Esame di Matematica - Prima parte A.A Parma, 6 Dicembre 2004

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1 - Prima parte A.A Parma, 6 Dicembre ) [3 punti] Risolvete le seguenti disequazioni: a) x 2 < 36 ; b) 5 x x ) [4 punti] Risolvete le seguenti disequazioni: a) x(2 x)( x 4) < 0 ; b) log 10 x+1 > 0. 3) [3 punti] Dati la retta r di equazione 2x y + 3 = 0 e il punto P = (0, 1), scrivete le equazioni: a) delle retta s passante per P parallela ad r ; b) delle retta t passante per P perpendicolare ad r. Disegnate le tre rette. 4) [4 punti] Risolvete la disequazione 2 1 x < 2x ) [4 punti] Risolvete i seguenti sistemi: a) { 2x 3y = 7 x y = 1 b) x y + z = 0 x + y + 2z = 0 3x y z = 2. 6) [4 punti] Mettete una crocetta su V se l affermazione è vera, su F se è falsa: V F V F ( 1 ) ( 5) 2 cos x < 2 x V F x 3 3 x 3 V F e x è una funzione crescente. 7) [3 punti] a) Scrivete l equazione della circonferenza centrata in (1, 1) e di raggio 2. b) Dite se l equazione x 2 + y 2 + x + y + 5 = 0 rappresenta una circonferenza. 8) [4 punti] Trovate i numeri 0 α 2π che risolvono le seguenti disequazioni: a) cos α > 1/2 ; b) sen α cos α ) [4 punti] Determinate la funzione composta g ( f(x) ) e la funzione composta g ( g(x) ), dove f(x) = { x + 2 se x 1 2x + 1 se x > 1 g(x) = x ) [3 punti] Risolvete l equazione 3 3x2 < 9 x. agraria05 pag. 1

2 - Prima parte A.A Parma, 6 Dicembre ) [3 punti] Risolvete le seguenti disequazioni: a) x 2 < 25 ; b) 2 x x ) [4 punti] Risolvete le seguenti disequazioni: a) x(3 x)( x 1) < 0 ; b) log 5 x+2 > 0. 3) [3 punti] Dati la retta r di equazione 3x y + 4 = 0 e il punto P = (0, 1), scrivete le equazioni: a) delle retta s passante per P parallela ad r ; b) delle retta t passante per P perpendicolare ad r. Disegnate le tre rette. 4) [4 punti] Risolvete la disequazione 2 4 x < x + 4. { 2x + 3y = 0 5) [4 punti] Risolvete i seguenti sistemi: a) x + 3y = 3 b) x + y z = 0 x y 2z = 0 3x + y + z = 2. 6) [4 punti] Mettete una crocetta su V se l affermazione è vera, su F se è falsa: V F V F ( 1 ) ( 3) 2 sen x < π x V F x 2 2 x 2 V F log x e è una funzione crescente. 7) [3 punti] a) Scrivete l equazione della circonferenza centrata in ( 1, 2) e di raggio 1. b) Dite se l equazione x 2 + y 2 + 2x + 2y + 4 = 0 rappresenta una circonferenza. 8) [4 punti] Trovate i numeri 0 α 2π che risolvono le seguenti disequazioni: a) cos α > 3/2 ; b) sen α + cos α ) [4 punti] Determinate la funzione composta g ( f(x) ) e la funzione composta g ( g(x) ), dove { x se x 1 f(x) = x 3 se x 1 g(x) = x ) [3 punti] Risolvete l equazione 2 4x2 < 4 x. agraria05 pag. 2

3 - Seconda parte A.A Parma, 14 Febbraio 2005 x 5 1 2x 2 3x + x 3 1) Calcolate lim e lim x + 1 x 2 x 3 x 0 + 2x + x x x. 3 2) Scrivete l equazione della retta tangente al grafico della funzione g(x) = punto di ascissa x 0 = 0. 3x (x 2) 2 nel 3) Calcolate l area del sottografico della funzione f(x) = 3x x 2 nella parte compresa fra x = 0 e x = 1. 4) Studiate il grafico di f(x) = x2 x 1. 5) Risolvete il problema di Cauchy x 5x + 6x = 0 x(0) = 1 x (0) = 1. agraria05 pag. 3

4 - Seconda parte A.A Parma, 14 Febbraio 2005 x x 2 2x + x 3 1) Calcolate lim e lim x x 2 2x 3 x 0 + 5x + x x 2x. 3 2) Scrivete l equazione della retta tangente al grafico della funzione g(x) = punto di ascissa x 0 = 0. 5x (x 1) 2 nel 3) Calcolate l area del sottografico della funzione f(x) = 2x x 3 nella parte compresa fra x = 0 e x = 1. 4) Studiate il grafico di f(x) = x2 x 3. 5) Risolvete il problema di Cauchy x 7x + 12x = 0 x(0) = 1 x (0) = 1. agraria05 pag. 4

5 A.A Parma, 14 Febbraio a) Scrivete un equazione{ della retta passante per i punti (1, 1) e (2, 2). 2x + 5y = 0 1b) Risolvete il sistema 6x + 15y = 2. 2a) Risolvete la disequazione 2 4x2 3x > 4 3x+1. 2b) Risolvete la disequazione (x 1)(x + 3)(2 x) < 0. x 5 1 2x 2 3x + x 3 3) Calcolate lim x + 1 x 2 x 3 e lim x 0 + 2x + x x x. 3 4) Scrivete l equazione della retta tangente al grafico della funzione g(x) = punto di ascissa x 0 = 0. 3x (x 2) 2 nel 5) Risolvete il problema di Cauchy x 5x + 6x = 0 x(0) = 1 x (0) = 1. agraria05 pag. 5

6 A.A Parma, 14 Febbraio a) Scrivete un equazione{ della retta passante per i punti (1, 1) e (2, 2). 2x 5y = 0 1b) Risolvete il sistema 6x 15y = 2. 2a) Risolvete la disequazione 3 4x2 3x < 9 3x+1. 2b) Risolvete la disequazione (x + 1)(x + 3)(2 x) < 0. x x 2 2x + x 3 3) Calcolate lim x x 2 2x 3 e lim x 0 + 5x + x x 2x. 3 4) Scrivete l equazione della retta tangente al grafico della funzione g(x) = punto di ascissa x 0 = 0. 5x (x 1) 2 nel 5) Risolvete il problema di Cauchy x 7x + 12x = 0 x(0) = 1 x (0) = 1. agraria05 pag. 6

7 A.A Parma, 28 Febbraio a) Dite se l equazione 3x 2 + 3y 2 + 3x + 3y = 9 rappresenta { una circonferenza, e se sì quale. x > 1 1b) Risolvete graficamente il sistema di disequazioni 2x + y > 3. 2a) Risolvete la disequazione log e x 2 > log e (x + 1). 2b) Risolvete la disequazione 2 cos x 1 con x [0, 2π]. 3) Disegnate una funzione f definita per ogni x 1 e tale che lim f(x) = +, lim x f(x) = +, x ( 1) lim f(x) =, f(0) = 2, x ( 1) + lim x + f(x) = ) Determinate il massimo e il minimo della funzione f(x) = e x x per 1 x 12. 5) Calcolate e 2x+3 dx. agraria05 pag. 7

8 A.A Parma, 28 Febbraio a) Dite se l equazione 2x 2 + 2y 2 2x 2y = 8 rappresenta { una circonferenza, e se sì quale. y > 1 1b) Risolvete graficamente il sistema di disequazioni x + 2y > 3. 2a) Risolvete la disequazione log e x 2 > log e (x + 4). 2b) Risolvete la disequazione 2 sen x 1 con x [0, 2π]. 3) Disegnate una funzione f definita per ogni x 1 e tale che lim f(x) = 1/3, f(0) = 1, lim f(x) =, lim f(x) = +, x x 1 x 1 + lim f(x) = +. x + 4) Determinate il massimo e il minimo della funzione f(x) = x e x per 1 x 12. 5) Calcolate e 3x+2 dx. agraria05 pag. 8

9 A.A Parma, 30 Giugno a) Scrivete l equazione della retta che è tangente nel punto (2, 1) alla circonferenza di equazione x 2 + y 2 = 5. x z = 3 1b) Risolvete il sistema y + z = 4 2x + 7y = 0. 2a) Risolvete la disequazione x 1 x 2. 2b) Risolvete l equazione cos x + sen x = con x [0, 2π]. 3) Descrivete i limiti della funzione avente il seguente grafico: 4) Calcolate la derivata prima e la derivata seconda delle funzioni f(x) = sen x x 3 1 e g(x) = log e (x 4 + 1). 5) Risolvete il problema di Cauchy { x (t) = 5x(t) x(1) = 5. agraria05 pag. 9

10 A.A Parma, 22 Luglio a) Scrivete un equazione della retta passante per (2, 4) e perpendicolare all asse y. 2x > 1 1b) Risolvete il sistema di disequazioni 2x 2 > 1 x 3 x 2 < 0. 2a) Risolvete la disequazione 2 x5 +x 4 2x 3 < 1. 2b) Risolvete la disequazione ( x 2) 2 > 36. 3) Dite a quale fra le funzioni a) x 3, b) x 3 1, c) x 3 x 2, d) (x 1) 3 corrisponde il seguente grafico: 4) Studiate la funzione f(x) = x2 + 1 e x e disegnatene un grafico approssimativo. 5) Controllate, mediante derivazione, se è giusta o sbagliata la formula cos(e x ) dx = sen(e x ) + C. agraria05 pag. 10

11 A.A Parma, 1 Settembre a) Sia r la retta di equazione y = 3x 4 ; scrivete un equazione della retta parallela ad r passante per l origine, ed un equazione della retta perpendicolare ad r passante per l origine. { 2x + y = 1 1b) Risolvete il sistema 6x 3y = 1. 2a) Risolvete la disequazione 3x 1 > x. 2b) Risolvete la disequazione log 10 (x 2 + 1) < log 10 (3 x). 3) Dite quale dei seguenti grafici corrisponde alla funzione log e x : 4) Studiate dominio, crescenza e decrescenza della funzione f(x) = x + 1 2x 2 + 2x ) Trovate la soluzione generale dell equazione differenziale x 4x + 13x = 0. agraria05 pag. 11

12 A.A Parma, 19 Settembre a) Scrivete l equazione della circonferenza di centro (0, 0) e passante per il punto (4, 3). 1b) Trovate l intersezione delle rette 2y + x = 10 e y = 2x 10. 2a) Risolvete l equazione cos 2 x 8 sen x = 8 con x [0, 2π]. 2b) Risolvete l equazione log 10 (x 3) = 1. 3) Calcolate i seguenti limiti: a) lim x (x3 x 4 ), b) lim x + 3 x x 3 x 3x 2. 4) Calcolate la derivata prima delle funzioni f(x) = (e 2x 1 ) 2 + 1, g(x) = ( sen(log e x) ) 2. 5) Calcolate l area del sottografico della funzione f(x) = 3x nella parte compresa fra x = 1 e x = 2. agraria05 pag. 12