SECONDA PROVA ESAME DI STATO CORSO SPERIMENTALE PIANO NAZIONALE INFORMATICA SVOLGIMENTO. f per x 2,

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3 Problema Punto Osserviamo anzitutto che la derivata prima di f ' ' e ' ' x f '' x ' ' x f '' SVOLGIMENTO f ' x è la funzione f '' x f '' 0 0 x 0 Poiché si ha f per 0 x, f per x, si ha che la funzione derivata prima ha un massimo relativo in x Per calcolarne l ordinata sfruttiamo l informazione che la tangente inflessionale in (,4) passa per l origine Detta y mx la generica retta per l origine, il passaggio per (,4) conduce a m Ne segue che la retta tangente a f nel suo flesso di ascissa è la retta y x, per cui, per il significato geometrico della derivata, si ha che Il grafico della funzione f ' ha quindi un massimo in Dall informazione f ' x f ' x f x f ', ', f ' per ogni x 0, si ha che il grafico di f ' è ovviamente compreso tra i grafici della derivata seconda e della funzione stessa Inoltre, essendo verificate le ipotesi del teorema di De l Hopital, si ha f x 8 lim f ' x lim 0, x x x da cui lim f ' x 0 x, Il che significa che la funzione derivata prima ha asintoto orizzontale y 0 (come la derivata seconda) La funzione f ' cresce su (0,) (dove la derivata seconda è positiva) e decresce su,, dove la derivata seconda è negativa Mostriamo un possibile grafico:

4 Punto Il fatto che la funzione f presenti un asintoto orizzontale sta a significare che, da un certo istante di tempo in poi, il numero di componenti la popolazione tende a stabilizzarsi attorno ad un valore fisso A causa del fatto che la derivata prima è sempre positiva, si ha che la funzione è sempre crescente Ciò significa che la popolazione è in crescita La presenza del flesso in x = indica che la rapidità di crescita della popolazione diminuisce: infatti, essendo la derivata seconda la derivata della derivata prima, si ha che, appena dopo il flesso la derivata prima (cioè il tasso di crescita di f) inizia a diminuire (pur restando positiva), in quanto la sua derivata è negativa In definitiva, la popolazione ha una crescita accelerata prima del flesso, decelerata dopo lo stesso Punto Detta a f x, a, b R b x e la funzione il cui grafico è, dobbiamo trovare i valori dei parametri a e b Poiché la funzione presenta asintoto orizzontale 8 lim f x 8 Poiché risulta lim f x si ha che dev essere necessariamente a 8 La funzione diviene quindi Resta da determinare b L informazione che possiamo sfruttare è Si ha f ' x 8e bx bx e Poniamola uguale a in x = Risulta a lim x e x bx f x 8 b x e, y, si deve avere a e b R f ', b R a x

5 8e e b b b ( b) b da cui 8e e 4e Si tratta di una equazione esponenziale nell incognita reale b b Poniamo e y Troviamo 8y y 4y, da cui y y 0 che ha la soluzione y = b 0 Quindi e e da cui b Punto 4 Dobbiamo calcolare l area delimitata dal grafico della derivata seconda, dall asse x tra 0 e Per il significato geometrico dell integrale definito, essendo la funzione f '' positiva su (0, ), si ha Area f '' 0 x dx f ' x f ' f ' 0 Poiché f ', resta da calcolare ' 0 Si ha f ' x Da cui f '0 8e e x x 8e e 0 f assumendo come funzione f quella ottenuta al punto L area cercata è quindi 8e e

6 Problema SVOLGIMENTO Osserviamo anzitutto che la derivata prima di x Studio della funzione f x x ln x Dominio: x>0 Intersezioni asse ascisse: x= Intersezioni asse ordinate: non ve ne sono Simmetrie: la funzione non è pari nè dispari Positività: f x x ln x 0 x x0 f ' è la funzione f '' x Poiché si ha Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto lim x ln x 0 pertanto la funzione è prolungabile per continuità in x=0 Asintoti orizzontali: non ve ne sono Asintoti obliqui: non ve ne sono Crescenza e decrescenza: la derivata prima è ' x x ln x x x ln x f pertanto la funzione è crescente per x e e decrescente per 0 x e e presenta un minimo relativo in e, e f '' x x ln x x x 6ln x 5 pertanto la funzione presenta un Concavità e convessità: flesso a tangente obliqua in e Il grafico è di seguito mostrato: 5 6 5, e 6 5 L ascissa del minimo è x e 0 76 quella del flesso è x e

7 Punto La parabola richiesta ha equazione l equazione diventa y ax x angolare f ' y ax bx Il passaggio per P(,0) comporta b a pertanto La tangente al grafico di f x x ln x in x= ha coefficiente ; la tangente alla parabola in x= ha invece coefficiente angolare a, pertanto imponendo l uguaglianza si ricava Punto L area richiesta è pari a lim b0 b Punto 4 a e l equazione della parabola è pertanto y x x x x b b 0000 x ln xdx lim ln x lim ln b dm mm 65 mm b0 La simmetrica di f x x ln x Y X ln X x 4 6 b b X x rispetto alla retta x=0 è data dalla simmetria e cioè Y y e ritornando a i simboli in minuscolo la simmetrica rispetto a y=0 ha equazione Y x ln (in rosso) Analogamente la simmetrica rispetto a y=- ha equazione X x y x ln x (in verde) ricavabile dalla simmetria Y y 6 6

8 Quesito Un triangolo ha area e due lati che misura e Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta Due lati di un triangolo, comunque si scelgano, sono sempre consecutivi Poniamo a, b Per la formula dell area di un triangolo, si ha: Area absin, dove è l angolo compreso tra a e b Risulta quindi: sin da cui sin Ne segue che Il triangolo è quindi rettangolo; in particolare a e b sono i due cateti Il terzo lato c è l ipotenusa per cui c a b 9 4

9 Quesito Se la funzione f x f x f x f 4x in x =? Posto g( x) f x f x g ' x f ' x f ' x g ' 5 Per ipotesi g ' 7 f f Pertanto f f Dalla prima si ricava ha derivata 5 in x = e derivata 7 in x =, qual è la derivata di, si ha, per la regola di derivazione delle funzioni composte ' ' 5 ' ' 4 7 f ' f ' 5 f ' 5 4 f ' 4 4 Sostituendo nella seconda si trova da cui f ' 4 f ' 4 9 che è quanto si deve calcolare, visto che la derivata della funzione hx f x f 4x ogni x h' x f ' x 4 f ' 4x vale per

10 Quesito Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A, e B 6, 8 retta passante per B e avente distanza massima da A Svolgimento Si determini l equazione della Osserviamo che la retta verticale passante per B, di equazione x = 6 dista 8 dal punto A Consideriamo quindi la generica retta orizzontale/obliqua passante per B: y 8 mx 6, da cui mx y 6m 8 0 La distanza di A da tale retta è data dalla formula m 6m 8 8m 7 dm m m Dobbiamo trovare il massimo di tale funzione al variare di m in R La funzione diviene 8m 7 7 se m 8 d m m 8m 7 7 se m m 8 Deriviamo la prima (la seconda ha derivata opposta): si ha 8m 7m 8 m 8( ) m m8m 7 d m m m m m Pertanto 7m 8 7 se m / m 8 d' m 7m 8 7 se m / m 8 m 7m 8 ' / La prima derivata ha uno zero non accettabile, perché minore di 8 7 È sempre positiva, in quanto la 8 7 disequazione m è sempre soddisfatta per m e il denominatore è positivo per ogni m Consideriamo la seconda Il punto stazionario è m, accettabile La derivata prima è positiva 7 8 per m 7 Unendo i risultati ottenuti sullo studio della derivata, si ottiene

11 8 In m si ha un punto di massimo relativo 7 La distanza per tale m è d chiaramente superiore alla distanza 8 della retta verticale Pertanto, il massimo trovato è assoluto

12 CORSO di ORDINAMENTO Quesito 4 Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l altezza h e i lati a e b delle due basi Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito SVOLGIMENTO Il tronco assegnato appartiene alla piramide in figura: Denotiamo con x la distanza del vertice V della piramide dal centro della base superiore del tronco In tal modo l altezza complessiva della piramide risulta h + x Per la similitudine dei triangoli VOL e VO M si ha a b h x: x :, da cui hb x a b L altezza della piramide di vertice V è quindi hb a VO x h h h a b a b Il volume del tronco è quindi uguale al volume dell intera piramide privato del volume della piramide di vertice V e avente per base la base superiore del tronco Si ha quindi ha hb h a b b V a ha b ab a b a b a b

13 Quesito 5 In un libro si legge: se per dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura di un corpo SVOLGIMENTO Dato un corpo di lunghezza L 0, sottoposto ad aumento di temperatura la sua lunghezza diventa L=L 0 (+kt) dove k è il coefficiente di dilatazione lineare Si può dimostrare che l intera superficie del corpo prima dell aumento della temperatura è S= S 0 (+kt) mentre il volume è V= V 0 (+kt), cioè i coefficienti di dilatazione superficiale e volumica sono il doppio e triplo di quello lineare

14 Quesito 6 Con le cifre da a 7 è possibile formare 7!=5040 SVOLGIMENTO Il primo numero dei 5040 è 4567 mentre l ultimo è 7654 Vediamo quali sono i numeri dal 5040 al 506 : 509 : : : : numero Fissando la prima cifra, si possono avere 6!=70 combinazioni di sei numeri che assieme alla prima cifra formano un numero di 7 cifre Questo significa che fissato come prima cifra si hanno 70 numeri di 7 cifre che iniziano con mentre dall 7 al 440 abbiamo numeri di 7 cifre che iniziano con Pertanto il 44 numero è il primo numero che inizia con e cioè 4567

15 Quesito 7 In un gruppo di 0 persone il 60% ha occhi azzurri SVOLGIMENTO Il problema è analogo al caso dell estrazione da un urna senza reinserimento I casi possibili inizialmente sono chiaramente 0, quelli favorevoli (ossia occhi non azzurri) sono 4 (il 40% di 0) Dopo la prima estrazione, i casi possibili sono 9 e quelli favorevoli sono chiaramente (assumendo che la prima persona estratta abbia gli occhi non azzurri) 4 Si ha quindi, per il teorema della probabilità composta, p 0 circa % 0 9 5

16 Quesito 8 Si mostri, senza utilizzare il teorema di de l Hospital, che: sin x sin e e lim x x Consideriamo il limite SVOLGIMENTO e lim x sin x e x sin sin x e lim x x 0 Si presenta nella forma indeterminata Per poter ricorrere ai limiti notevoli, operiamo una 0 sostituzione Poniamo x t Si ha chiaramente t 0 e x t Per il teorema di sostituzione e a causa della formula sugli archi associati ( sin sin limite diviene sin t e e lim lim t0 t t0 sin t t ), il y e In forza del limite notevole lim, y0 y e dei teoremi dei limiti (il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti), posto abbiamo sint sint sint e e e sin t lim lim sin t lim lim 0 ( sin ) t t to 0 sin 0 t t t t t t y sin t,

17 Quesito 9 Tre amici discutono animatamente di numeri reali Anna L insieme dei numeri razionali Q è numerabile, cioè esiste una corrispondenza biunivoca tra i razionali e i numeri naturali Questo risultato è stato dimostrato da Georg Cantor Il suo ragionamento si basa sul diagramma riportato: possiamo infatti ordinare i razionali positivi, seguendo le frecce, in modo che ad ognuno di essi sia assegnato un numero naturale L insieme dei numeri irrazionali invece non è numerabile, infatti l insieme dei numeri reali non è numerabile e quindi "quasi tutti" i numeri reali sono irrazionali Pertanto ha ragione Luisa, in quanto l insieme dei razionali ha la potenza del numerabile mentre i numeri irrazionali non hanno tale proprietà

18 Quesito 0 Si stabilisca per quali valori di k R l equazione x x k ammette due soluzioni distinte appartenenti all intervallo [0, ] Posto k=, si approssimi con due cifre decimali la maggiore di tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati SVOLGIMENTO Il numero di soluzioni dell equazione data corrisponde al numero di punti di intersezione tra le y x x e la retta orizzontale y k curva Effettuiamo lo studio della cubica Si ha chiaramente lim x x, lim x x x x La funzione passa per l origine e per il punto (,0) y ' 6x x x x La derivata prima è C è un punto stazionario in 0 e in La quota del punto di ascissa 0 è chiaramente 0, la quota del punto di ascissa è y La funzione cresce sull intervallo (0, ), decresce altrove Mostriamo il grafico: Si tratta ora di capire per quali k la retta funzione y k interseca in due punti distinti il grafico della

19 Si ha che ciò avviene per 0k 4 Posto k, si ha da trovare una delle due soluzioni dell equazione x x, vale a dire, il maggiore degli zeri (tra 0 e ) della funzione hx x x A causa del grafico appena sopra, ci accorgiamo che una tale soluzione appartiene necessariamente all intervallo (, ) (giace cioè alla destra del massimo relativo della cubica studiata) Per calcolare tale radice, applichiamo il metodo delle tangenti La derivata prima di h, coincidendo con la derivata prima della cubica, è sempre negativa su tale intervallo h'' x 6 6x 6 x negativa su (, ) La derivata seconda è Poiché h, h 0 si ha che il segno della derivata seconda è concorde con la h Il metodo delle tangenti partirà quindi da x Si ha x0 hxn xn xn h' xn Si ha quindi, ricordando che hx x x, h' x x 6x h x,666 h' 9 Di nuovo,

20 ' h,6 0,697 x,6 6,5485 h,6 5,6 0,0675 x,5485,54 4, x,54,5 4,044 La soluzione approssimata con due cifre è quindi x =,5