosità n sono estratti da una popolazione con media m e deviazione standard, quando n è grande, l istogramma di frequenza delle medie di tali campioni sarà approssimativamente normale (forma a campana) con media m e deviazione standard (o errore standard della media) x = n

49 Esempio: media della produzione di latte della pecora Sarda m = 200 l = 50 l Se si prendono 1000 campioni, ognuno costituito da 100 pecore (n), le medie di questi campioni saranno distribuite normalmente con media 200 e deviazione standard x = n

50 La distribuzione Normale : Funzione di densità di probabilità f ym ( y) e 2 2 REGOLA EMPIRICA: IL TRATTO DI CURVA COMPRESO TRA LA MEDIA E: ± 1 DEVIAZIONE STANDARD RAPPRESENTA IL 68% DELL AREA TOTALE ± 2 DEVIAZIONI STANDARD RAPPRESENTA IL 95% DELL AREA TOTALE ± 3 DEVIAZIONI STANDARD RAPPRESENTA IL 99% DELL AREA TOTALE

51 NELLA DISTRIBUZIONE NORMALE: m ± 1.96 DEVIAZIONI STANDARD RAPPRESENTA IL 95% DELL AREA TOTALE NELLA DISTRIBUZIONE DELLE MEDIE CAMPIONARIE: m ± 1.96 n RAPPRESENTA IL 95% DELL AREA TOTALE Tutte le volte che la media del campione è compresa tra m ± 1.96 cioè nel 95% dei casi, l intervallo Y ± 1.96 conterrà la vera media della popolazione da cui il campione è stato estratto Y n n

52 Intervallo di confidenza al 95% per la media Y ± 1.96 n Contiene al 95% di probabilità il valore della media della popolazione m z

53 Continuando l esempio.. = 50 l n = 100 = x 5 = x 5 =184.2 Y In base a quanto osservato nel campione, la media produttiva della pecora Sarda è compresa, al 95% di probabilità, tra e litri

54 Formula generale per la stima dell intervallo di confidenza di una media sulla base dei dati di un campione estratto casualmente dalla popolazione Y ± Z a/2 n Dove 1 a = livello di confidenza

55 L ampiezza dell intervallo di confidenza dipende dalla numerosità del campione: Numerosità (n) errore standard limite inferiore limite superiore , ,737 18, , ,168 18, , ,337 19,663

56 L ampiezza dell intervallo di confidenza dipende dall errore che si è disposti a compiere nello stimare la media Coefficiente confidenza (1-a) di a a/2 z a/2 Limite inferiore Limite superiore 0,90 0,10 0,05 1,645 17, , ,95 0,05 0,025 1,96 17, , ,99 0,01 0,005 2,575 16, ,09248

57 Calcolo della dimensione ottimale del campione Esigenze contrapposte Validità scientifica dell esperimento Costi e problemi logistici di realizzazione

58 Fattori da considerare Errore tollerabile Determina l ampiezza dell intervallo di confidenza Livello di confidenza

59 Formula per il calcolo della dimensione del campione n Z a / e 2 dove e = errore tollerabile = Deviazione standard della popolazione 1-a = coefficiente di confidenza

60 Esempio: calcolo della dimensione ottimale del campione per la stima del peso corporeo di pecore Sarde e = 2 a = 5% = 12 a/2 = Z a/2 = 1.96 n

61 Inferenza sul parametro binomiale In un campione casuale di dimensione n estratto casualmente da una popolazione in cui la percentuale di eventi positivi è pari a p, la migliore stima di p è data dalla percentuale di successi del campione ˆ y n y = numero di eventi positivi nel campione

62 La distribuzione del parametro binomiale può essere approssimata dalla distribuzione normale Media mˆ Errore standard ˆ 1 n Intervallo di Confidenza al 95% ˆ z a / 2 ˆ

63 Esempio: calcolo dell intervallo di confidenza al 90% della percentuale di individui affetti da intolleranza al latte vaccino n = 250 y = 86 ˆ ˆ

64 Esempio: calcolo dell intervallo di confidenza al 90% della percentuale di individui affetti da intolleranza al latte vaccino ˆ z Quindi = ± (1.645 x ) a / 2 ˆ = ± costituisce l intervallo di confidenza al 90% La proporzione di individui affetti da intolleranza al latte è contenuta al 90% di probabilità nell intervallo

65 Formula per il calcolo della dimensione del campione n Z 2 1 a / 2 e 2 dove e = errore tollerabile = Proporzione di successi nella popolazione 1-a = coefficiente di confidenza

66 Esempio: calcolo della dimensione ottimale del campione per la stima della prevalenza della mastite in pecore Sarde e = 0.02 a = 5% = 0.5 a/2 = Z a/2 = 1.96 n ( ) 2401