METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 8

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1 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n 8

2 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE (MODULO 3.4)

3 DALLE INDICAZIONI NAZIONALI: Descrivere, denominare e classificare figure geometriche, identificando elementi significativi e simmetrie, anche al fine di farle riprodurre da altri. (entro la classe III) Riconoscere figure ruotate, traslate e riflesse. (entro la classe V) Riprodurre in scala una figura assegnata (utilizzando, ad esempio, la carta a quadretti). (entro la classe V)

4 DESCRIVERE, DENOMINARE E CLASSIFICARE FIGURE GEOMETRICHE, IDENTIFICANDO ELEMENTI SIGNIFICATIVI E SIMMETRIE, ANCHE AL FINE DI FARLE RIPRODURRE DA ALTRI. (ENTRO LA CLASSE III) Riguardo a questo punto, ciò che interessa sono le simmetrie e precisamente le figure che presentano particolari simmetrie, vale a dire rette di simmetria e/o centri di simmetria. Si richiede quindi una elementare seguenti trasformazioni nel piano: Simmetria centrale Simmetria assiale conoscenza delle Vediamo le definizioni (per il docente!!!)

5 SIMMETRIA ASSIALE (RIFLESSIONE) Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione che associa ad ogni punto della retta r se stesso e ad ogni punto P del piano, non appartenente ad r, il punto Q tale che il segmento PQ sia perpendicolare ad r e tale che il punto medio di PQ appartenga ad r. r

6 SIMMETRIA CENTRALE Si dice simmetria centrale di centro O la trasformazione che ad O associa se stesso e che ad ogni punto P, diverso da O, associa il punto Q, per il quale O è punto medio del segmento PQ

7 Scopriamo alcune proprietà: a) con Geogebra b) con il disegno In una simmetria la distanza tra due punti è uguale alla distanza tra le rispettive immagini. Il simmetrico di un segmento è ancora un segmento Il simmetrico di un angolo è un angolo della stessa ampiezza Il simmetrico di un triangolo è un triangolo congruente o isometrico ad esso..

8 ATTIVITÀ Dipingere con la tempera metà foglio di carta da pacchi poi piegarlo; cosa si ottiene? Oppure disegnare su un foglio piegato sopra uno di carta carbone.si possono vedere sia simmetrie centrali che riflessioni Osservare oggetti, foglie, fiori, il proprio corpo. Ci sono simmetrie tra le lettere dell alfabeto? Usiamo gli specchi (ovviamente li usa solo il docente e i bimbi guardano, oppure si mette in mano ai bambini materiale sicuro)

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10 TORNIAMO ALLE FIGURE SIMMETRICHE Ora si può lavorare su domande del tipo: Quali figure hanno assi di simmetria? Quanti? Quali figure hanno centri di simmetria? Proviamo a rispondere: a) Tra i triangoli? b) Tra i quadrilateri? c) Cosa possiamo dire del cerchio?

11 RICONOSCERE FIGURE RUOTATE, TRASLATE E RIFLESSE. (ENTRO LA CLASSE V) Entrano qui in gioco altre due trasformazioni: Traslazione Rotazione Anche in questo caso vediamo le definizioni.

12 TRASLAZIONE La traslazione è una trasformazione che sposta ogni punto di una figura della stessa distanza e nella stessa direzione e stesso verso. Utilizzando un linguaggio più rigoroso, si può anche dire: la traslazione fa corrispondere ad ogni punto P del piano un punto P, tale chepp =v, essendo v il vettore assegnato.

13 ROTAZIONE Dato un piano ed un suo punto O, viene chiamata rotazione di centro O ed angolo α, quella trasformazione del piano in sé che fa corrispondere ad ogni punto P del piano il punto P, anch esso del piano, in modo che risulti: PÔP α OP OP Si considera l angolo α positivo se la rotazione avviene in senso antiorario, negativo se avviene in senso orario.

14 Scopriamo alcune proprietà: a) con Geogebra b) con il disegno In una traslazione e in una rotazione la distanza tra due punti è uguale alla distanza tra le rispettive immagini. Il trasformato di un segmento è ancora un segmento Il trasformato di un angolo è un angolo della stessa ampiezza Il trasformato di un triangolo è un triangolo congruente ad esso..

15 ISOMETRIE E CONGRUENZE Tutte le trasformazioni che abbiamo introdotto conservano angoli e distanze, mantengono cioè inalterate forma e dimensioni delle figure sulle quali agiscono. Per tale ragione vengono chiamate isometrie. C è però una differenza: Se prendiamo una figura e la sua traslata, facendola muovere quest ultima nel piano, possiamo portarla a sovrapporsi alla figura di partenza. Così accade per la figura ruotata Ma la stessa cosa non accade per la figura riflessa: se vogliamo portare la trasformata a coincidere con la figura di partenza, dobbiamo uscire dal piano ed effettuare un ribaltamento nello spazio Per tale ragione rotazione e traslazione vengono chiamate congruenze, o isometrie dirette o movimenti rigidi. La simmetria assiale viene invece detta isometria indiretta, o ribaltamento

16 E LA SIMMETRIA CENTRALE? FACCIAMO UNA RICERCA Cosa accade se applichiamo ad un oggetto una simmetria, e poi al risultato la stessa? Oppure una simmetria e poi un altra diversa? Proviamo con Geogebra

17 CONCLUSIONI Applicando due volte la stessa simmetria si torna alla posizione di partenza Applicando due simmetrie assiali con assi paralleli si ottiene una traslazione Applicando due simmetrie assiali con assi incidenti si ottiene una rotazione di angolo doppio di quello individuato dai due assi Se gli assi sono perpendicolari si ottiene una simmetria centrale, ma anche una rotazione di 180 la simmetria centrale è una isometria diretta!!!

18 QUALCHE APPLICAZIONE Le cornicette

19 QUALCHE APPLICAZIONE Il caleidoscopio è uno strumento ottico che si serve di specchi e frammenti di vetro o plastica colorati, per creare una molteplicità di strutture simmetriche. Il più rudimentale caleidoscopio è formato da un semplice tubo di cartone rivestito internamente di almeno due specchi (montati solitamente fra loro in modo da formare angoli di 60 ); nella parte anteriore, separati dal corpo centrale da un vetro rotondo trasparente, sono inseriti dei frammenti colorati di varie forme e colori. Un vetro smerigliato chiude il tubo all'estremità. Immagine di un caleidoscopio a tre specchi

20 QUALCHE APPLICAZIONE La tassellazione del piano ioni_01.htm ertu/mostrageotupertu/tassel.htm Verifica di equivalenze tra figure. (Geogebra)

21 NELLO SPAZIO L argomento simmetrie può essere esteso alle figure solide, purché lo si limiti al centro di simmetria ed ai piani di simmetria. La ricerca di assi di simmetria in generale è molto impegnativa e non alla portata dei bambini della scuola primaria. L argomento, ad ogni buon conto, non dovrebbe essere affrontato prima della IV classe. Esempi: Lo specchio è un piano di simmetria Il nostro corpo ha un piano di simmetria? Un cubo ha piani di simmetria, quanti? E un cono?.

22 RIPRODURRE IN SCALA UNA FIGURA ASSEGNATA (UTILIZZANDO, AD ESEMPIO, LA CARTA A QUADRETTI). (ENTRO LA CLASSE V) Implicita in tale obiettivo è la trasformazione chiamata omotetia. Definizione: Dato un numero reale k > 0, si definisce omotetia con centro O e rapporto k quella trasformazione che fa corrispondere ad un generico punto A del piano un punto A', allineato con O e con A, tale che sia: OA'/OA = k.

23 L omotetia, quindi, trasforma una figura geometrica in una figura avente la stessa forma di quella data, cioè simile a quella data; precisamente: gli angoli corrispondenti sono congruenti i lati corrispondenti sono proporzionali. L omotetia è la base della riproduzione in scala.

24 RIPRODURRE IN SCALA Ridurre in scala è l'operazione fondamentale per la rappresentazione su carta del territorio o di qualsiasi oggetto, di grosse dimensioni. Scala di riduzione: rapporto tra la lunghezza misurata sulla carta geografica e la corrispondente lunghezza reale sulla superficie della terra. Tanto maggiore è la superficie che dobbiamo rappresentare sulla carta è più grande sarà la scala di riduzione che dobbiamo impiegare. Es: Se su una carta geografica trovo scritto1: significa che 1 cm sulla carta corrisponde a di cm nella realtà, cioè a 10 km.

25 ATTIVITÀ Mappa dell aula Mappa di un percorso Calcolo di distanze attraverso la carta geografica. Analizziamo una scheda

26 ESERCIZI 1) Su un foglio a quadretti disegnare un triangolo. Fissare un vettore, un centro di rotazione e la misura dell angolo di rotazione. Applicare al triangolo prima la traslazione di vettore fissato, poi la rotazione di centro e angolo fissati. Allo stesso triangolo di partenza applicare prima la rotazione poi la traslazione. Confrontare i risultati ottenuti. Cosa si può dedurre? 2)Si vuole riportare su cartina una zona la cui ampiezza massima in larghezza è 220 km, in lunghezza è 360km. Si dispone di un foglio largo 20 cm e lungo 30 cm. Quale scala devo utilizzare, se voglio occupare quanto più possibile del foglio?

27 DATI E PREVISIONI (MODULO 4.1)

28 OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO AL TERMINE DELLA CLASSE TERZA DELLA SCUOLA PRIMARIA Relazioni, dati e previsioni Classificare numeri, figure, oggetti in base a una o più proprietà, utilizzando rappresentazioni opportune, a seconda dei contesti e dei fini. Argomentare sui criteri che sono stati usati per realizzare classificazioni e ordinamenti assegnati. Leggere e rappresentare relazioni e dati con diagrammi, schemi e tabelle. Misurare grandezze (lunghezze, tempo, ecc.) utilizzando sia unità arbitrarie sia unità e strumenti convenzionali (metro, orologio, ecc.).

29 OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO AL TERMINE DELLA CLASSE QUINTA DELLA SCUOLA PRIMARIA Relazioni, dati e previsioni Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative, utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni. Usare le nozioni di frequenza, di moda e di media aritmetica, se adeguata alla tipologia dei dati a disposizione. Rappresentare problemi con tabelle e grafici che ne esprimono la struttura. Utilizzare le principali unità di misura per lunghezze, angoli, aree, volumi/capacità, intervalli temporali, masse, pesi per effettuare misure e stime. Passare da un unità di misura a un altra, limitatamente alle unità di uso più comune, anche nel contesto del sistema monetario. In situazioni concrete, di una coppia di eventi intuire e cominciare ad argomentare qual è il più probabile, dando una prima quantificazione nei casi più semplici, oppure riconoscere se si tratta di eventi ugualmente probabili. Riconoscere e descrivere regolarità in una sequenza di numeri o di figure.

30 Leggere e rappresentare relazioni e dati con diagrammi, schemi e tabelle. (fine classe III) Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative, utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni. (fine classe V) Di cosa si parla? 1)Dati due insiemi A e B, si dice relazione tra A e B una qualsiasi corrispondenza tra elementi di A ed elementi di B. Es.1: Se A è l insieme delle Provincie e B l insieme delle regioni, una relazione può essere: la provincia x sta nelle regione y Es.2: Nell insieme dei naturali: a è multiplo di b 2) Il diagramma è una rappresentazione di dati che si prefigge lo scopo di renderli facilmente visibili. Es.: piano cartesiano, istogramma, areogramma.. Per fare cosa? Leggere Rappresentare Ricavare informazioni

31 ESAMINIAMO ALCUNI QUESITI INVALSI La lunghezza di una scarpa è espressa da un numero. Questo numero, a parità di lunghezza della scarpa, varia da nazione a nazione, come risulta dalla tabella che segue. Numeri scarpe ITALIA USA GIAPPONE AUSTRALIA a. Un giapponese che porta scarpe numero 28, quale numero dovrà chiedere se acquista scarpe in Italia? b. Un italiano che acquista scarpe negli USA quanto deve aggiungere al numero locale per sapere a quale numero italiano corrisponde? Si tratta di una relazione rappresentata da una tabella, da cui ricavare informazioni

32 Il seguente grafico riporta per gli anni dal 2003 al 2008 il numero di persone (in migliaia) di età superiore ai 6 anni che praticano sport con regolarità. Quale fra le seguenti affermazioni è corretta? A. Il numero di persone che praticano sport è sempre cresciuto di anno in anno B. Nel 2007 le persone che praticavano sport erano meno che nel 2005 C. Nel 2003 le persone che praticavano sport erano meno di D. Dal 2007 al 2008 il numero di persone che praticavano sport è cresciuto di meno che dal 2006 al 2007 Si tratta di un insieme di dati, rappresentata da una diagramma a linee, da cui ricavare informazioni e formulare giudizi

33 In questo quesito, destinato a studenti di scuola secondaria di I grado, i dati sono rappresentati sotto forma di grafico a torta. Il problema ha un certo livello di complessità, perché richiede la progettazione di un procedimento. Proviamo a risolverlo.

34 In questo quesito la rappresentazione usata si può chiamare pittogramma, cioè un immagine creata dall uomo per comunicare in modo rapido e chiaro senza l uso della parola. Deve essere trovato un simbolo che in qualche modo sia facilmente associabile ad esso tramite l esperienza condivisa del target di riferimento; il contenuto del simbolo rappresentato deve essere chiaramente comprensibile, ma anche la sua rappresentazione grafica deve essere semplice, diretta abbastanza da rendere possibile una veloce e chiara identificazione. Di fatto, in questo caso, la faccia stilizzata corrisponde ad un bambino.

35 In questo caso i dati sono rappresentati sotto forma di istogramma (o diagramma a barre) e viene chiesto di individuare il diagramma corrispondente alla tabella, attività che richiede la capacità di saper leggere e interpretare dati strutturati.

36 Quesito analogo al precedente; in questo caso, dato il grafico, si deve individuare la tabella corrispondente.

37 GRAFICI con EXCEL (cenno)

38 Esempio di una relazione tra tempo e temperatura, rappresentata in un piano cartesiano

39 IL PIANO CARTESIANO La geometria analitica è il metodo tramite il quale enti geometrici corrispondono ad enti algebrici e viceversa; si basa sulla corrispondenza tra punti del piano e coppie ordinate di numeri reali. Consideriamo a questo riguardo in un piano due rette numeriche perpendicolari x ed y (per comodità scegliamo x orizzontale) e sia O la loro origine comune.

40 Fissiamo due punti importanti: il punto U al quale corrisponde il numero 1 sulla semiretta x ed il punto V al quale corrisponde il numero 1 sulla retta y. Si dice che il piano è stato riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) o che esso è un piano cartesiano ortogonale. Le rette x ed y si chiamano assi cartesiani. In genere i punti U e V si scelgono alla stessa distanza da O, ma può capitare che sia più conveniente sceglierli a distanze diverse. Bisogna valutare di volta in volta. Ad ogni modo, salvo rare eccezioni, noi supporremo che i segmenti OU ed OV abbiano la stessa lunghezza o, come anche si dice, che il sistema sia monometrico.

41 Preso ora un qualsiasi punto P conduciamo per esso la perpendicolare all asse x ( sia A il punto intersezione ed a il numero che gli corrisponde) e la perpendicolare all asse y (sia B il punto intersezione e b il numero che gli corrisponde). Il numero a si chiama ascissa di P ed il numero b si chiama ordinata di P. Al punto P risulta così associata la coppia ordinata di numeri (a,b). Viceversa, presa la coppia ordinata di numeri (a, b) ed invertendo la costruzione precedente, ad essa risulta associato il punto P. Si scrive: P(a, b) e si legge: «il punto P di coordinate cartesiane a, b».evidentemente risulta: O(0,0), U(1,0), V(0,1). Bastano questi pochi elementi per guidare i bambini a perseguire l obiettivo: utilizzare il piano, cartesiano per localizzare punti, avendo cura di far fare il percorso in un senso ( dato il punto nel piano cartesiano, trovarne le coordinate) e nell altro (date le coordinate disegnare il punto).

42 OBIETTIVI RELATIVI ALLE MISURE Misurare grandezze (lunghezze, tempo, ecc.) utilizzando sia unità arbitrarie sia unità e strumenti convenzionali (metro, orologio, ecc.) (classe III) Utilizzare le principali unità di misura per lunghezze, angoli, aree, volumi/capacità, intervalli temporali, masse, pesi per effettuare misure e stime. (classe V) Passare da un unità di misura a un altra, limitatamente alle unità di uso più comune, anche nel contesto del sistema monetario. (classe V)

43 Abbiamo già introdotto il concetto di misura nella lezione precedente, ci limitiamo qui a riportare alcune informazioni relative ad altre unità di misura non trattate precedentemente. Multipli Mg 1000 Kg 10 3 Unità Kg 1Kg 10 0 Sottomultipli Misure di massa hg 0,1 Kg 10 1 dag 0,01 Kg 10 2 g 0,0001 Kg 10 3

44 Multipli hl 100 l 10 1 dal 10 l 10 2 Unità l 1l 10 0 cl 0,1 l 10 1 Sottomultipli Misure di capacità dl 0,01l 10 2 ml 0,001l 10 3 Misure di tempo Multipli h 60 m= 3600 s m 60 s Unità s 1s 10 0 Sottomultipli ms 0,001 s 10 3

45 ESERCIZI 1) Della prova INVALSI per la classe III, anno , della Scuola secondaria di I grado ( inserita nella cartella) svolgere senza calcolatrice ( come indicato nella prova stessa) i quesiti n 1,2,3,5, 8,9,11, 14,15, 16, 21,24,25. 2) Della prova INVALSI per la classe III, anno , della Scuola secondaria di I grado ( inserita nella cartella) svolgere senza calcolatrice ( come indicato nella prova stessa) i quesiti n 1,4, 6, 8,9,10, 12,14, 17, 18, 20,22,23.