ESPONENZIALI E LOGARITMI

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1 ESPONENZIALI E LOGARITMI Esercizi risolti Classi quarte La presente dispensa riporta la risoluzione di alcuni esercizi inerenti equazioni e disequazioni esponenziali risolte con l'ausilio del calcolo logaritmico. N.B. In questa dispensa, i logaritmi naturali sono indicati con ln. In altri testi si trova anche la notazione log, ma la convenzione tipograca più corretta e diusa è ln x x = x x Qui le due basi sono naturalmente 5 e : riscriviamo gli esponenziali come potenze di queste basi: Applichiamo le proprietà delle potenze: x x = x + 5 x x x = x x Separiamo ora le potenze, portando tutte le potenze di a primo membro e quelle di 5 a secondo membro: Eettuiamo due raccoglimenti: x x = 5 5 x 5 x 5 x ( ) = 5 x (5 5) ossia: ( 1 x 9 1 ) = 5 x 15 x = 15 5 x Applichiamo la funzione logaritmo naturale ad entrambi i membri: Applichiamo le proprietà dei logaritmi: ( ) ln x = ln ( 15 5 x) ( ) x ln + ln = x ln 5 + ln 15 Abbiamo ora un'equazione di primo grado in x: portiamo tutte le incognite a primo membro: e raccogliamo: ( ) x ( ln + ln 5) = ln 15 ln e quindi: x = ln 15 ln ( ) 0, 981 ln + ln 5 1

2 . x x = 9 x 1 + x Scriviamo l'equazione adottando le potenze ridotte ai minimi termini: x+1 + x = x + x x+1 + x = 1 x + x Evidenziamo le sole potenze di x e le separiamo: x + x = x x + x x ( 1 ) = x (8 4) Applichiamo i logaritmi naturali ad ambo i membri: e raccogliendo la x si ha: ln( x 8/) = ln(4 x ) che dà: x(ln + ln ) = ln 4 ln 8 ln x = ln 4 ln 8 + ln ln + ln 0, x x = 0 Si nota che 4 x = x, quindi l'equazione diviene: x x + 15 = 0 quindi si pone x = t: in virtù di tale sostituzione si ha t 8t + 15 = 0 equazione di secondo grado che ammette le due radici t 1 = e t = 5. equazioni elementari: x =, x = 5 Basterà ora risolvere le le cui soluzioni sono: x 1 = log, x = log 5 4. x + 6 x = 9 Basta fare il denominatore comune: Ponendo x = t l'equazione diventa algebrica: x x x = 0 t 9t + 18 = 0 che ha per radici x 1 = / e x = 9: quindi le soluzioni sono: x = / x = log (/) = ln ln ln 0, 6, x = 9 x =

3 5. 7 x x 1 Scriviamola così: 7 x x 7 1 Portiamo le incognite a primo membro, raccogliendo il 7 x : 7 x (7 1/7) 1 7 x (48/7) 1 Passiamo ai logaritmi naturali: x ln 7 + ln 48 ln 7 ln 1 x ln 7 ln 7 ln 48 Visto che ln 7 > 0, possiamo dividere ambo i membri per questo coeciente senza girare il verso della disequazione: x ln 7 ln 48 ln 7 0, x+ < 4 x+1 Scriviamola così: x < 4x 4 Prendiamo i logaritmi naturali: ln( x ) < ln( 4x 4) x ln + ln < 4x ln + ln 4 Portando le incognite a primo membro e raccogliendo la x si ha: x (ln 4 ln ) > ln 4 ln Il termine ln 4 ln è negativo (basta calcolarlo, vale 1, 67): verso, avendosi: la disuguaglianza cambia di x > ln 4 ln 0, 48 ln ln 7. 5 x x < 05 Qui ricorreremo ad una sostituzione, visto che l'equazione si scrive: Poniamo 5 x = t, generando la disequazione: 5 x x < 05 5 x < 05 5 x1 t 05t < 0 la cui equazione associata ammette le radici t = 5/ e t = ricordare che 5 x = 1/5 x

4 Trattandosi di disequazione di verso < e a delta positivo, prendiamo i valori interni, avendo che: 5 < 5x < 100 passando ai logaritmi decimali (visto che c'è un 100, multiplo di 10): la cui soluzione denitiva è: ln 5 < x ln 5 < ln 100 (ln 5 ln ) < x ln 5 < ln 5 ln ln 5 < x < ln 5 8. x = 5 1+x Usiamo la notazione esponenziale anche per le radici ed usiamo alcune note proprietà, avendo: x 1 5 1/ 10 1/ = 5 1+x x 1 5 1/ 5 1/ 1/ = 51+x x 1 1/ 5 1/ 1/ = 5 1+x Quindi l'equazione diviene: x / 5 1/6 = 5 1+x Dividiamo ambo i membri per il termine 5 1/6 : x / = 5 1+x+1/6 x / = 5 x+7/6 Avendo basi ed esponenti diversi, usiamo i logaritmi naturali per entrambi i membri: Applichiamo le note proprietà dei logaritmi: ( ln x /) = ln (5 x+7/6) (x /) ln = (x + 7/6) ln 5 x ln ln = x ln ln 5 Si tratta di un'equazione lineare, per cui separiamo le variabili dai termini noti: x(ln ln 5) = ln ln 5 Quindi la soluzione è: x = ln ln 5, 184 ln ln 5 9. x 5 + x = 9 Scriviamo x 1 come, per cui la nostra equazione diviene: x Eseguiamo un denominatore comune: x = x 4

5 Riducendo allo stesso denominatore: x 9 5 x = + 1 x ( x ) 5 x = x x 5 x = x x x = 9 5 x + 9 e quindi: x 19 x + 9 = 0 Al solito, sostituendo t = x, si ha: t 19t + 9 = 0 t = 1, t = 9 Quindi: x = 1 x = log ( ) 1 0, 61, x = 9 x = 10. ( x 1 ) (5 x 6 5 x + 5 x + 10 ) 0 [ES. 158, pag. 05] Si tratta di una disequazione a prodotto, per cui studiamo separatamente il segno delle due espressioni fra parentesi: x 1/ 0 x 1/. Applichiamo la funzione log ad ambo i membri, avendo: log x log (1/) x log (1/) Ora, è di vitale importanza accorgersi che log (1/) 1, 58 < 0, quindi tale disequazione è soddisfatta x R. 5 x 6 5 x + 5 x Se sostituiamo 5 x = t, abbiamo: t 6t + t Si tratta di una disequazione di terzo grado che si può fattorizzare con l'ausilio della regola di Runi. Tralasciando in dettaglio la scomposizione, si ha che: t 6t + t + 10 = (t + 1) (t + tx + 10) quindi: La soluzione sarà allora: (t + 1)(t + 7t + 10) 0 1 t t x 5 x 5 x log 5 0, 4 x 1 Eseguendo il prodotto dei segni fra le due soluzioni e prendendo valori negativi, si ha la soluzione nale:. log 5 x 1 5