LA MEDIANA (Caratteri almeno qualitativi ordinati)

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1 LA MEDIANA (Caratteri almeno qualitativi ordinati) Fino ad ora ci siamo occupati della determinazione di misure di sintesi per caratteri quantitativi. In questo modo abbiamo definito ed illustrato le medie, in particolare la media aritmetica e le media geometrica. Come abbiamo visto il calcolo di queste medie consiste nell eseguire alcune operazioni (somma o prodotto) con le modalità del carattere; è per questo che occorre che i caratteri siano quantitativi. Ma cosa fare quando non lavoriamo con caratteri quantitativi? Consideriamo caratteri che siano almeno qualitativi ordinati, cioè le cui modalità (e di conseguenza le unità) possano essere ordinate - dalla meno importante alla più importante (se il carattere è qualitativo) - dalla più piccola alla più grande (se il carattere è quantitativo). Distribuzioni di frequenze Consideriamo la distribuzione di frequenze in cui abbiamo già ordinato le modalità, cioè dove x 1 < x 2 < < x k. x i x 1 x 2 x k f i f 1 f 2 f k Il nostro obiettivo è: riassumere alcune delle informazioni in essa contenute mediante un valore di sintesi. Esempio: abbiamo intervistato 100 persone e abbiamo ottenuto la seguente distribuzione per titolo di studio. Intanto osserviamo che il carattere è qualitativo ordinato e riportiamo la nostra distribuzione con le modalità già ordinate in modo crescente. In questo modo possiamo calcolare subito le frequenze cumulate assolute e relative. Titolo di studio n i f i N i F i Nessuno (N) Lic. Elementare (E) Lic. Media Inf. (MI) Freq. Rel. complessiva = 0.37<0.5 Lic. Media Sup. (MS) Laurea (L) Freq. Rel. complessiva = 0.19<0.5 Totale Osserviamo che: la modalità MS presenta una caratteristica speciale. E l unica modalità tale che: 1. le modalità minori di MS hanno una frequenza relativa cumulata minore di 0.5 (infatti F(MI) = 0.37) 2. le modalità maggiori di MS hanno una frequenza relativa complessiva minore di 0.5 (infatti F(L) = 0.19). 1

2 In altre parole MS è l unica modalità che spezza la distribuzione di frequenze in due parti, ognuna delle quali con frequenza relativa minore di 0.5. MS viene detta, grazie a questa proprietà, mediana della distribuzione. Definizione: la mediana di una distribuzione è la più piccola modalità che lascia alla sua sinistra e alla sua destra una frequenza relativa minore o uguale a 0.5. Ossia la mediana è la più piccola modalità, diciamo x j, tale che F j-1 < 0.5 e F j 0.5 Esempio: numero di esami superati da un gruppo di 20 studenti del 1 anno all inizio del terzo quadrimestre. Esami n i f i F i Totale 20 1 Qual è la modalità mediana? Risposta: 2 esami Verifichiamo: F(1) = 0.25 < 0.5 e F(2) = 0.65 > 0.5 Dalla definizione che abbiamo dato di mediana e dagli esempi presentati, si vede che la mediana è un valore di sintesi che va ad indicare un punto centrale della distribuzione. In sostanza la mediana è un centro intorno al quale si dispone la distribuzione. Osservazione: è immediato vedere che la mediana può essere ricavata graficamente dalla funzione di ripartizione Mediana n.esami 2

3 Fin qui abbiamo visto come si calcola la mediana quando i dati sono in forma di distribuzione di frequenze. Distribuzioni unitarie. Passiamo adesso a considerare il caso in cui i dati sono in forma di distribuzione unitaria. Esempio: si chiede a 5 persone di esprimere, con un numero tra 0 e 10, il loro livello di soddisfazione relativo al consumo di un determinato bene. Le risposte sono state Come prima cosa mettiamo in ordine crescente le 5 risposte La modalità 4 è la mediana. Infatti è la modalità che - lascia alla sua sinistra meno del 50% delle osservazioni, esattamente ne lascia il = 40%, 5 - lascia alla sua destra meno del 50% delle osservazioni, esattamente ne lascia = 40% 5 In altre parole 4 è la modalità presentata dall unità che occupa il posto centrale nella distribuzione unitaria. Consideriamo lo stesso esempio ma limitiamoci a rilevare il livello di soddisfazione di solo quattro persone. Le risposte sono Come prima cosa mettiamo in ordine crescente le 4 risposte La modalità 2 è la mediana. Infatti è la più piccola modalità che - lascia alla sua sinistra meno del 50% delle osservazioni, esattamente ne lascia = 25% in quanto F(0)=1/4 e 4 - lascia alla sua destra il 50% delle osservazioni, esattamente ne lascia il = 50% In generale, quando si ha una distribuzione unitaria x 1, x 2,, x n dove i termini sono posti in ordine non decrescente, 3

4 a) se la numerosità del collettivo è dispari allora la mediana (che indichiamo con M e ) è data x N + 1 e cioè dalla modalità presentata dall unità che occupa il posto centrale 2 nella distribuzione ordinata; b) se la numerosità del collettivo è pari allora la mediana è data da x N e cioè dalla 2 modalità presentata dall unità che occupa il posto 2 N nella distribuzione ordinata. Esempio: Consideriamo dati relativi al rendimento percentuale a un anno di 17 fondi di investimento. Abbiamo questi dati in forma di distribuzione unitaria; Ordiniamo le osservazioni N=17, quindi siamo nel caso dispari e sappiamo che la mediana è data dalla modalità associata all osservazione che occupa il 9 posto ovvero M e =30.5 Osservazione: in molti libri di testo il caso di N pari viene trattato come segue. Si nota innanzitutto che ci sono due unità centrali (nell esempio del livello di soddisfazione sono la seconda e la terza osservazione). Pertanto esistono due modalità mediane: quella associata alla seconda osservazione e quella associata alla terza. Se il carattere è quantitativo si può considerare come mediana la semisomma di questa due modalità. In generale data la distribuzione unitaria con N pari, le modalità mediane sono x N e x N xn + xn Inoltre se il carattere è quantitativo si pone per convenzione M e = 2 Nell esempio del livello di soddisfazione non è possibile fare questa operazione perché il carattere è qualitativo. Se invece torniamo all esempio dei fondi di investimento e supponiamo di rilevare il rendimento percentuale anche di altri tre fondi (siano essi ). Abbiamo la seguente distribuzione unitaria ordinata Osserviamo che N=20, quindi le modalità mediane sono quelle associate alle unità che occupano il 10 e il 11 posto nella lista ordinata ovvero 30.1 e Il carattere è quantitativo e si può scrivere che M e = ( )/2=30.3 Esempio (delle ore di straordinario dell infermiere) La distribuzione unitaria relativa alle ore di straordinario fatte da un infermiere nei 12 mesi dell anno è: 10, 12, 11, 5, 7, 10, 5, 0, 7, 10, 7, 12. Troviamo la mediana. Come prima cosa ordiniamo le osservazioni in modo non decrescente. La distribuzione ordinata è 4

5 Siamo nel caso di N pari e quindi applicando il punto b) abbiamo che la mediana è x 6 cioè 7 ore. Consideriamo i dati mensili, relativi alle ore di straordinario di un secondo infermiere. 10, 12, 11, 5, 7, 10, 5, 0, 7, 10, 7, 16. Vediamo che il secondo infermiere ha fatto ogni messe le stesse ore di straordinario fatte dal primo infermiere con la sola eccezione del mese di dicembre (l ultimo della lista) durante il quale il secondo infermiere ha fatto 16 e non 12 ore di straordinario. Calcoliamo la mediana. La distribuzione ordinata è N=12 quindi M e = x6 = 7. Vediamo quindi che il valore mediano è lo stesso per il primo e per il secondo infermiere anche se il secondo nel mese di dicembre ha fatto più ore di straordinario. Calcoliamo, ora, la media aritmetica di questa distribuzione; è µ = = Quindi il numero medio di ore di straordinario fatte dal secondo infermiere è 8.33 mentre il numero medio di ore di straordinario fatte dal primo infermiere era 8. Notiamo che è bastato cambiare un solo dato (in particolare il valore più grande) perché la media aritmetica ne risentisse subito. Infatti la media aritmetica ha reagito ad un valore estremo più alto crescendo. La mediana invece è rimasta la stessa. La proprietà di robustezza In termini più formali si dice che la mediana gode della proprietà di robustezza. Questa proprietà risulta particolarmente utile quando abbiamo il sospetto che alcune modalità molto grandi o molto piccole siano anomale e frutto di errore di rilevazione o semplicemente di situazioni fortemente atipiche. La media aritmetica non gode della proprietà di robustezza perché è sensibile alla presenza di valori estremi. Quindi da un lato abbiamo che la media aritmetica, in quanto valore calcolabile solo per caratteri quantitativi, è il valore centrale più informativo. D altro lato abbiamo che, dal momento che la media aritmetica ha la caratteristica di essere molto informativa, presenta lo svantaggio di essere molto sensibile alla presenza di valori estremi oppure di valori anomali. La mediana, invece, potendo essere calcolata anche solo per caratteri qualitativi ordinabili è molto poco sensibile alla presenza di valori anomali. La mediana infatti indica quella modalità che bipartisce la distribuzione. Infatti: al più il 50% delle unità presenta modalità più piccole o al più uguali alla mediana e al più il 50% delle unità presenta valori più grandi o al più uguali alla mediana. Osservazione: la media aritmetica e la mediana calcolate a partire dallo stesso data set, come abbiamo visto, possono essere diverse. Ciò non deve stupire perché esse corrispondono a due diverse definizioni di centro di una distribuzione. Quando la media aritmetica e la mediana di una stessa distribuzione sono molto diverse tra loro, allora è consigliabile riportarle entrambe. Consideriamo la seguente distribuzione di redditi $40000 $50000 $58000 $60000 $

6 Questa è sintetizzata meglio dalla mediana (piuttosto che dalla media aritmetica) perché la mediana non è influenzata dal valore estremo $ Infatti M e =$58000 e µ=$ Quindi quando vi offriranno un lavoro, non chiedete a chi ve lo sta offrendo lo stipendio medio nell azienda. Prima di scegliere se accettare l offerta, chiedete lo stipendio mediano! Distribuzioni in classi. Vediamo prima di tutto un esempio. Consideriamo la distribuzione dei tempi attesa di 90 clienti di una banca prima di essere serviti. La distribuzione è la seguente Minuti di n i f i F i attesa Il carattere rilevato tempo di attesa è quantitativo continuo quindi la funzione di ripartizione è continua (in particolare è data dalla spezzata nella figura sotto). Vediamo come si individua graficamente la mediana a partire dalla funzione di ripartizione. Sappiamo che la mediana è la modalità posseduta da quella unità che occupa il centro della distribuzione (una volta ordinata). In sostanza la mediana è quel valore che, dividendo in due parti uguali la distribuzione, fa sì che F(M e )=0.5. Pertanto tracciamo la retta orizzontale F(x) = 0.5. Questa interseca la funzione di ripartizione; proiettiamo questo punto di intersezione sull asse delle ascisse. Questo punto (ovvero il quadrato rosso sull asse delle ascisse) è la mediana. Quindi abbiamo individuato: 1. la classe mediana, che è la mediana (approssimativamente), che è circa 7 minuti. 1 F(x) tempo attesa (x) Mediana 6

7 ******* Consideriamo qui il caso in cui si sia rilevato un carattere quantitativo (continuo) e la distribuzione sia in classi. Questo rappresenta il caso più complicato perché è il caso in cui abbiamo meno informazioni: di ogni unità conosciamo solo la classe a cui appartiene ma non il valore esatto della modalità che presenta. In altre parole disponiamo solo delle classi e delle rispettive frequenze ma non sappiamo nulla della distribuzione delle unità all interno delle classi. Occorre quindi, come abbiamo sempre fatto quando ci siamo trovati in questa situazione, introdurre l ipotesi di uniforme distribuzione delle unità all interno di ogni classe. Definizione: la mediana è l unico valore x tale che F(x) = 0.5. Vediamo come si calcola la mediana. 1) A partire dalla distribuzione di frequenze, calcolo le frequenze cumulate X f i F i c 0 - c 1 f 1 F 1 c 1 c 2 f 2 F 2 c i-1 - c i f i F i c K-1 - c K f K F K 2) Cerco la classe mediana, cioè la classe (c i-1, c i ) tale che F i-1 < 0.5 e F i 0.5 La mediana è in (c i-1, c i ). 3) Adesso dobbiamo individuare la mediana all interno della classe mediana. Per fare ciò abbiamo bisogno della funzione di ripartizione.sappiamo che F (x) = Fi 1 + hi( x c) per c x < ci quindi è molto semplice individuare in (c i-1, c i ) quel punto x tale F(x) = 0.5 Basta risolvere: 0.5 = Fi 1 + hi( x c) Dopo i seguenti passaggi 0.5 Fi 1 = hix hic i da cui segue h x = 0.5 F si ha i 1 + h c i Indichiamo questo valore x con M e 1 x = c + ( 0.5 F ). h i fi È importante notare che, poiché hi =, la formula per la mediana può ci c essere equivalentemente scritta come segue 7

8 M e = c ci c + f i ( 0.5 F ) Le due formule sono equivalenti; può essere utile usare la seconda qualora si siano già calcolate le densità. Esempio. Consideriamo la seguente distribuzione in classi (di cui abbiamo in precedenza calcolato le media aritmetica) Classe c i 1 c i f i F i Totale 1 Individuiamo la classe mediana. Vediamo che è la classe perché F(170)<0.5 precisamente F(170)= e F(175) > 0.5 precisamente F(175)= La mediana è data da M e = ( ) = = Osservazione: come abbiamo visto la mediana viene calcolata usando in modo inverso la funzione di ripartizione. Questo ci fa capire che la mediana può anche essere individuata graficamente proprio a partire dal grafico della funzione di ripartizione. Torniamo all esempio dei tempi di attesa in banca e calcoliamo esattamente la mediana 10 5 M e = 5 + ( ) = Quindi abbiamo una conferma dell esattezza del risultato ottenuto mediante la semplice analisi grafica. Proprietà della mediana Vediamo se la mediana gode delle proprietà che avevamo presentato come desiderabili per i valori medi. La mediana è: 1. Consistente 2. Monotona in senso debole Se consideriamo le due distribuzioni 30,30,30 e 30,30,50 osserviamo che la mediana sia nel primo caso che nel secondo caso è pari a 30 anche se la seconda distribuzione è statisticamente più grande. 3. Interna 8

9 4. Non necessariamente Associativa Per dimostrare questa affermazione è sufficiente mostrare un esempio dove non è valida la proprietà associativa. Consideriamo la distribuzione unitaria 2,2,2,4,3,3,4 e la sua partizione nelle due distribuzioni parziali 2,2,2,4 e 3,3,4. Calcoliamo la mediana delle due distribuzioni parziali: M = 2 e M = 3. Osserviamo che la mediana della distribuzione 2,2,2,2,3,3,3, è pari a 2, ed è diversa da quella della distribuzione iniziale, pari a 3. Inoltre abbiamo già visto che la mediana è 5. Robusta In altri termini, è poco influenzata dai valori estremi della distribuzione. Ad esempio, osserviamo che le due distribuzioni 1, 2, 3 e 1, 2, 100 hanno la stessa mediana ma una diversa media aritmetica. Questa proprietà risulta particolarmente utile quando abbiamo il sospetto che alcune modalità molto grandi o molto piccole siano anomale e frutto di errori di rilevazione o semplicemente di situazioni fortemente atipiche. e 1 e 2 9

10 QUANTILI E QUARTILI Definizione: data una frazione α, 0 < α < 1, il quantile di ordine α, è la più piccola modalità x del carattere tale che F j-1 < α e F j α Notiamo che se α=0.5 allora si ha la mediana. Il caso che si presenta più di frequente è quello dei quartili. I quartili dividono la distribuzione in quattro parti, ognuna delle quali contiene il 25% della numerosità totale. Il primo quartile è la modalità che lascia alla sua sinistra al più il 25% delle unità e alla sua destra al più il 75% delle unità. Si indica con Q 1 e corrisponde al caso α=0.25 Il secondo quartile è la modalità che lascia alla sua sinistra al più il 50% delle unità e alla sua destra al più il 50% delle unità. Cioè il secondo quartile è la mediana e lo si indica con M e e corrisponde al caso α=0.5. Il terzo quartile è la modalità che lascia alla sua sinistra al più il 75% delle unità e alla sua destra al più il 25% delle unità. Si indica con Q 3 e corrisponde al caso α=0.75. I quantili si definiscono e, di conseguenza, si calcolano in modo analogo alla mediana. Pertanto, proprio come la mediana, i quantili vengono calcolati con l ausilio della funzione di ripartizione e quindi possono anche essere individuati graficamente a partire dal grafico della funzione di ripartizione stessa. Consideriamo prima il caso delle distribuzioni di frequenza (non in classi). Esempio (degli esami superati). Esami n i f i F i Totale 20 1 Q 1 = 1 Q 2 = M e = 2 Q 3 = 3 Consideriamo le distribuzioni in classi. Definizione: data una frazione α, 0 < α < 1, il quantile di ordine α, è la modalità x del carattere tale che F(x) = α Notiamo che se α=0.5 allora si ha la mediana. Come per il calcolo della mediana, si determina il quantile di ordine α come segue: 1) Si calcolano le frequenze cumulate 2) si individua la classe in cui cade il quantile 3) si applica la formula 10

11 i ( x c ) α = F + h da cui si ricava x = c + 1 h i i ( α F ) = c + ( α F ) c c f i Concentriamo l attenzione sul calcolo dei tre quartili. Il primo quartile si calcola applicando la procedura sopra e ponendo α=0.25. Il secondo quartile (ovverosia la mediana) si calcola applicando la procedura sopra e ponendo α=0. 5. Il terzo quartile si calcola applicando la procedura sopra e ponendo α=0.75. Per chiarire meglio riprendiamo l esempio della statura visto nella parte dedicata alla mediana. Esempio (statura). Classe c i 1 c i f i F i Totale 1 Calcoliamo il primo quartile. Individuiamo la classe a cui appartiene. Vediamo che è la classe perché F(165)<0.25 precisamente F(165)= e F(170) > 0.25 precisamente. F(170)=0.287 Il primo quartile è dato da Q 1 = ( ) = = Non ci soffermiamo sul calcolo della mediana che abbiamo già visto prima. M e = Passiamo al calcolo del terzo quartile. Individuiamo la classe a cui appartiene. Vediamo che è la classe perché F(175)<0.75 precisamente F(175)= e F(180) > 0.75 precisamente. F(180)= Il primo quartile è dato da Q 3 = ( ) = =

12 LA MODA (Caratteri di qualunque tipo) L ultima tipologia di caratteri per i quali ancora non è stato proposto un valore medio è quella dei caratteri qualitativi sconnessi. Il valore medio che andiamo a introdurre può pertanto essere calcolato per tutti quanti i tipi di carattere. In questo caso, il criterio di sintesi più semplice si ottiene prendendo come valore medio, la moda, M o, della distribuzione. Distribuzioni di frequenze Definizione: la moda è la modalità a cui è associata la massima frequenza (assoluta, relativa o percentuale). Esempio: consideriamo la distribuzione per tipo, di 21 fondi di investimento Tipo di azioni n i (obiettivo) GI 6 IL 7 MC 2 SC 4 TK 2 Totale 21 La moda è data dal tipo di azione IL perché ha la frequenza più alta. Esempio: consideriamo la distribuzione per confessione Religione n i Cristiana 317 Musulmana 269 Animista 68 Altro 8 Totale 662 La moda è la religione cristiana perché è quella che ha la frequenza maggiore. Osservazione: la moda si trova molto facilmente mediante il grafico con il quale si rappresenta la distribuzione. Se, ad esempio, rileviamo un carattere qualitativo sconnesso (come nell esempio della religione) la moda è indicata dalla modalità a cui corrisponde la colonna più alta o il nastro più lungo. Ad esempio nel caso dei fondi di investimento il diagramma a barre verticali è dato dal grafico seguente da cui si vede che la colonna più alta è quella relativa a IL. 12

13 Tipo di azioni GI IL MC SC TK Per i caratteri quantitativi divisi in classi invece della moda si può individuare la classe modale. Definizione: la classe modale è la classe a cui è associata la massima densità (assoluta, relativa o percentuale). Quindi, proprio come nel caso della rappresentazione grafica, anche ora, quando abbiamo una distribuzione in classi dobbiamo ragionare in termini di densità e non di frequenza. Ne deriva che quando si ha una distribuzione in classi il grafico da cui si può individuare la classe modale è l istogramma di densità. Esempio: la tabella seguente riporta la distribuzione in classi di reddito delle famiglie bianche negli Stati Uniti (anno 1987). Come esercizio, costruire gli istogrammi relativi alle due distribuzioni che seguono. Cerchiamo la classe modale. Reddito (in migliaia di $) f i α i h i Totale 1 Pertanto calcoliamo le densità e vediamo che la classe modale è (migliaia di $) Vediamo l istogramma 13

14 0,02 Densità 0,01 0, Reddito Consideriamo adesso la stessa distribuzione ma questa volta riferita alle famiglie non bianche. f i Reddito (in migliaia di $) α i h i Totale 1 La classe modale è In questo modo, possiamo vedere che nel 1987 negli Stati Uniti la classe di reddito con maggiore frequenza (a cui, cioè appartiene il numero maggiore di famiglie) è più bassa quando si considerano le famiglie di colore piuttosto che le altre. Proprietà della moda 1. Consistente 2. non necessariamente Monotona Ad esempio se consideriamo le due distribuzioni 1, 2, 2, 3, 3, 3 e 1, 2, 2, 3, 4, 5 osserviamo che la moda nel primo caso è pari a 3 mentre nel secondo è pari a 2 anche se la seconda distribuzione è statisticamente più grande. 3. Interna 4. non necessariamente associativa 14

15 Consideriamo la distribuzione unitaria 1,3,3,4,2,2,2,2 e la sua partizione nelle due distribuzioni parziali 1,3,3,4 e 2,2,2,2. Le mode delle due distribuzioni parziali risultano rispettivamente i valori 3 e 2. Quindi la distribuzione 3,3,3,3,2,2,2,2 ha due mode pari a 2 e 3 (distribuzione bimodale), mentre la moda della distribuzione iniziale è pari a non necessariamente unica Una distribuzione può presentare più di una moda se vi sono più modalità che presentano il massimo delle frequenze. Nel caso in cui una distribuzione abbia più di una moda si dice plurimodale. Esempio: supponiamo di avere una distribuzione del tipo che segue n i n o figli Si vede immediatamente che questa distribuzione ha due mode perché la frequenza massima è 100 e sono ben due le modalità (ovvero 0 figli e 2 figli) a presentare una frequenza pari a 100. Pertanto questa distribuzione viene detta plurimodale o, più precisamente, bimodale. 15

16 Alcune considerazioni sui valori medi Abbiamo visto che ogni valore medio fornisce delle informazioni sulla distribuzione. Media, mediana e moda forniscono la stessa quantità di informazione? La risposta è NO. Esse infatti sono calcolate per tipi diversi di caratteri (in particolare modo per caratteri che occupano posti diversi della gerarchia). Si ha che tanto più è alto il posto nella gerarchia occupato dal carattere che analizziamo, tanto più è informativo il valore medio specifico per quel carattere. D altro lato un valore medio tanto più è informativo, tanto meno è robusto. Più chiaramente: - se analizzo lo stato civile (carattere qualitativo sconnesso) posso solo calcolare la moda. Il carattere qualitativo sconnesso (nel nostro esempio lo stato civile) occupa il posto più basso nella gerarchia e quindi la moda è un valore medio con bassa capacità informativa. Basta infatti osservare che per trovare la moda di una distribuzione non è necessario eseguire alcuna operazione (anche perché, vista la natura del carattere, non sarebbe possibile farla). D altro lato la moda è il valore medio più robusto. - Se ho una distribuzione del collettivo per titolo di studio (carattere qualitativo ordinato) il valore medio specifico per questa distribuzione è la mediana (ovviamente potrei anche calcolare la moda): Il carattere qualitativo ordinato occupa un posto medio nella gerarchia e quindi la mediana è un valore medio con capacità informativa media e robustezza media. - Se ho una distribuzione del collettivo per reddito (carattere quantitativo) il valore medio specifico per questa distribuzione è la media (ovviamente potrei anche calcolare la mediana e la moda): Il carattere quantitativo occupa il posto più elevato nella gerarchia e quindi la media è un valore medio con elevata capacità informativa. Questo perché esso è ottenuto eseguendo operazioni algebriche sulle modalità e tiene pertanto conto di ogni singola valore numerico delle modalità. La media è il valore medio meno robusto Livello nella gerarchia Tipo di caratteri Tipo di grafico Alto Quantitativi Istogramma di densità Medio Basso Qualitativi Ordinati Qualitativi Sconnessi Istogramma di frequenze Diagramma barre Grafico a torta Valori medi calcolabili Media (specifico del suo livello) Mediana Moda Mediana (specifico del suo livello) Moda Moda (specifico del suo livello) Osservazione: abbiamo appena elencato la capacità informativa del valore medio specifico per il livello gerarchico del carattere. Supponiamo adesso di avere rilevato un carattere quantitativo; sappiamo che, volendo sintetizzare la distribuzione, possiamo scegliere tra moda, mediana e media. Quale delle tre è meglio calcolare? Escludiamo la moda perché ha capacità informativa troppo bassa. Che valore medio scegliere tra mediana e media? E difficile dirsi ma si possono fare delle considerazioni: 16

17 1. si vuole cercare di evitare ogni perdita di informazione; ne segue che è preferibile la scelta della media. 2. Si deve stare molto attenti, come abbiamo già visto, alla presenza di valori anomali nella nostra distribuzione. la media è molto informativa e quindi è anche molto sensibile ad essi. Questa considerazione porta quindi ad optare per la mediana che è robusta. Da queste due considerazioni segue che la scelta del valore medio da calcolare deve essere sempre preceduta da una valutazione iniziale della qualità dei dati di cui si dispone. Torniamo alla media aritmetica e alla sua capacità informativa. La media è informativa al punto di consentire di ricostruire anche un dato mancante nella nostra distribuzione. Vediamo un esempio. Supponiamo di avere rilevato il voto preso all esame di statistica da 6 studenti. Ne abbiamo anche calcolato la media aritmetica che è µ = Adesso vogliamo guardare i sei voti e ci accorgiamo che la parte inferiore del foglio su cui sono riportati i voti si è strappata e quindi il sesto voto è finito nel cestino. Ci è rimasta solo la seguente distribuzione x dove con x ho indicato il voto mancante. Possiamo ricostruire il valore mancante x usando la definizione stessa di media aritmetica x = da cui segue x = ( ) = 28 17