Problema del condannato*

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1 Problema del condannato* Esempio 35 In un paese orientale un prigioniero è stato condannato a morte da uno sceicco. Prima dell esecuzione, lo sceicco o re una possibilità di salvezza al condannato, mettendogli a disposizione 2 urne U 1 e U 2, con 2 palline bianche e 2 nere. Il condannato deve distribuire a suo piacere le palline nelle due urne, con la condizione che nessuna urna rimanga vuota. Verrà poi scelta a caso un urna da cui verrà estratta una pallina. Se la pallina estratta sarà bianca il prigioniero sarà graziato. Qual è la migliore ripartizione delle palline nelle due urne? Definiti gli eventi B la pallina estratta è bianca, H 1 viene utilizzata l urna U 1, H 2 viene utilizzata l urna U 2, la decisione migliore per il condannato è quella che rende massima la probabilità di B. Supponiamo che il condannato inserisca h palline bianche e k palline nere in U 1, con 0 <h+ k<4, elerimanenti4 h k palline in U 2. G. Sanfilippo - CdP pag. 138

2 Con tale strategia si ha P (B) P (H 1 )P (B H 1 )+P (H 2 )P (B H 2 ) h h+k + 2 h 4 h k. 1 2 Sostanzialmente, basta esaminare i seguenti casi (tra parentesi il simbolo indica una decisione equivalente che si può fare a meno di esaminare): 1. h 0, k 1( h 2, k 1); 2. h 0, k 2 ( h 2, k 0); 3. h 1, k 1; 4. h 1, k 0 ( h 1, k 2). Nel caso 1 si ha P (B) 1 2 ( )1 3 ; nel caso 2 si ha P (B) 1 2 ( )1 2 ; nel caso 3 si ha P (B) 1 2 ( )1 2 ; Nel caso 4 si ha P (B) 1 2 ( )2 3. Teorema di Bayes G. Sanfilippo - CdP pag. 139

3 Teorema di Bayes. Tale teorema mette in evidenza che le probabilità condizionate sono lo strumento teorico per apprendere dall esperienza, attraverso l aggiornamento delle valutazioni di probabilità di una o più ipotesi, man mano che lo stato di informazione cambia per e etto di nuovi dati o notizie. Dati E ed H, per il teorema delle probabilità composte si ha: P (EH) P (H)P (E H) P (E)P (H E), da cui, assumendo P (E) > 0, si ottiene P (H E) P (H)P (E H) P (E) (38) P (H)P (E H) P (H)P (E H)+P (H c )P (E H c ). (teorema o formula di Bayes nella sua versione più semplice). Se H rappresenta un ipotesi incerta di probabilità P (H) ed E un fatto osservabile, di probabilità P (E) e di probabilità condizionata ad H pari a P (E H), la (38) ci mostra come il grado di fiducia nei riguardi di H si modifica quando si suppone di aver osservato l evento E. G. Sanfilippo - CdP pag. 140

4 Pertanto, se si verifica l evento E, e nulla più, il nuovo grado di fiducia sull evento H può essere assegnato mediante il Teorema di Bayes. Cioè, se indichiamo con T 0 il momento in cui vengono assegnate le probabilità P 0 (H),P 0 (E),P 0 (E H) dal teorema delle probabilità composte segue che l unica assegnazione coerente per P 0 (H E) è d a t a d a P 0 (H E) P 0(H)P 0 (E H). P 0 (E) Se al tempo T 1 lo stato d informazione cambia perchè si è verificato l evento E, enulla più, allora, al tempo T 1, il valore di probabilità dell evento H può essere fissato pari al valore di probabilità P 0 (H E) che al tempo T 0 era stato attribuito all evento H E, ovvero P 1 (H) P 0 (H E). G. Sanfilippo - CdP pag. 141

5 Esempio 36 Un professore sottopone a uno studente un quesito con n 10possibili risposte, fra le quali una sola è esatta. Considerati gli eventi E la risposta dello studente è esatta, H lo studente è preparato e supposto che il professore valuti 1 5 la probabilità (iniziale) di H, calcolare la probabilità P (E) e la probabilità (finale) P (H E). Inoltre, posto P (H) p, determinare i valori di p per i quali si ha P (H E) > 1 2. Soluzione. Osservando che P (E H c ) 1 10 si ha P (E) P (E H)P (H) +P (E H c )P (H c ) Applicando il teorema di Bayes si ottiene P (H E) P (E H)P (H) P (E H)P (H) +P (E H c )P (H c ) Inoltre, p> p P (H E) 1 p 1 p+ 1 > 1 10 (1 p) 2, p 20, p( ) > 1 20, p> G. Sanfilippo - CdP pag. 142

6 Più in generale Esempio 37 Uno studente deve rispondere ad un quesito di esame indicando, tra n possibili risposte, quella corretta. Definiamo gli eventi: H lo studente è preparato, E lo studente risponde correttamente al quesito. Indichiamo inoltre con p P (H) la probabilità iniziale di H e supponiamo che le verosimiglianze siano P (E H) 1 e P (E H c ) 1/n. Quanto vale P (H E)? Applicando il teorema di Bayes si ottiene P (H E) Altri possibili aspetti da esaminare sono: np (n 1)p +1. P (H E) >p? P (H E) >P(H c E)? La Figura 24 mostra come varia P (E H) nel caso in cui n 3. G. Sanfilippo - CdP pag. 143

7 P(H E) P(H) Figura 24: Grafico di P (H E) 3P (H) 2P (H)+1 G. Sanfilippo - CdP pag. 144

8 Versione Generale Teorema di Bayes Data una partizione {H 1,...,H n } ed un evento E, per ogni fissato i 1,...,n,siha P (H i E) P (H i )P (E H i ) (versione generale del Teorema di Bayes) P (E) P (H i )P (E H i ) P (H 1 )P (E H 1 )+ +P (Hn)P (E Hn). (39) Nelle applicazioni, E rappresenta una osservazione in un dato esperimento, mentre {H 1,...,H n } sono le possibili ipotesi che spiegano l evento osservato. P (H i ), i 1,...,n, P (H i E), i 1,...,n, P (E H i ), i 1,...,n, sono le probabilità iniziali sono le probabilità finali sono le verosimiglianze La (39) ci mostra come P (H i ) si modifica in P (H i E) quando si suppone di aver osservato l evento E. In questo senso la formula di Bayes rappresenta lo strumento formale per apprendere dall esperienza. G. Sanfilippo - CdP pag. 145

9 Esempio 38 In un laboratorio di analisi di una data regione l esame denominato Ultra Screening e ettuato su una donna in gravidanza è e cace nell individuare che il feto sia a etto dall anomalia cromosomica Trisomia 21 nell 85% dei casi quando essa è presente nel feto. L esame tuttavia rileva anche dei falsi positivi nel 5% delle donne in gravidanza il cui feto non presenta la Trisomia 21. Cioè, se l esame è e ettuato su una donna incinta il cui feto non è a etto da Trisomia 21, con probabilità 0.05 il risultato del test è positivo, nel senso che il feto è dichiarato a etto dall anomalia cromosomica. Inoltre, dal database in possesso del laboratorio, risulta pari a 1/1500 la probabilità che nella popolazione regionale un feto sia a etto da Trisomia 21. Definiti gli eventi M il feto è a etto da anomalia cromosomica Trisomia 21 ed E il test Ultra Screening è positivo calcolare: 1) la probabilità che il feto di una donna sia a etto da Trisomia 21 supposto che il test dia un esito negativo; 2) la probabilità che il feto sia a etto da Trisomia 21 supposto che il test dia un esito positivo. (Si consiglia di calcolare le probabilità almeno sino alla 4 a cifra dopo la virgola). G. Sanfilippo - CdP pag. 146

10 Si ha P (E M) 0.85, P (E M c )0.05, P (M) Quindi, P (M E c ) P (M ^ Ec ) P (E c ) P (E c M)P (M) P (E c M)P (M) +P (E c M c )P (M c ) Inoltre [1 P (E M)]P (M) [1 P (E M)]P (M) +[1 P (E M c )][1 P (M)] 1 [1 0.85] [1 0.85] [1 0.05][ ] 1 [0.15] [0.15] [0.95][ ] ' P (M E) P (M ^ E) P (E) P (E M)P (M) 1 P (E c ) ' G. Sanfilippo - CdP pag. 147