RAPPORTO INCREMENTALE E DERIVATA PRIMA. Agg Tutorial di Paola Barberis

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1 RAPPORTO INCREMENTALE E DERIVATA PRIMA Agg Tutorial di Paola Barberis

2 Come misurare la CRESCITA MEDIA di una funzione fra due punti A e B? introduzione A=(1;3) Incremento orizzontale B=(4;5) y=f(x) considero IL RAPPORTO FRA l incremento verticale della funzione Rispetto all incremento orizzontale Tale rapporto si ciama RAPPORTO INCREMENTALE R.I. =!y!x = incrverticale incrorizzontale = 5 " 3 4 " 1 = 2 3 Incr verticale

3 RAPPORTO INCREMENTALE IN UN PUNTO A DI ASCISSA X O appartenente al Dominio di y=f(x) Rapporto fra incremento di ordinata y= f(x o +) - f(x o ) e incremento di ascissa x =!y!x = f (x + ) " f (x ) 0 0 f(x o +) f(x o ) A α x B y y=mx+q x o x o + SIGNIFICATO GEOMETRICO - crescita media - coefficiente angolare m della retta secante AB; - tg goniometrica angolo α ce la retta forma con asse x α

4 lim!x"0!y DERIVATA PRIMA : y (x o ) IN UN PUNTO A DI ASCISSA X O appartenente al Dominio di y=f(x) E il LIMITE ( se esiste ) per ce tende a zero del Rapporto Incrementale!x = lim "0 f (x 0 + ) # f (x 0 ) y (x o ) calcolata in x 0 è un numero α x y (x) è la funzione derivata o x o x o + SIGNIFICATO GEOMETRICO: - CRESCITA ISTANTANEA - coefficiente angolare m della retta TANGENTE in A - tg goniometrica angolo α ce la retta forma con asse x A y=mx+q B

5 DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

6 Derivata della FUNZIONE COSTANTE APPLICANDO LA DEFINIZIONE y = k Calcolo prima il Rapporto incrementale R.I. f(x+) vuol dire sostituire x+ al posto di x e in questo caso, poicé non c è la x, rimane uguale a k: f(x+) = k f(x) è uguale alla funzione stessa: f(x) = k R.I. = f (x + )! f (x) = k! k = 0 = 0 Ora calcolo il limite per ce tende a zero del Rapporto Incrementale y (x)= lim0! 0 = 0 Derivata prima D[k]=0 REGOLA : la derivata della funzione costante y=k è sempre ZERO

7 DERIVATA DELLA FUNZIONE IDENTITA y = x calcolo f(x+) sostituendo x+ alla x: f(x+)= x+ f(x) è uguale alla funzione stessa : f(x) = x R.I.= = f (x + )! f (x) x +! x = = = 1 (x + )! (x) = Rapporto incrementale Calcolo il limite per ce tende a zero del Rapporto Incrementale y (x)= lim1! 0 = 1 DERIVATA PRIMA D[x]=1 La Derivata di y=x è y =1

8 DERIVATA DELLA FUNZIONE QUADRATICA y = x 2 f(x+)= (x+) 2 = x 2 +2x+ 2 f (x) = x 2 R.I.= y (x)= f (x + )! f (x) 2x + 2 = (2x + ) = (x 2 + 2x + 2 )! (x 2 ) = 2x + lim 2x + = 2x + 0 = 0! 2x = Rapporto Incrementale Derivata prima D[x 2 ]=2x analogamente ricavo: D[x 3 ]=3x 2 e D[x 4 ]=4x 3 REGOLA generale: DERIVATA DI UNA POTENZA y=x n y =nx n-1 D[x n ]=nx n-1

9 DERIVATA DELLA radice quadrata f (x) = x R.I.= y (x)= f (x + )! f (x) lim!0 x + " ( x + " x ) lim!0 lim!0 = x +! x x ( x + + x ) = lim!0 = 0 0 Rapporto incrementale La forma indeterminata si toglie razionalizzando il numeratore # ( x + + x ) ( x + + x ) = x + " x ( x + + x ) 1 ( x + + x ) = 1 ( x + x ) = 1 2 x DERIVATA della Radice quadrata D[ x ] = 1 2! x = x 2x

10 DERIVATE di funzioni ELEMENTARI y=k y =0 Derivata della costante isolata=0 y=x y =1 Derivata della funzione identità=1 y=x n y =nx n-1 D[potenza]=esponente*x (esp-1) y = x y' = 1 2 x = x 2x 1 y = ln x y = x e y' = x x y ' = e Derivata della radice quadrata Derivata[logaritmo in base e]= inverso dell argomento Derivata[f.esponenziale]=se stessa y = senx y'= cos x Derivata [seno]= coseno y = cos x y ' =! senx Derivata [coseno]= meno il seno

11 REGOLE DI DERIVAZIONE

12 REGOLE DI DERIVAZIONE 1- Derivata della somma di due o più funzioni y = f(x)+g(x) y' = f'(x)+g'(x) 2- Derivata del prodotto di una costante K per una funzione y = k f(x) y' = k f'(x) 3- Derivata del prodotto di due funzioni y = f(x) g(x) y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) 4- Derivata del quoziente di due funzioni f(x) y = g(x) f'(x) g(x) - f(x) g'(x) y' = [g(x)] 2

13 REGOLE DI DERIVAZIONE 1- Derivata della somma di due o più funzioni è uguale alla somma delle D[primaf]+D[seconda] y = f(x)+g(x) y = x 3! x 2 y' = f'(x)+g'(x) y ' = 3x 2! 2x y = senx + x y ' = cos x + 1 y = x 4 + x + 7 y ' = 4x

14 REGOLE DI DERIVAZIONE 2- Derivata del prodotto di una Costante K * funzione è uguale al prodotto della costantek*derivata [funzione] CostanteK=numero y = k f(x) funzione y' = k f'(x) y = 2x 5 y ' = 2i5x 4 = 10x 4 y = 3x y' = 3i1 = 3 y = 7 ln x y ' = 7i 1 x = 7 x

15 Prova tu : DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI E REGOLE DERIVAZIONE 1-2 y 4 = 3x! 5x + 4x 2! 7 y = 3 x! 5x y = 3 ln x! 4e x y = 2 cos x! 8senx NB: Per derivare un radicale lo trasformo in potenza y = 4 3 x 2 y = 4x 2 3

16 y Prova tu : DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI E soluzioni REGOLE DERIVAZIONE = 3x! 5x + 4x y = 3 x! 5x y 3 ln x! 4e 2! 7 x 3 y' = 12x! 10x y' = 3i + 4! 1 2 x! 5 = 3 2 x! 5 = 3! 10 x 2 x = y' = 3 x! 4ex = 3! 4xex x y 2 cos x! 8senx = y' =! 2senx! 8cos x 0 NB: Per derivare un radicale lo trasformo in potenza y = 4 3 x 2 y = 4x 2 3 y' = 4! 2 3 x 2 3 "1 = 8 3 x" 1 3 = 8 3x 1 3 = x

17 REGOLE DI DERIVAZIONE Derivata del PRODOTTO di due funzioni è uguale alla D[primaf]*(seconda)+(primaf)*D[seconda] y = f(x) g(x) y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) y = (x 2 + 3)! (5x " 1) f g y ' = D!" x 2 + 3# $ i(5x % 1) + (x 2 + 3)iD[ 5x % 1] y' = ( 2x + 0)i( 5x % 1) + ( x 2 + 3)i( 5) y' = 10x 2 % 2x + 5x y' = 15x 2 % 2x + 15

18 REGOLE DI DERIVAZIONE La derivata del QUOZIENTE fra due funzioni è uguale al rapporto fra: D[primaf]*(seconda) - (primaf)*d[seconda] Denominatore f(x) y= g(x) ( ) y = x + 5 x ( ) f'(x) g(x) - f(x) g'(x) y'= [g(x)] 2 al Quadrato y ' = D [ x + 5 ] (x 2 + 4)! ( x + 5) D "# x 2 + 4$ % = ( x 2 + 4) 2 [ = 1+ 0 ] (x 2 + 4)! ( x + 5) [ 2x + 0] 2 + 4! 2x 2! 10x x =!x2! 10x + 4 x ( ) 2 ( ) 2 = x = ( x 2 + 4) 2 N.B. Non svolgere calcoli al denominatore: si lascia scomposto

19 Prova tu : DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI E REGOLE DERIVAZIONE 3-4 DERIVATA DEL PRODOTTO y = (3x4! 5x)i(x! 3) y = x 3 iln x DERIVATA DEL QUOZIENTE y 2 x! 4x = x + 5 y = cos x senx

20 y = (3x4! 5x)i(x! 3) Prova tu : DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI E REGOLE DERIVAZIONE 3-4 soluzioni DERIVATA PRODOTTO y' = [ 12x! 10](x! 3) + (3x 4! 5x) "[ 1! 0] = = 12x 2! 36x! 10x x 4! 5x = +3x x 2! 51x + 30 y = x 3 iln x y' = 3x 2!" # $ % ln x + x 3 % DERIVATA QUOZIENTE [ ]! " & 1 x # $ ' = 3x2 ln x + x 2 2 x! 4x y = y' = "# 2x! 4 $% &(x + 5)! (x 2! 4x) & 1+ 0 = 2x2 + 10x! 4x! 20! x 2 + 4x = x2 + 10x! 20 x + 5 (x + 5) 2 (x + 5) 2 (x + 5) 2 y cos x senx = [ y' =!senx ]" senx! cos x " cos x (senx) 2 [ ] =!sen2 x! cos 2 x (senx) 2

21 DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA y = g(f(x))! " # y = g(z) z = f (x)

22 y = g(f(x)) La funzione composta y=g(f(x)) o g f ( leggi g composto f) è formata dalla composizione di due funzioni: Una funzione ESTERNA ciamata g: y=g(z) Una funzione INTERNA ciamata f : z=f(x) esempi ( ) 2 è composta da : y = x + 5 Funzione COMPOSTA! y = z 2 " # z = x + 5! y = g(z) " # z = f (x) Funzione esterna potenza y = 3x! 4 è composta da : y = ln(2x + 4) è composta da : " $ y = z # %$ z = 3x! 4! y = ln z " # z = 2x + 4 Funzione esterna Radice quadrata Funzione esterna Logaritmo naturale (base e=2,71..)

23 REGOLA:Derivata Funzione COMPOSTA y = g(f(x)) --> y' = g (f(x)) f (x) 1-Derivare la funzione ESTERNA g (ricopiando Funz Interna f) 2-moltiplicare per Derivata D[Funzione Interna f] = f (x) Esempio: y = ( 4x! 3 2) Derivo la funzione esterna POTENZA ricopiando contenuto Funzione esterna potenza Derivo la funzione interna cioè D[4x-2] y' = 3(4x! 2) 2 (4! 0) = 12 " (4x! 2) 2

24 1) 2) ESEMPI Derivata Funzione COMPOSTA y = (senx + 3x) 5 Derivo la funzione esterna POTENZA (ricopio contenuto) y' = 5(4x! 2) 4 D senx + 3x y' = y = x Derivo la funzione esterna RADICE Q (ricopio contenuto) 1 D!" 2 x 2 x2 + 5x# $ = + 5x Indico calcolo Derivata della f interna cioè D[senx+3x] [ ] = 5(4x! 2) 4 "(cos x + 3) Indico calcolo derivata derivata Derivata della f interna Svolgo derivata 1 (2x + 5) = 2x x 2 + 5x 2 x 2 + 5x Svolgo derivata

25 3) y' = 4) ESEMPI Derivata Funzione COMPOSTA y = ln(5x 3! 4) Derivo la funzione esterna LOGARITMO BASE e 1 5x 3! 4 D "# 5x3! 4$ % = Indico calcolo derivata y = sen(x 4 + 6x) Derivo la funzione esterna SENO Derivata della f interna 1 5x 3! 4 (15x2! 0) = Svolgo derivata y' = cos(x 4! 6x) D "# x 4! 6x$ % = cos(x 4! 6x) (4x 3! 6) = = (4x 3! 6) & cos(x 4! 6x) Indico calcolo D Derivata della f interna Svolgo derivata 15x2 5x 3! 4

26 PROVA TU : DERIVATA FUNZIONE COMPOSTA a) 4 y = ( x! 5x 2 ) 4 b) y = x 2 + 5x c) y = ln( x 3! 4x + 6) d) y = cos( x 3! 9x)

27 SOLUZIONI Prova tu : DERIVATA FUNZIONE COMPOSTA a) = ( x 4 5x 2 ) 4 y' = 4(x 4! 5x 2 ) 3 (4x 3! 10x) = y! = 4(x 4! 5x 2 ) 3 (4x 3! 10x) b) y = x 2 + 5x y' = 2 x x (2x + 5) = 2 2x + 5 x 2 + 5x c) y = ln( x 3! 4x + 6) y' = 1 x 3! 4x + 6 (3x2! 4 + 0) = 3x 2! 4 x 3! 4x + 6 d) y = cos( x 3! 9x) y' =!sen(x 3! 9x) (3x 2! 9) = =!(3x 2! 9) " sen(x 3! 9x)

28 WORK IN PROGRESS

29 SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL RAPPORTO INCREMENTALE R.I. =!y!x B A +3 +2!x = Incremento orizzontale!y = ordinatab " ordinataa Incremento verticale Considero la RETTA SECANTE AB di equazione y=mx+q il coefficiente angolare m della retta passante per due punti si trova con la formula m = y! y B A x B! x A ce è uguale al rapporto incrementale! In questo caso la retta AB a pendenza m=2/3

30 RAPPORTO INCREMENTALE: FORMULA CON COORDINATE GENERICHE introduzione A=(x 0 ;f(x 0 )) B= (x 0 +;f(x 0 +))!y = ordinatab " ordinataa!x = Incremento verticale R.I. = = Incremento orizzontale!y!x = f (x 0 + ) " f (x 0 )

31 CRESCITA MEDIA di una funzione fra due punti A e B introduzione A=(1;3) +3!x = Incremento orizzontale +2 B=(4;5)!y = ordinatab " ordinataa Incremento verticale Incremento verticale RAPPORTO INCREMENTALE = = Incremento orizzontale RAPPORTO INCREMENTALE = = -- = 2/