L'enigma dei numeri primi

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1 L'enigma dei numeri primi Bardonecchia Dicembre 2016

2 Introduzione I numeri primi: sono un concetto semplice; ruolo fondamentale nella vita di tutti i giorni; stanno lasciando una lunga scia di congetture.

3 Introduzione Dio creò i primi 10 numeri, il resto è opera dell'uomo. Leopold Kronecker ( )

4 Introduzione

5 Introduzione

6 Introduzione Sistemi di numerazione: additivo; posizionale.

7 Cosa sono i numeri primi Teorema di divisibilità: (a; b) NxN, b 0! (q; r) NxN t.c. a = bq + r con 0 r b. I numeri q, r vengono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione di a per b. Se r = 0 allora b divide a, cioè a è divisibile per b.

8 Cosa sono i numeri primi Definizione di divisibilità: Dati a, b Z (b 0), si dice che b divide a, o che a è divisibile per b, se c Z t.c. a=bc. es. 4 divide 12 perché 3 t.c. 12=4 3

9 Cosa sono i numeri primi dim I criteri di divisibilità: per 2 deve essere pari; per 4 le ultime due cifre devono essere un multiplo di 4 oppure 00; per 5 deve terminare per 5 o 0; per 10 deve terminare per 0;

10 Cosa sono i numeri primi dim I criteri di divisibilità: per 3 la somma delle cifre deve essere un multiplo di 3; per 7 il numero che si ottiene sottraendo il doppio dell'ultima cifra al numero senza l'ultima cifra deve essere un multiplo di 7; per 11 la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari deve essere un multiplo di 11.

11 Cosa sono i numeri primi Definizione di numero primo: Un numero p N è primo se: p 1 e se gli unici divisori di p sono quelli banali (cioè 1 e p). In altre parole: p è primo #Div(p) = 2.

12 Cosa sono i numeri primi Crivello di Eratostene ( a.c.)

18 Cosa sono i numeri primi Come fare a decidere se un numero n è primo? Algoritmo brutale: dividiamo n per tutti i numeri m [2;n-1]; se m la divisione non è possibile, allora n è primo; se m per cui la divisione è possibile (n = m t; t N), allora n non è primo.

19 Cosa sono i numeri primi Come fare a decidere se un numero n è primo? Algoritmo meno brutale: dividiamo n per tutti i numeri m [2; n]; se m la divisione non è possibile, allora n è primo; se m per cui la divisione è possibile (n = m t; t N), allora n non è primo.

20 Cosa sono i numeri primi Crivello geometrico

21 Cosa sono i numeri primi dim Teorema fondamentale dell'aritmetica Ogni numero n 1 si scrive in modo unico come un prodotto di numeri primi. In altri termini: con i numeri primi si possono ottenere tutti gli altri numeri; i numeri primi sono i "mattoni" dell aritmetica.

22 Quanti sono i numeri primi Teorema: I numeri primi sono infiniti. Dimostrazioni: Euclide per assurdo Eulero utilizza le serie

23 Quanti sono i numeri primi dim Euclide ( a.c.)

24 Quanti sono i numeri primi Come rappresentare una successione an: Forma analitica: permette di ricavare l'n-esimo termine direttamente da n. Forma ricorsiva:ricavo l'n-esimo termine conoscendo i precedenti.

25 Quanti sono i numeri primi Esempio: successione dei numeri pari Forma analitica: an = 2n Forma ricorsiva: a0 = 0 an = an-1 + 2

26 Quanti sono i numeri primi Prova tu! Rappresenta in modo ricorsivo le seguenti successioni di numeri: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 2/4, 5/7, 10/12,...

27 Quanti sono i numeri primi Prova tu! soluzioni Rappresenta in modo ricorsivo le seguenti successioni di numeri: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 2n+1 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, n^2-1 2/4, 5/7, 10/12, (n^2+1)/(n^2+3)

28 Quanti sono i numeri primi Serie geometrica: Lo strano parcheggio: un parcheggio ha le seguenti tariffe: prima ora: 1 euro seconda ora: 1/2 euro terza ora: 1/4 euro quarta ora: 1/8 euro ecc... Quanto dovrò pagare per lasciare parcheggiata l auto per sempre?

29 Quanti sono i numeri primi dim Leonhard Euler ( d.c.)

30 Quanti sono i numeri primi Grandi lacune Osserviamo i numeri primi fra i primi 100 numeri: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Osserviamo i numeri primi da 100 a 200: 101, 103, 107, 109, 113, 119, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

31 Quanti sono i numeri primi dim Possono esserci lacune molto grandi, come, ad esempio, cinquantamila numeri successivi fra i quali non ci sia neppure un numero primo?

32 Quanti sono i numeri primi Per secoli i matematici hanno dedicato il loro tempo alla ricerca di una regola per descrivere i numeri primi. Ma se non si possono descrivere tutti, almeno studiamo il comportamento di alcuni di essi...

33 Quanti sono i numeri primi Due numeri primi si dicono gemelli se differiscono di due unità. (p, p+2) dove sia p che p+2 sono primi. es. (3, 5), (17, 19), (71, 73), (281, 283)

34 Quanti sono i numeri primi Congetture (da dimostrare): I numeri primi gemelli sono infiniti Euclide (300 a.c. ca.) Per ogni numero naturale k, esistono infinite coppie di numeri primi che differiscano di 2k Alphonse De Polignac (1849)

35 Logaritmi e numeri primi Logaritmi: uno degli strumenti matematici più potenti; nati come strumenti di calcolo (John Napier); grazie a Gauss fondamentali nello studio dei numeri primi.

36 Logaritmi e numeri primi Napeir-Nepair-Nepier-Neper-Napare-Naper-... John Napier ( ) Giovanni Nepero

37 Logaritmi e numeri primi Logaritmi introdotti per semplificare i calcoli: le moltiplicazioni diventano somme (di esponenti) = = = = = = log = log 10 ln = log e e =2, log = 3 log = 4 log = 5...

38 Logaritmi e numeri primi progressione geometrica x log x progressione aritmetica progressione geometrica x log 2 x progressione aritmetica

39 Logaritmi e numeri primi Grafico e proprietà Definizione: Il logaritmo in base a di b è quel numero al quale dobbiamo elevare a per ottenere b. log a b = c a c = b

40 Logaritmi e numeri primi Carl Friedrich Gauss ( )

41 Logaritmi e numeri primi Numeri primi minori di a (= ) a/la

42 Logaritmi e numeri primi Gauss: non cerca la formula dei numeri primi; studia la loro frequenza di apparizione; introduce la funzione: π(x)=quantità di numeri primi minori di x

43 Logaritmi e numeri primi x π(x)

44 Logaritmi e numeri primi π(x) x

45 Logaritmi e numeri primi x π(x) π(x) / x , , , , , , , , , ,

46 Logaritmi e numeri primi 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 π(x) / x 0,2 0,15 0,1 0, x

47 Logaritmi e numeri primi x π(x) x / π(x) , , , , , , Serie geometrica Serie aritmetica

48 Logaritmi e numeri primi Congettura di Gauss: Per valori grandi di x, il valore bene con ln x. x π(x) si approssima x π(x) ln x cioè π(x) x ln x

49 Logaritmi e numeri primi x / п(x) ln x x

50 Logaritmi e numeri primi Quanti numeri primi ci sono tra 1 e 1000? calcoliamo ln 1000; invertiamo il numero ottenuto (1/x); moltiplichiamo per Si ottiene 144, il numero esatto è 168!

51 Logaritmi e numeri primi Numeri primi minori di a (= ) a/la scriveva a 14 anni

52 Grandi matematici a confronto Martin Mersenne ( )

53 Grandi matematici a confronto dim Numeri di Mersenne: M p = 2 p -1 con p N, p primo N.B. Non per ogni p primo risulta che M p è primo. Si può dimostrare che: M p primo p primo

54 Grandi matematici a confronto Mersenne afferma che tra 2 e 2 257, il numero M p è primo solo per i seguenti esponenti: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 Nel 1947 si riuscì a completare la lista: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127

55 Grandi matematici a confronto I primi dodici numeri primi di Mersenne sono: M 2 = 3 M 3 = 7 M 5 = 31 M 7 = 127 M 13 = 8191 M 17 = M 19 = M 31 = M 61 = M 89 = M 107 = M 127 =

56 Grandi matematici a confronto i primi dodici numeri primi di Mersenne sono stati scoperti prima del XX secolo; i calcolatori elettronici hanno notevolmente accelerato la scoperta dei primi di Mersenne; alla fine del millennio i primi di Mersenne conosciuti erano 38; oggi invece se ne conoscono 49. il più grande numero primo conosciuto (a gennaio 2016) è M È stato calcolato da un computer della University of Central Missouri, ha più di 22 milioni di cifre.

57 Grandi matematici a confronto Curiosità: se scritti in base 2, tutti i numeri primi di Mersenne sono rappresentati da stringhe di p cifre unitarie, dove p è l'esponente primo di Mersenne = = = = =

58 Grandi matematici a confronto Pierre de Fermat ( )

59 Grandi matematici a confronto dim Piccolo teorema di Fermat: se p è un numero primo, ed a è un intero positivo qualunque, allora il numero è divisibile per p. a p -a Cioè: a p a (mod p)

60 Grandi matematici a confronto Congettura di Goldbach: Tutti i numeri pari maggiori di 2 possono scriversi come la somma di due numeri primi....ancora da dimostrare!

61 Numeri primi e crittografia Tecnica di rappresentazione di un messaggio in una forma tale che l informazione in esso contenuta possa essere recepita solo dal destinatario.

62 Numeri primi e crittografia Obiettivo: far arrivare messaggi a destinazione nel modo più veloce, economico e sicuro possibile. informazione confidenziale trascurare economia e velocità spedizione per segretezza metodo più comune mascherare il messaggio

63 Numeri primi e crittografia La protezione dell'informazione ha origini antiche

64 Numeri primi e crittografia le chiavi crittografiche sono diventate sempre più lunghe; i meccanismi per decifrare sempre più complessi; Enigma ci insegna che il problema principale è la trasmissione della chiave;...e se la chiave fosse pubblica?

65 Numeri primi e crittografia Cifrari RSA: Alice e Bob scelgono un numero naturale n Alice sceglie un numero a e Bob un numero b Alice comunica a Bob il numero n a Bob comunica ad Alice il numero n b Entrambi useranno n ab come chiave

66 Numeri primi e crittografia Sia n = ab, stimiamo il numero di tentativi per scoprire a e b usando il teorema della radice quadrata. Sappiamo che un fattore (ad esempio a) soddisfa allora vi sono approssimativamente numeri primi da testare come divisori di n.

67 Numeri primi e crittografia Se n (quindi un numero di 50 cifre) allora e i tentativi sono Per un computer capace di effettuare 1000 miliardi di test al secondo sono necessari più di secondi, ossia circa 5600 anni!

68 Numeri primi e crittografia Prova di fattorizzazione con maple 9 su pentium 4, 2.60 Ghz.

69 Numeri primi e crittografia Tempo di fattorizzazione T in funzione della lunghezza l del numero: T = e 0.285l s Dal risultato precedente per l = 300 (RSA) si ottiene T s che è maggiore dell'età dell Universo.

70 Numeri primi e crittografia Funzione φ di Eulero: per ogni intero positivo n, determina il numero degli interi compresi tra 1 e n che sono coprimi con n. Ad esempio φ(8) = 4 perché i numeri minori di 8 e primi con 8 sono 1, 3, 5, 7.

71 Numeri primi e crittografia Teorema di Eulero ( teorema di Fermat-Eulero) Se n è un intero positivo ed a è coprimo rispetto ad n, allora: a φ(n) 1 (mod n)

72 Numeri primi e crittografia Applicazione: ricerca dell'ultima cifra di cioè di mod e 10 sono coprimi; Φ(10) = 4; per il teorema (mod 10); Allora: = = (7 4 ) = (1) 55 49=49= 9 (mod 10)

73 Numeri primi e crittografia Algoritmo RSA (1977 Rivest-Shamir-Adleman): Si scelgono due numeri primi p e q e si calcola n = pq Si calcola φ(n) = φ(pq) = φ(p) φ(q)=(p-1)(q-1) Si sceglie un valore e φ(n) coprimo con φ(n) Si calcola d tale che ed 1 mod φ(n) La coppia (e, n) costituisce la chiave pubblica, la coppia (d, n) costituisce la chiave privata.

74 Numeri primi e crittografia

75 Numeri primi e crittografia

76 L'enigma dei numeri primi Grazie per l'attenzione