La densità areale della lamina in un suo generico punto P (x, y) è data dall espressione. σ(x, y) = µ L 5 xy2 (x, y) [0, L] [ L, 0].

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1 Esercizio 374. Matrice e momenti d inerzia Nella terna di riferimento Oxyz si considera una lamina quadrata OABC di lato L i cui lati si dispongono parallelamente gli assi Ox ed Oy, come illustrato in figura. La densità areale della lamina in un suo generico punto P (x, y è data dall espressione σ(x, y = µ L 5 xy (x, y [, L] [ L, ]. Determinare: (a la matrice d inerzia del sistema rispetto alla terna Oxyz; (b il momento d inerzia rispetto alla retta OB; (c i momenti principali d inerzia in O del sistema. Soluzione (a Matrice d inerzia in Oxyz L avere introdotta la terna di riferimento in modo che il piano coordinato Oxy contenga l intera superficie materiale comporta che la matrice d inerzia sia del tipo [L O ] = L xx L xy L xy L yy L xx + L yy con i momenti L xx, L yy ed il prodotto d inerzia L xy da determinare direttamente per mezzo delle definizioni. Il momento d inerzia relativo all asse Ox vale L xx = L L dx dy µ L 5 xy y = µ x dx L 5 L L y 4 dy = µ L 5 L L 5 5 = 1 1 µl Stefano Siboni 1941

2 mentre per il momento d inerzia rispetto ad Oy si ha L yy = L dx L L dy µ L 5 xy x = µ L 5 x 3 dx L y dy = µ L 5 L 4 4 L 3 3 = 1 1 µl. Espressione analoga si ricava per il prodotto d inerzia L L L xy = dx dy µ L 5 xy xy = µ x dx L 5 L L y 3 dy = µ L 3 [ y 4 L ] L = 1 1 µl che permette dunque di scrivere esplicitamente la matrice [L O ] 1/1 1/1 [L O ] = µl 1/1 1/1. 11/6 (b Momento d inerzia rispetto alla retta OB La retta OB è una retta passante per l origine individuata dal versore tangente ˆn = B O B O = ê1 ê ê 1 ê = 1 ê 1 1 ê = n 1 ê 1 + n ê + n 3 ê 3 il che consente di calcolare il momento d inerzia rispetto a OB = Oˆn per mezzo della relazione generale I OB = I Oˆn = ˆn L O (ˆn = 1 1/1 1/1 (1 1 µl 1/1 1/1 1 1 = 11/6 = 1 1/6 (1 1 µl = 1 1 µl. (c Momenti principali d inerzia in O I momenti principali d inerzia in O sono gli autovalori dell operatore d inerzia L O del sistema nello stesso punto, identificabili con gli autovalori di una qualsiasi matrice di rappresentazione di L O rispetto ad una base comunque assegnata. Indicato con µl λ il generico autovalore, l equazione caratteristica associata alla matrice d inerzia in Oxyz è data da [ ( 1 ( 1 det([l O ] µl λ1l = (µl 3 1 λ 1 λ 1 ] ( λ = e dopo una semplice manipolazione algebrica assume la forma equivalente ( λ 11 6 λ + 1 ( λ =. Stefano Siboni 194

3 Una soluzione ovvia si ha per λ = 11 6 mentre le altre due radici risultano λ = 1 [ ± 36 4 ] 7 = 11 ± 11 1 I momenti principali d inerzia in O valgono pertanto, in ordine crescente, A 1 = µl A = µl A 3 = µl. 1. Esercizio 375. Asse centrale di un sistema di vettori applicati Determinare l equazione dell asse centrale del sistema composto dai vettori v 1 = ê 1 ê + ê 3, applicato nel punto Q 1 ( 1, 1,, e w = 3ê 1 +ê ê 3, applicato nel punto Q (1,,. Soluzione Il sistema consiste dei due vettori v 1 = ê 1 ê + ê 3, applicato in Q 1 ( 1, 1, e v = 3 ê 1 + ê ê 3, applicato in Q (1,, ha risultante non nullo R = v 1 + v = ê 1 + ê 3 e dunque ammette un asse centrale, univocamente definito. Per determinarlo è necessario calcolare preliminarmente il momento risultante rispetto ad un polo arbitrario, che conviene peraltro identificare con uno dei punti di applicazione, M Q1 = (Q 1 Q 1 v 1 + (Q Q 1 v = ( ê 1 ê ê 3 (3 ê 1 + ê ê 3 = ê 1 ê ê 3 = = 3 ê 1 4 ê + 5 ê 3. Si ha allora R M Q1 = ê 1 ê ê = 4 ê 1 7 ê 8 ê 3, per cui i punti A dell asse centrale sono tutti individuati dalla relazione vettoriale R A O = Q 1 O + M Q1 R + α R = ê 1 + ê + 4 ê 1 7 ê 8 ê 3 5 = ( α ê 1 5 ê + + α( ê 1 + ê 3 = ( α ê 3 Stefano Siboni 1943

4 per α R arbitrario. L equazione parametrica dell asse centrale si scrive pertanto x = α y = α R. 5 z = α Esercizio 376. Grave soggetto a resistenza idraulica Dato un punto materiale pesante di massa m, soggetto ad un campo gravitazionale uniforme di accelerazione g e ad una forza di resistenza idraulica, dimostrare che: (a l orbita del grave giace in un piano verticale, quale che sia la velocità del punto materiale all istante iniziale t = ; (b lo stesso risultato vale se alla forza di resistenza idraulica si sostituisce una qualunque sollecitazione parallela alla velocità istantanea; (c nel caso idraulico, la soluzione massimale di qualsiasi problema di Cauchy è definita in un intervallo che include [, + e per t + la velocità tende ad un valore critico indipendente dalle condizioni iniziali. Si fornisca una interpretazione fisica di tale velocità critica. Soluzione (a L orbita giace in un piano verticale La resistenza idraulica agente sul punto materiale, di velocità v, può scriversi nella forma β v v dove β > è la costante di frizione del punto materiale nel mezzo resistente: il modulo della resistenza idraulica, per definizione, è infatti proporzionale al quadrato della velocità v. L equazione del moto del grave si scrive perciò m d v dt = m g β v v (376.1 e si può sempre interpretare come equazione differenziale del primo ordine nella variabile dipendente vettoriale v, immediatamente riducibile alla forma normale d v dt = g β v v (376. m in cui il secondo membro è funzione di classe C 1 di v. Il teorema di esistenza ed unicità della soluzione massimale per il problema di Cauchy è dunque applicabile ed assicura che per ogni valore iniziale v( della velocità istantanea al tempo t = esiste una ed una Stefano Siboni 1944

5 sola soluzione completa v(t dell equazione (376. che soddisfa il dato iniziale v(: la soluzione è definita su un intervallo aperto I, che contiene l istante iniziale. Considerato un qualsiasi t I si può allora moltiplicare membro a membro l equazione del moto per il fattore integrante, certamente definito, ottenendo così l equazione equivalente (1 d v dt + β v v = g (376.3 m ( t β exp v dt m ( t β d v exp v dt m dt + β ( t β ( t β m v exp v dt v = exp v dt g (376.4 m m nella quale risulta β ( t β m v exp v dt m Ciò basta a riesprimere la (376.4 nella forma [ d ( t β ] exp v dt v dt m = d dt che integrata membro a membro fra e t porge ed infine ( t β exp v dt v(t v( = m [ ( t β exp v dt ]. m ( t β = exp v dt g m ( v(t = exp β t ( v dt v( + exp β t v dt m m L espressione ottenuta è della forma t v(t = a(t v( + b(t g ( t β exp v dt dt g m t ( t β exp v dt dt g. m (1 il fattore integrante esponenziale non è mai nullo Stefano Siboni 1945

6 dove le funzioni a(t e b(t, certamente definite sebbene incognite, sono date da ( a(t = exp β t v dt m ( b(t = exp β t v dt m t ( t β exp v dt dt m t I. Se si indica con P (t, t I, il moto del grave, deve aversi pertanto ed integrando in t si ricava la legge oraria dp (t = v(t = a(t v( + b(t g dt P (t P ( = t a(t dt v( + t b(t dt g dalla quale si evince che la posizione del grave all istante t I deve essere determinata muovendo dalla posizione iniziale P ( lungo due vettori di direzione costante, quelle di v( e di g quest ultimo diretto secondo la verticale. Questa conclusione implica che: qualora sia v( = il moto del grave avviene lungo la retta verticale condotta da P ( moto di caduta in senso stretto. Lo stesso vale per v( parallela a g, e dunque diretta verticalmente; se viceversa è v(, non parallela a g, il moto si svolge lungo il piano verticale individuato dal punto P ( e dai vettori linearmente indipendenti v( e g. L asserto è perciò dimostrato. (b Forze parallele alla velocità istantanea Posto per brevità P O = x, una generica forza parallela alla velocità istantanea v si può esprimere nella forma generale f(t, x, v v, (t, x, v R R 3 R 3, (376.5 in cui f(t, x, v è una qualsiasi funzione scalare degli argomenti t, x e v. Per assicurare esistenza ed unicità della soluzione massimale per ogni problema di Cauchy si richiederà che la funzione forza (376.5 sia di classe C 1 negli stessi argomenti. Le equazioni del moto si scrivono nella forma normale del primo ordine d x dt = v d v dt = g + 1 (376.6 m f(t, x, v v con il secondo membro ovviamente di classe C 1 in (t, x, v R R 3 R 3. Per qualsiasi condizione iniziale ( x(, v( R 3 R 3 la soluzione massimale del relativo problema Stefano Siboni 1946

7 di Cauchy esiste ed è unica, definita su un intervallo aperto I. La seconda delle (376.5 ammette allora un ovvio fattore integrante ( exp 1 t f(t, x, v dt m, t I, che la riduce alla forma equivalente ossia ( exp 1 t d v f(t, x, v dt m dt 1 ( m f(t, x, v exp 1 t f(t, x, v dt v = m ( = exp 1 t f(t, x, v dt g m [ d ( exp 1 t ] f(t, x, v dt v dt m ( = exp 1 t f(t, x, v dt g. m Non rimane che integrare membro a membro rispetto al tempo, sul generico intervallo [, t] I, per ottenere ( exp 1 t f(t, x, v dt v(t v( = m t ( exp 1 t f(t, x, v dt dt g m e concludere che la velocità istantanea v(t è data dalla somma di due vettori di direzione costante ( t 1 ( t 1 v(t = exp f(t, x, v dt v(+exp f(t, x, v dt m m t ( exp 1 t f(t, x, v dt dt g m le direzioni di v( e g rispettivamente. Giunti a questo punto si procede come nel caso precedente. (c Comportamento asintotico delle soluzioni nel caso di resistenza idraulica La velocità critica del sistema, univocamente determinata, è quella corrispondente al moto rettilineo ed uniforme del grave e si ottiene dunque imponendo v = v = costante nell equazione del moto ( Posto per semplicità g = gˆn, si ha = mg ˆn β v v da cui si deduce che la velocità costante deve risultare parallela a g v = α ˆn Stefano Siboni 1947

8 con il coefficiente α che soddisfa l equazione scalare Ne segue necessariamente α > e dunque = mg β α α. α = mg β per cui v = mg β ˆn = v ˆn, con v = mg/β. Si dimostra che per t + a questa velocità limite tendono tutte le soluzioni del sistema, quale che sia la scelta della velocità iniziale v( R 3 a maggior ragione, ininfluente sul risultato è la scelta della posizione iniziale P (. A questa conclusione si perviene applicando il criterio di Liapunov di stabilità asintotica, considerando in R 3 la funzione di Liapunov Si verifica infatti che: L( v = m ( v v = m ( v v ˆn, v R 3. (376.7 (i la funzione L è di classe C 1 in R 3 ; (ii la funzione L risulta definita positiva in qualsiasi sfera chiusa B[ v, γ] R 3 di centro v e raggio γ > assegnato a piacere; (iii nella stessa sfera B[ v, γ], di raggio γ arbitrario, la derivata di L lungo le soluzioni dell equazione differenziale del moto (376. è definita negativa; (iv per ogni ε > fissato l insieme Ω ε = { v R 3 : L( v ε} R 3 (376.8 definisce un intorno di v = v invariante nel futuro rispetto alle equazioni del moto e per ε + si identifica con l intero spazio R 3. Per il teorema di prolungabilità, l invarianza nel futuro di Ω ε garantisce l esistenza della soluzione completa di dato iniziale v( Ω ε almeno t, con orbita contenuta in Ω ε stesso. Le condizioni (i, (ii e (iii assicurano allora la stabilità della soluzione costante v = v e, seguendo lo stesso argomento per assurdo alla base del criterio di Liapunov per la stabilità asintotica, che si abbia altresì lim v(t = v (376.9 t + per ogni soluzione v(t di dato iniziale v( Ω ε. Per ogni ν > fissato e abbastanza piccolo, infatti, tutte le soluzioni con dato iniziale in Ω ε devono entrare ad un istante Stefano Siboni 1948

9 positivo appropriato nella sfera aperta di centro v e raggio δ(ν > contenuta in Ω ε, essendo δ(ν definito conformente alla definizione di stabilità della soluzione v(t = v ; in caso contrario ne deriverebbe una contraddizione fra il carattere definito negativo di L in Ω ε e la limitatezza di L nello stesso intorno Ω ε. L identificarsi di Ω ε con R 3 per ε + prova la conclusione (376.9 per qualsiasi dato iniziale v( R 3. Come si suol dire la soluzione v = v è globalmente asintoticamente stabile nel futuro. Si provano ora uno ad uno gli asserti (i-(iv. (i L è di classe C 1 in R 3 La proprietà è ovvia, in quanto la funzione di Liapunov proposta si riduce ad un polinomio quadratico nelle componenti di v rispetto ad una qualsiasi base di R 3. (ii L è definita positiva nella sfera chiusa B[ v, γ], γ > Dalla definizione (376.7 è immediato dedurre che L( v = m ( v v ˆn v R 3 e che L( v = m ( v v ˆn = = v = v ˆn, provando in tal modo che la funzione L è definita positiva in qualsiasi sfera B[ v, γ] di centro v e raggio γ > arbitrario. (iii La derivata di L lungo le soluzioni dell equazione del moto è definita negativa nella sfera chiusa B[ v, γ], γ > La derivata di L lungo le soluzioni dell equazione del moto (376. è data da L( v = L d v ( v v dt = ( v v ˆn m d v dt = ( v v ˆn (mg ˆn β v v = ( = β( v v ˆn v v mg β ˆn = β( v v ˆn ( v v v ˆn e con la sostituzione v = v (ˆn + ξ si riduce a L( v = βv 3 ξ [ ˆn + ξ (ˆn + ξ ˆn ]. Poiché v = v ˆn corrisponde a ξ =, mentre è certamente βv 3 basta dimostrare che >, per provare l asserto Φ( ξ def = ξ [ ˆn + ξ (ˆn + ξ ˆn ] ξ R 3 e che inoltre ξ [ ˆn + ξ (ˆn + ξ ˆn ] = = ξ =. Stefano Siboni 1949

10 In termini di un appropriato versore ˆτ ortogonale a ˆn, tale che cioè ˆτ ˆn =, il generico vettore ξ R 3 si può sempre esprimere per mezzo della combinazione lineare ξ = a ˆn + b ˆτ in modo che la funzione scalare Φ( ξ diventa Φ( ξ = Φ(a ˆn + b ˆτ = (a + 1 ˆn + b ˆτ (a + a + b a = = (a b (a + a + b a def = F(a, b con a, b componenti reali arbitrarie. Si osservi che l espressione finale di Φ( ξ non dipende in modo esplicito dal versore ortogonale ˆτ, ma soltanto dalle componenti scalari a e b lungo il versore ˆn e lungo il versore orotogonale ˆτ rispettivamente. Non rimane che studiare il grafico della funzione ausiliaria F(a, b alla quale ci si è ricondotti. A questo scopo si osserva preliminarmente che (a, b R \{( 1, } la funzione ausiliaria ammette le derivate parziali prime F a (a, b = a + 1 (a b (a + a + b + (a b (1 + a 1 F b (a, b = b (a b (a + a + b + (a b b (376.1 mentre in (a, b = ( 1, le stesse derivate sono date da F F( 1 + h, F( 1, ( 1, = lim a h h h [ 1 + h + ( 1 + h ] ( 1 + h 1 = lim h h F F( 1, h F( 1, ( 1, = lim = b h h h [ 1 + ( 1 + h ] ( 1 1 = lim = h h e soddisfano le condizioni di continuità (1 = = 1 ( F ( 1, = a lim F F (a, b (a,b ( 1, a ( 1, = b lim F (a, b (a,b ( 1, b in modo che F(a, b è una funzione almeno C 1 in R. I punti critici di F(a, b sono tutte e sole le soluzioni del sistema di equazioni F F (a, b = a (a, b = b (1 per accertarlo basta passare in coordinate polari (a,b=( 1+ρcos φ,ρ sin φ e considerare il limite per ρ + Stefano Siboni 195

11 che per le (376.1 si scrive esplicitamente nella forma a + 1 (a b (a + a + b + (a b (1 + a 1 = b (a b (a + a + b + b (a b = (376.1 dovendo certamente risultare (a, b ( 1, in virtù di ( Dalla seconda equazione (376.1 si ha [ a + a + b ] b (a b + (a b = ossia o ancora b (a b [ a + a + b + (a + a b ] = b (a b ( + 5a + 3a + 3b =, per cui possono aversi soltanto due casi: o b =, oppure + 5a + 3a + 3b =, da esaminare separatamente. Caso b = Per b = è certamente a 1 e la prima equazione (376.1 diventa a + 1 a(a a + 1 (1 + a 1 = a + 1 e facendo uso dell identità (a + 1a(a + 1/ a + 1 = a + 1 a equivale a Pertanto: a + 1 (1 + 3a 1 =. se a + 1 >, si ottiene (a + 1(1 + 3a 1 =, ossia 3a + 4a =, da cui si deducono le soluzioni a = e a = 4 3 la prima delle quali è accettabile (a + 1 = 1 > mentre la seconda no (a + 1 = 1/3 < ; se viceversa a + 1 <, si perviene all equazione di secondo grado (a + 1(3a =, che ridotta in forma trinomia diventa 3a + 4a + = e non ammette alcuna radice reale. Stefano Siboni 1951

12 Caso + 5a + 3a + 3b = Nella fattispecie deve aversi b + 5a + 3a = 3 = a a > ( e dunque necessariamente a ( 1, /3, in modo che risulti b R. La ( porge allora le relazioni (a b = a 3 a + a + b = 3 3 a e la prima delle equazioni (376.1 diventa così a + 1 ( a a a (1 + a 1 = 3 3 ovvero 3 3 (a + 1 a a(1 + a 1 =. L eliminazione del comune denominatore, certamente positivo, porge infine 3 (a (1 + a(1 + a 1 + a = e semplici manipolazioni algebriche dell espressione ottenuta conducono all equazione equivalente a a + 1 = che non ammette alcuna soluzione reale, dovendo essere a + 1 >. In definitiva, l unico punto critico della funzione ausiliaria F(a, b ricorre in (a, b = (,. È facile accertarsi che si tratta di un minimo relativo proprio. A questo scopo, per (a, b (, basta sostituire nell espressione generale F(a, b = 1 + a + a + b (a + a + b a l approssimazione di Taylor al secondo ordine 1 + a + a + b = (a + a + b 1 8 (a + a + b + o( = = 1 + a + a + b 1 8 4a + o( = 1 + a + b + o( Stefano Siboni 195

13 per ottenere F(a, b = [ ] 1 + a + b + o( (a + a + b a = a + b + o( e riconoscere pertanto che (a, b = (, costituisce un minimo relativo proprio di F(a, b. D altra parte, poiché F(a, b è definita (a, b R, i suoi minimi assoluti devono essere anche minimi relativi e vanno perciò identificati con l unico minimo relativo proprio (a, b = (,. Considerato infine che si conclude che F(, = F(a, b > (a, b R \ {(, } come richiesto. In definitiva, la derivata di L( v lungo le soluzioni dell equazione del moto è non positiva per qualsiasi vettore v R 3 e si annulla unicamente per v = v ˆn. La prova è completa. (iv Per ogni ε > l insieme Ω ε definisce un intorno di v = v ˆn invariante nel futuro rispetto alle equazioni del moto ed inoltre Ω ε R 3 per ε + Per provare l asserto basta osservare che per ogni ε > fissato Ω ε si identifica con una sfera chiusa di centro v e raggio appropriato, in quanto Ω ε = { v R 3 ; m } ( v v ε = { v R 3 ; v v } ε/m = B[ v, γ] con γ = γ(ε = ε/m. È allora evidente che lim γ(ε = + ε + in modo che Ω ε si identifica con R 3 per ε +, come affermato. Si è così dimostrato che per qualsiasi velocità iniziale v( la velocità istantanea v(t tende asintoticamente al valore limite v = mg/β ˆn. In corrispondenza di questa velocità limite la somma della forza peso e della resistenza idraulica si annulla, per cui il moto del grave risulta rettilineo ed uniforme. Se ne deduce che dopo un intervallo di tempo sufficientemente lungo il moto del grave può ritenersi approssimativamente rettilineo ed uniforme, con velocità pressoché costante al valore v. In particolare, la traiettoria del moto è bene approssimabile, su tempi lunghi, con una retta verticale v risultando prossima a v e quindi pressoché parallela all accelerazione di gravità g per t. Stefano Siboni 1953

14 Esercizio 377. Grave soggetto a un drag generico. Sistemi di tipo gradiente Si consideri un punto materiale pesante di massa m, soggetto ad un campo gravitazionale uniforme di accelerazione g e ad una forza resistente (drag della forma: F d ( v = β( v v v (377.1 dove β(ξ è una qualsiasi funzione C 1, positiva e monotòna crescente in ξ [, +, con β( = e lim ξ + β(ξ = + in virtù di tali ipotesi si ha evidentemente F d ( =. Dimostrare che: (a esiste sempre una ed una sola soluzione stazionaria delle equazioni del moto, caratterizzata da una velocità istantanea costante v (usualmente nota come velocità critica, fornendone una interpretazione fisica; (b la soluzione massimale di qualsiasi problema di Cauchy è definita in un intervallo che include [, + e per t + la velocità tende al valore critico v indipendente dalle condizioni iniziali. Soluzione L equazione del moto è interpretabile come equazione differenziale del primo ordine nella velocità istantanea v m d v dt = m g β( v v v in cui conviene porre, per brevità, v = v e g = gˆn. Si ottiene perciò l equazione in forma normale: d v dt β(v = gˆn v (377. mv dove β(v indica una qualsiasi funzione C 1 positiva e monotòna crescente di v, con β( = e lim v + β(v = +. In queste condizioni è facile verificare che la resistenza deve annullarsi a velocità nulla; per il teorema della media si ha infatti β(v = β(v β( = β (θ v v con θ (, 1 opportuno, e quindi β(v v v = β (θ v v v +. Stefano Siboni 1954

15 L andamento generale della funzione β(v è illustrato nella figura seguente: (a Soluzione stazionaria dell equazione del moto Esiste sempre una ed una sola soluzione stazionaria di (377., ottenuta ponendo v = v costante = g ˆn β( v m v v in modo che deve risultare v = v ˆn (377.3 con v > definito dall equazione scalare g β(v m = β(v = mg. (377.4 L essere β(v monotòna crescente con codominio [, + assicura esistenza ed unicità di v per qualsiasi peso mg > fissato. Alla soluzione stazionaria v(t = v ˆn corrisponde un moto rettilineo ed uniforme del grave. Questa soluzione costante descrive un moto critico in qui la velocità v non cambia nel tempo e si realizza un perfetto bilanciamento delle forze agenti sul punto materiale, secondo l equazione ( (b Stabilità asintotica globale della soluzione stazionaria La soluzione stazionaria determinata è asintoticamente stabile per l equazione del moto (377.. Più precisamente, si tratta di una soluzione globalmente asintoticamente stabile. Questa affermazione significa che v = v ˆn è stabile nel senso di Liapunov e che per qualsiasi velocità iniziale v( all istante t = la relativa soluzione v(t di (377. tende a v ˆn nel limite t + : tutti i moti tendono a quello critico per t +. Vediamo come sia possibile verificare l asserto facendo uso del teorema di Liapunov di stabilità asintotica. L equazione (377. non è semplicemente una equazione differenziale autonoma del primo ordine nella variabile v: essa presenta la struttura molto speciale di quello che è noto comunemente come un sistema di tipo gradiente, o gradient system. Il membro destro Stefano Siboni 1955

16 della (377. può essere scritto come il gradiente 1 di una funzione scalare di v: d v dt = [ 1 v m v v ] β(ξ dξ g ( v v ˆn = V ( v (377.5 v dove il segno negativo davanti al gradiente viene indicato per consuetudine e i termini in v, non necessari, sono introdotti in modo che la condizione V (v ˆn = sia soddisfatta. Il potenziale formale V ( v costituisce un candidato naturale al ruolo di funzione di Liapunov per verificare la stabilità asintotica del punto fisso v ˆn ogni qual volta quest ultimo sia un minimo locale isolato di V. In queste condizioni, infatti, la funzione V soddisfa le ipotesi del criterio di Liapunov di stabilità asintotica, in quanto: (i V (v ˆn = ; (ii V ( v > v U \ {v ˆn} in un intorno opportuno U del punto fisso; (iii infine la derivata di V lungo i moti è negativa v U \ {v ˆn}. V ( v = V [ v ( v V ] v ( v [ ] V = v ( v (377.6 È facile verificare che l unico punto fisso v ˆn costituisce in realtà un minimo relativo isolato di V. Di più, è possibile provare che v ˆn rappresenta un minimo assoluto forte di V e che lim v + V ( v = +. Basta dimostrare che la funzione di Liapunov V tende a + per v +. In tal caso infatti il solo punto critico v = v ˆn di V deve anche essere un minimo assoluto per V. L asserto può essere provato sulla funzione V ( v + 1 m v v β(ξ dξ g v ˆn = 1 β(ξ dξ g v (377.7 m che differisce dalla V per una costante additiva inessenziale, il cui unico scopo è quello di annullare V nel punto critico v ˆn. Poiché β(v è una funzione positiva crescente, l integrale in (377.7 soddisfa la seguente diseguaglianza v β(ξ dξ = v/ β(ξ dξ + v β(ξ dξ v β(ξ dξ v v/ ( v ( v v β dξ = β v/ (377.8 v/ 1 il gradiente si intende calcolato rispetto alle componenti di velocità come variabili indipendenti Stefano Siboni 1956

17 in modo che per v > deve aversi 1 1 v β(ξ dξ 1 ( v v m m β v + + (377.9 mentre in base alla diseguaglianza di Cauchy-Schwarz il termine residuo è sempre limitato g v v g v v = g v R3 \ {}. (377.1 Di conseguenza, fissata che sia una costante positiva arbitraria K, è dato determinare una costante positiva M K tale che ed il limite richiesto esiste: lim v + V ( v + 1 m v 1 1 β(ξ dξ g v v m v K v M K ( β(ξ dξ g v ˆn = lim v v + [ 1 1 v m v β(ξ dξ g ] v v = +. (377.1 La proprietà appena verificata implica che per qualsiasi costante positiva a l insieme definito da: D(a = { v R 3, V ( v a} ( è un intorno chiuso e limitato del punto fisso, invariante lungo il moto: qualsiasi moto che abbia condizione iniziale in D(a rimane confinato in D(a ad ogni istante successivo, in quanto V può soltanto diminuire lungo il moto a causa della ( Essendo inoltre v ˆn l unico minimo di V, lo stesso argomento usato per provare il criterio di Liapunov di stabilità asintotica consente di concludere che qualsiasi moto avente inizio in D(a deve tendere al punto fisso per t +. La stessa conclusione vale per qualsiasi a fissato e aumentando a l insieme D(a cresce fino ad invadere l intero spazio delle velocità { v R 3 }, in modo che qualsiasi moto tende a v ˆn per t + : la soluzione stazionaria v ˆn è, come si suol dire, globalmente asintoticamente stabile. Si osservi come la diminuzione della funzione di Liapunov V lungo il moto sia in un certo senso ottimale, dal momento che tutte le traiettorie nello spazio delle velocità intersecano ortogonalmente gli insiemi di livello di V D(a = { v R 3, V ( v = a}, ( grazie alla (377.5 e ad una ben nota proprietà elementare del gradiente che, se non nullo in un punto, è ortogonale alla superficie V = costante contenente quello stesso punto. Stefano Siboni 1957

18 La situazione è illustrata nella figura seguente: in cui sono tracciate le traiettorie nello spazio delle velocità di alcune soluzioni dell equazione (377., sovrapponendo qualche insieme di livello della funzione di Liapunov V, definito secondo la (377.14, in modo da evidenziare l ortogonalità della mutua intersezione. La velocità critica v ˆn è rappresentata al centro del grafico. L asse verticale corrisponde alla componente v di v lungo l accelerazione gravitazionale g, mentre la componente di v ortogonale alla gravità, v, è riportata sull asse orizzontale. Da notare che V ( v manifesta una evidente simmetria cilindrica attorno all asse definito (nello spazio delle velocità dal punto fisso v ˆn e dalla direzione dell accelerazione di gravità g. L intersezione di traiettorie del moto e di insiemi di livello ( con qualsiasi piano condotto per il suddetto asse di simmetria è dunque rappresentativa dell intero spazio delle velocità R 3. Funzione di Liapunov alternativa La funzione di Liapunov V considerata in precedenza è formalmente molto ragionevole, ma risulta piuttosto difficile riconoscerle un significato fisico. È perciò naturale domandarsi se non sia possibile introdurre una funzione di Liapunov alternativa che sia suscettibile di una semplice interpretazione fisica. Una scelta molto soddisfacente è la seguente: W ( v = m ( v v ˆn ( Stefano Siboni 1958

19 che può intendersi come l energia cinetica del punto materiale rispetto ad una terna di riferimento in moto traslatorio alla velocità critica v ˆn. Questa funzione presenta proprietà simili a quelle della V discussa in precedenza e fornisce ancora una funzione di Liapunov utile per accertare la stabilità asintotica del moto critico. È immediato riconoscere che v = v ˆn costituisce l unico minimo assoluto e relativo di W e che lim v + W ( v = +. Per contro, è piuttosto laborioso sebbene non difficile verificare che Ẇ è nulla in v = v ˆn e strettamente negativa per v v ˆn. Ẇ è nulla nel solo punto critico e negativa altrove La derivata Ẇ della funzione di Liapunov W lungo le soluzioni di (377. si annulla nella velocità critica v = v ˆn e risulta strettamente negativa in ogni altro caso. Per provare l asserto, la derivata viene scritta preliminarmente nella forma ( v [ ] β( v v Ẇ ( v = β(v v ˆn v β(v v ˆn ( usando la ( Indicato con ˆτ un qualsiasi versore ortogonale a ˆn, la velocità può essere espressa in termini delle variabili adimensionali (a, b R come v = v (1 + a ˆn + v b ˆτ ( in modo che Ẇ ( v diventa [ ] β [v (1 + a + b ] a + a + b Ẇ ( v = β(v v β(v (1 + a + b a := β(v v L(a, b ( e la velocità critica corrisponde a (a, b = (,. La derivata si annulla ovviamente in corrispondenza della velocità critica, in quanto la funzione ausiliaria L(a, b = ] β [v (1 + a + b a + a + b β(v (1 + a + b a ( soddisfa la condizione L(, =. Si vuole verificare che L(a, b > per qualsiasi coppia (a, b non nulla. A questo scopo, nel piano (a, b siano D 1 e D i dischi chiusi definiti da D 1 := {(a, b R : (1 + a + b 1} D := {(a, b R : a + a + b } (377. Stefano Siboni 1959

20 con D D 1, come illustrato in figura D 1 è il disco di raggio unitario e di centro (a, b = ( 1,, mentre D ha raggio 1/ e centro (a, b = ( 1/,, essendo a + a + b = ( a b 1 4. Il segno positivo di L(a, b viene discusso separatamente all interno, all esterno e lungo la frontiera di D 1. (1 Interno di D 1 All interno del disco D 1 le coordinate a, b soddisfano la diseguaglianza (1 + a + b < 1, per cui ] β [v (1 + a + b < < 1 (377.1 β(v a causa della monotonia della funzione positiva β. Nella stessa regione, come evidenziato dalla figura precedente, risulta inoltre < a <. Si devono esaminare tre sottocasi: (i all interno di D si hanno le diseguaglianze a + a + b < e 1 < a <. Pertanto L(a, b > a + a + b (1 + a + b a = (1 + a + b a 1 (1 + a + b a = = (1 + a + b a 1 a (1 + a + b (1 + a + b = = 1 [(1 + a + b a ( a (1 + a + b a + (1 + a + b ] 4 a 1 Stefano Siboni 196

21 = [ 1 ( (1 + a + b a ( 1 + a ] (1 + a + b = = = 1 (1 + a + b [ 1 + (1 + a + b ][ (1 + a + b (1 + a ] = 1 [ 1 + (1 + a + b ] b (1 + a + b (1 + a + b a >, (377. in quanto 1 + a (, 1; (ii all esterno di D vale a + a + b > mentre è comunque < a <, per cui si conclude che entrambi i termini in L(a, b risultano positivi: ] β [v (1 + a + b a + a + b β(v (1 + a + b > a > e dunque L(a, b > ; (iii lungo la frontiera di D si ha a + a + b = e 1 a, in modo che L(a, b = a. La funzione si annulla unicamente per a =, dove risulta peraltro b =. ( Esterno di D 1 I punti esterni al disco D 1 sono individuati da (1 + a + b > 1, ma siccome D D 1 in quegli stessi punti deve risultare altresì a + a + b >, per cui ] β [v (1 + a + b β(v > 1 e a + a + b (1 + a + b >. (377.3 Procedendo come nella (377., ne deriva che L(a, b è strettamente positiva: L(a, b > a + a + b (1 + a + b a = 1 + (1 + a + b (1 + a + b [ (1 + a + b (1 + a ], dovendosi avere necessariamente (1 + a + b (1 + a. (377.4 (3 Frontiera di D 1 La frontiera di D 1 si compone di tutti e soli i punti dove (1 + a + b = 1. Si ha pertanto L(a, b = a + b (377.5 e l espressione risulta strettamente positiva in tutti i punti della frontiera salvo che nell origine (a, b = (,, dove si annulla. Stefano Siboni 1961

22 Esempio illustrativo del carattere definito negativo di Ẇ Per illustrare il risultato precedente si considera il seguente esempio numerico. La funzione di drag sia β(v = v + 5 cos v, v = v. Si tratta di una funzione positiva e crescente in v >, divergente a + per v +. Il suo grafico ha l andamento illustrato nella figura seguente: La corrispondente derivata di Lie Ẇ ( v ha allora il grafico riprodotto in figura: dove al solito si sono indicate con i simboli v e v le componenti della velocità rispettivamente parallela e perpendicolare a g. La derivata si annulla per (v, v = (v,, risultando negativa in ogni altro punto. Stefano Siboni 196

23 Confronto fra le funzioni di Liapunov alternative Il confronto fra le funzioni di Liapunov V e W mostra che: (i la prima funzione si riconosce facilmente essere adatta a dimostrare la stabilità asintotica della velocità critica, mentre per la seconda l accertamento delle proprietà utili è formalmente più involuto, specie per quel che riguarda il segno negativo della derivata di Lie; (ii la funzione di Liapunov V non è suscettibile di una interpretazione fisica, mentre W può essere immediatamente per quanto non necessariamente interpretata come l energia cinetica della particella rispetto ad un riferimento in moto traslatorio alla velocità critica; (iii poiché d v/dt = gradv ( v, le traiettorie dei moti nello spazio delle velocità seguono sempre la direzione di massima discesa di V, che è quindi dissipata nel modo più efficiente lungo i moti. Tale caratteristica non può essere estesa alla seconda funzione W, la cui diminuzione lungo il moto è tipicamente più lenta. La circostanza è evidente nella figura sottoriportata dove le traiettorie dei moti non intersecano ortogonalmente le superfici di livello di W nello spazio delle velocità superfici sferiche di raggio arbitrario e centro nella velocità critica. In definitiva, entrambe le funzioni di Liapunov V e W mostrano pregi e difetti e possono essere altrettanto utili nell analisi qualitativa del moto asintotico: cum duo pugnarent, victor uterque fuit. Stefano Siboni 1963

24 Esercizio 378. Grave soggetto a un drag generico e ad una forza di tipo Lorentz Un punto materiale pesante di massa m è soggetto ad un campo gravitazionale uniforme di accelerazione g, a una forza di Lorentz del tipo m Ω v, con Ω vettore costante di R 3, e ad una forza di drag della forma: F d ( v = β( v v v (378.1 dove β(ξ è una qualsiasi funzione C 1, positiva e monotòna crescente in ξ [, +, con β( = e lim ξ + β(ξ = + in virtù di tali ipotesi si ha F d ( =. Si vuole provare che: (a esiste sempre una ed una sola soluzione stazionaria delle equazioni del moto, per la quale la velocità istantanea mantiene un valore costante v (velocità critica; (b la soluzione massimale di qualsiasi problema di Cauchy è definita in un intervallo che comprende [, + e per t + la velocità tende al valore critico v indipendentemente dalle condizioni iniziali. Soluzione L equazione del moto si scrive in questo caso d v dt = Ω v + g 1 v β( v m v. (378. Come situazione fisica si può immaginare una particella pesante elettricamente carica, di carica q, in moto attraverso un mezzo resistente a riposo rispetto ad un riferimento in cui sia presente un campo di induzione magnetica B costante e uniforme. In tal caso si avrebbe Ω = q B/m. Per esempio, è concepibile un piccolo aggiustamento del classico esperimento di Millikan della goccia d olio per la determinazione della carica elettrica elementare, in cui il campo elettrostatico uniforme viene rimosso e sostituito con un campo di induzione costante ed uniforme, come illustrato nella figura seguente: Diversamente dal caso considerato nell esercizio precedente, per il quale Ω =, appare evidente che l equazione (378. non costituisce un gradient system poiché, nelle variabili Stefano Siboni 1964

25 di velocità, si ha rot( Ω v = ê i ε ijk v j [ εklm Ω l v m ] = êi ε ijk ε klm Ω l δ jm = ê i ε ijk ε ljk Ω l = = ê i (δ il δ jj δ ij δ jl Ω l = ê i (3δ il 3δ il Ω l = Ω, (378.3 come è immediato verificare usando il simbolo di Ricci ε ijk e la usuale convenzione di somma sugli indici ripetuti, unitamente all identità ε ijk ε abk = δ ia δ jb δ ib δ ja. (a Soluzione stazionaria La prima questione da affrontare riguarda l esistenza e l unicità della velocità critica v. Queste proprietà possono essere verificate in modo elementare introducendo un sistema di riferimento appropriato Ox 1 x x 3, per semplificare il calcolo. Il riferimento viene scelto in modo che l asse Ox 1 sia parallelo a Ω ed il vettore g risulti parallelo al piano coordinato Ox 1 x. Con le notazioni: Ω = Ω ê 1 g = g 1 ê 1 + g ê v = v 1 ê 1 + v ê + v 3 ê 3, (378.4 la condizione di stazionarietà del moto d v/dt = diventa Ωv 3 ê Ωv ê 3 1 m β( v (v 1 ê 1 + v ê + v 3 ê 3 + g 1 ê 1 + g ê = v e conduce al sistema di equazioni scalari 1 m Ωv 3 1 m Ωv 1 m β( v v 1 + g 1 = v β( v v + g = v β( v v 3 =. v (378.5 Stefano Siboni 1965

26 Dalla prima equazione (378.5 si ottiene v v 1 = mg 1 β( v (378.6 mentre la seconda e la terza, risolte formalmente come sistema lineare in v e v 3, porgono: v = g [ β( v β ] 1 ( v v mω v m Ω v 3 = g [ β ] 1 ( v, Ω m Ω v per cui si è ricondotti al sistema equivalente v v 1 = mg 1 β( v v = g β( v mω v v 3 = g Ω [ β ( v m Ω v ] 1. [ β ( v m Ω v ] 1 (378.7 Da questo, quadrando e sommando membro a membro le tre equazioni, si ricava la relazione per il modulo della velocità critica v = v 1 + v + v 3 = = m g1 v β ( v + g β ( v 1 m Ω v [ β ] + g 1 ( v Ω [ β ( v m Ω v m Ω v che semplificata convenientemente a secondo membro si riduce a ed essendo certamente v > fornisce infine v = m g1 v β ( v + g 1 Ω β ( v m Ω v 1 m = 1 g 1 β ( v + 1 g m Ω v + β ( v. (378.8 Poiché β( v è una funzione positiva e crescente, con lim v + β( v = e lim v + β( v = +, il membro destro di (378.8 costituisce una funzione positiva decrescente di codominio R + : esiste dunque precisamente un valore di v in corrispondenza del quale detta funzione assume il valore 1/m. Di conseguenza, l equazione (378.8 ammette sempre un unica soluzione v >, che corrisponde al modulo della velocità critica. Questa soluzione, in generale, non è determinabile in modo esplicito, se non per forme molto particolari della funzione di drag β( v. Tramite le equazioni (378.7 si ricavano poi le ] Stefano Siboni 1966

27 componenti cartesiane v 1, v, v 3 della velocità critica v. Si osservi che questa velocità critica differisce, in generale, da quella calcolata nel caso puramente dissipativo, secondo le equazioni (377.3-(377.4 dell esercizio precedente. A quella velocità critica, tuttavia, essa si riduce per Ω = : v v 1 = mg 1 β( v v = g [ β( v Ω + 1 β ] 1 ( v v = mg m v m v β( v [ v 3 = g Ω Ω + 1 β ] 1 ( v =, m v essendo v = v 1 ê 1 + v ê = m(g 1 ê 1 + g ê v /β( v, con 1/m = (g 1 + g /β ( v. (b Stabilità asintotica della soluzione stazionaria Benché la velocità critica v differisca, in generale, da quella v ˆn calcolata nel caso puramente dissipativo, nondimeno essa risulta ancora globalmente asintoticamente stabile. Si osservi che, diversamente dall esercizio precedente, il sistema non è di tipo gradiente e che di conseguenza la funzione V ( v non può più essere di alcun aiuto come funzione di Liapunov. Fortunatamente, l energia cinetica W ( v è ancora utilizzabile per l accertamento della stabilità asintotica, a patto di sostituire v ˆn con la nuova velocità critica v. Si ha infatti: [ Ẇ ( v = m( v v Ω v + g 1 ] v β( v (378.9 m v ma la condizione per la soluzione stazionaria può scriversi come Ω v + g 1 m β( v v v = (378.1 e consente di eliminare g dall equazione (378.9, per ottenere ( v Ẇ ( v = β( v v v v [ β( v v v β( v v v ] v ( che è la stessa espressione calcolata in assenza della forza di Lorentz, con la sostituzione v ˆn v si veda l equazione ( dell esercizio precedente. Nello spazio delle velocità, la derivata di Lie Ẇ risulta perciò nulla nel solo punto critico e strettamente negativa altrove, assicurando così la stabilità asintotica globale della soluzione stazionaria. Stefano Siboni 1967

28 Osservazione. Funzione di drag superiormente limitata È interessante sottolineare come, per Ω nullo o meno, le stesse conclusioni circa l unicità della soluzione critica e la sua stabilità asintotica globale rimangano valide anche rimuovendo l ipotesi che la funzione di drag β( v, positiva e monotona crescente, diverga all infinito per v +. Si può assumere pertanto che: lim β( v = β R +. v + In queste condizioni può tuttavia avvenire che il moto critico non sia definito. Indicato con Φ( v il membro destro della (378.8 ed essendo ovviamente (g 1, g (,, si ha infatti che: (1 vale in ogni caso lim Φ( v = +, v + in quanto β( v tende a zero per v +; ( risulta lim Φ( v = v + g 1 1 β + g lim v + in modo che: (i se Ω = il limite si scrive esplicitamente come 1, m Ω v + β lim Φ( v = g 1 + g v + β = g β per cui la funzione Φ( v ha codominio ( g /β, + e in virtù della (378.8 il moto critico è definito se e soltanto se g β < 1 m m g < β ; (ii se viceversa Ω il calcolo del limite porge lim Φ( v = g 1 v + β portando così a concludere che il range di Φ( v è l intervallo aperto (g 1 /β, + e che il moto critico esiste se e solo se g 1 β < 1 m m g 1 < β. Stefano Siboni 1968

29 Esercizio 379. Geometria delle masse In una terna cartesiana ortogonale Oxyz, la lamina rettangolare rigida ABCD è collocata come illustrato in figura: In un suo generico punto di coordinate (x, y, la lamina ha densità Determinare del sistema: (a la massa e il baricentro; σ(x, y = µ (a x(a + y, (x, y [ a, a] [, a]. a4 (b la matrice d inerzia rispetto alla terna Oxyz; (c il momento angolare in O e l energia cinetica rispetto alla terna Oxyz, supponendo il punto O fisso e la velocità angolare data da ω = ω ê 1 + ω ê ω ê 3, con ω costante positiva; (d il momento d inerzia rispetto alla retta passante per i vertici A e B; (e la matrice d inerzia relativa alla terna di origine G con gli assi rispettivamente paralleli a quelli della terna Oxyz, e i momenti centrali d inerzia. Soluzione (a Massa e baricentro del sistema La massa e il baricentro di questa superficie materiale vengono determinati direttamente facendo uso delle relative definizioni, che implicano il calcolo di alcuni integrali di superficie. Massa del sistema La massa della lamina si ottiene integrando sul rettangolo [ a, a] [, a] la densità areale σ(x, y: m = a a a dx = µ a 4 ( + 4a dy µ a 4 (a x(a + y = µ a 4 [ ( 4a a ] a (a x a = µ a 4 a 3 a = 3µ. [ (a + y ] a = Stefano Siboni 1969

30 Baricentro della lamina Il piano di giacitura Oxy costituisce un ovvio piano di simmetria del sistema e deve perciò contenere il baricentro G di questo, il cui vettore posizione si scriverà così nella forma L ascissa del baricentro è data da x G = 1 3µ a a a dx G O = x G ê 1 + y G ê. dy x µ 1 (a x(a + y = a4 3a 4 = 1 [ ] ax a ] a [ay 3a 4 x3 + y 3 a mentre per la relativa ordinata si ha l espressione y G = 1 3µ a a a dx = 1 [ax x 3a 4 a a = 1 ( a3 3a 4 3 a3 3 dy y µ 1 (a x(a + y = a4 3a 4 ] a a [ ay + y3 3 ] a a a (ax x dx (a xdx = 1 ( a 3 3a 4 a + a3 3 in modo che il vettore posizione del baricentro diventa a (a + a a (a + ydy = = a 3 (ay + y dy = = 5 9 a G O = a 3 ê a ê. (b Matrice d inerzia relativa a Oxyz Osservato che la lamina giace per intero nel piano coordinato Oxy, la matrice d inerzia del sistema relativamente alla terna Oxyz deve assumere la forma generale [L O ] = L xx L xy L xy L yy L xx + L yy nella quale solo i momenti L xx, L yy e il prodotto d inerzia L xy devono essere calcolati direttamente per mezzo delle relative definizioni. Per il momento d inerzia rispetto all asse coordinate Ox si ha: L xx = a a a dx = µ a 4 [ ax x dy y µ a 4 (a x(a + y = µ a 4 ] a a ] a [a y3 3 + y4 4 a a = µ a 4 a( a 4 (a x dx 3 + a4 4 a (ay + y 3 dy = = 7 6 µa, Stefano Siboni 197

31 mentre per il momento d inerzia relativo ad Oy vale: L yy = a a a dx = µ [ a 4 a x3 3 x4 4 dy x µ a 4 (a x(a + y = µ a 4 ] a a ] a [ay + y a a (ax x 3 dx = µ ( a 4 3 a4 a + a a = µa. (a + ydy = Un calcolo analogo fornisce l espressione del solo prodotto d inerzia non banale: a L xy = a a dx = µ a 4 [ ax dy xy µ a 4 (a x(a + y = µ a 4 x3 3 ] a a [ ay + y3 3 ] a a a (ax x dx = µ a 4 ( 3 a3 ( a 3 La matrice d inerzia della lamina diventa pertanto 7/6 5/9 [L O ] = µa 5/ /6 a + a3 3 (ay + y dy = = 5 9 µa. (c Momento angolare in O ed energia cinetica Nell ipotesi che il punto O del sistema rigido sia fisso, il momento angolare in O della lamina può esprimersi rispetto alla base ê 1, ê, ê 3 associata alla terna Oxyz K O = K 1 ê 1 + K ê + K 3 ê 3 e le relative componenti vengono calcolate applicando la matrice d inerzia [L O ] al vettore colonna delle componenti della velocità angolare istantanea rispetto alla stessa base: K 1 K = [L O ] ω 7/6 5/9 ω = µa 5/9 1 ω ω = K 3 ω 13/6 ω 7/6 5/9 = µa ω 5/9 1 ( 7/3 + (5/9 1 = µa ω ( 1/9 + 1 = µa ω 16/9 1/9. 13/6 1 13/6 13/6 Ne deriva che ( K O = µa ω 16 9 ê1 1 9 ê 13 6 ê3. L energia cinetica del sistema rigido con punto fisso O si ricava infine dalla velocità angolare istantanea e dal momento angolare in O: T = 1 ω K O = 1 ( ω ω ωµa ω 16/9 1/9 = 1 ( 3 µa ω = µa ω. 13/6 Stefano Siboni 1971

32 (d Momento d inerzia relativo alla retta AB La retta AB ha equazione cartesiana x = a nel piano coordinato Oxy e si colloca ad una distanza d = x A x G = a ( a/3 = (4/3a dall asse baricentrale di equazione x = x G = a/3 nello stesso piano. Il teorema di Huygens-Steiner porge perciò I AB = md + I Gz e L yy = I Oy = mx G + I Gy per cui ( 4 ( I AB = md + L yy mx G = 3µ 3 a + µa 3µ 1 3 a = = 16 3 µa + µa 1 3 µa = 6µa. (e Matrice d inerzia relativa alla terna Gxyz e momenti centrali Poiché la terna Gxyz presenta gli assi rispettivamente paralleli a quelli della terna Oxyz, la matrice d inerzia [L G ] del sistema rispetto a Gxyz si può ottenere da quella calcolata in Oxyz, [L O ], facendo uso del teorema di Huygens-Steiner generalizzato. Il vettore posizione del baricentro rispetto ad O si scrive infatti G O = 3 d i ê i = 1 3 a ê a ê i=1 per cui le coordinate di G in Oxyz sono date da d 1 = 1 3 a d = 5 9 a d 3 = e la matrice d inerzia in Gxyz deve soddisfare la relazione generale [L O ] = [L G ] + m d + d 3 d 1 d d 1 d 3 d d 1 d 1 + d 3 d d 3. d 3 d 1 d 3 d d 1 + d Si ha pertanto: 7/6 5/9 5/81 5/7 [L G ] = µa 5/9 1 3µa 5/7 1/9 = 13/6 34/81 13/54 = µa /3. 49/54 Si osservi che la matrice risulta diagonale, in modo che la terna Gxyz è necessariamente centrale d inerzia per il sistema. I suoi elementi diagonali corrispondono ai momenti centrali d inerzia del sistema: A 1 = µa A = 3 µa A 3 = µa. Stefano Siboni 197

33 Esercizio 38. Sistema scleronomo a g.d.l. posizionale conservativo Nel piano verticale Oxy di una terna inerziale Oxyz una corona circolare omogenea D, di centro C, massa m, raggio esterno R e raggio interno R/, è vincolata a rotolare senza strisciare lungo l asse orizzontale Ox. Un punto materiale P, di massa m, può scorrere liberamente lungo il bordo interno della corona ed è connesso all origine O da una molla ideale di costante elastica k. Il sistema è pesante. Assunti i vincoli ideali e usando i parametri s, φ in figura come coordinate generalizzate, determinare del sistema: (a gli equilibri relativi a Oxyz; (b la stabilità dei predetti equilibri; (c l espressione dell energia cinetica relativa a Oxyz; (d le equazioni pure del moto; (e gli equilibri qualora fosse s 1. Soluzione (a Equilibri relativi a Oxyz Il sistema è soggetto esclusivamente a sollecitazioni posizionali conservative e per ipotesi ha vincoli ideali, bilaterali e indipendenti dal tempo. Di conseguenza i suoi equilibri, tutti ordinari, vengono individuati come punti critici del potenziale del sistema. Questo è determinato dalla somma di un termine gravitazionale, dovuto al peso della corona circolare e del punto materiale P, e di un contributo elastico, associato all interazione fra l origine O e il punto P. Per il calcolo dei potenziali parziali occorre scrivere preliminarmente i vettori posizione di C e P in termini delle coordinate generalizzate s, φ, vale a dire: C O = A O + C A = Rs ê 1 + R ê Stefano Siboni 1973

34 e: P O = P C + C O = R sin φ ê 1 R cos φ ê + Rs ê 1 + R ê = = R (s + 1 sin φ ê 1 + R (1 1 cos φ ê. Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale è la somma dei potenziali gravitazionali della corona e del punto P. Per la prima, notando che il centro C della corona circolare omogenea costituisce un ovvio centro di simmetria e deve dunque essere identificato con il relativo baricentro, si ha un contributo costante mentre per il secondo risulta U D g = mg ê (C O = mgr, U P g = mg ê (P O = mgr (1 1 cos φ = 1 mgr cos φ mgr in modo che, omesse le costanti additive irrilevanti, il potenziale complessivo assume la forma U g = 1 mgr cos φ. Potenziale elastico Per il potenziale elastico associato all interazione fra O e P si ha l espressione U el = k (P O = kr [ = kr 1 = kr [ ( 1 sin φ + s + ( 1 1 cos φ ] 4 sin φ + s + s sin φ ] 4 cos φ cos φ = ( s + s sin φ cos φ in cui, al solito, la costante additiva può essere ignorata nell espressione finale del potenziale. Potenziale totale Non resta che sommare i potenziali parziali appena calcolati per ricavare il potenziale del sistema: U(s, φ = 1 ( kr mgr cos φ s + s sin φ cos φ = = 1 kr (mg + krr cos φ (s + s sin φ. = Stefano Siboni 1974

35 Equilibri Gli equilibri del sistema sono tutti e soli i punti critici del potenziale, ottenuti ponendo simultaneamente a zero le derivate parziali prime del potenziale: U s = U s = kr (s + sin φ U φ = U φ = 1 kr (mg + krr sin φ s cos φ ossia risolvendo il sistema di equazioni trigonometriche s + sin φ = 1 (38.1 kr (mg + krr sin φ s cos φ = Dalla prima equazione (38.1 si ha la relazione che esprime s in funzione di φ all equilibrio s = 1 sin φ che sostituita nella seconda delle (38.1 porge l equazione trigonometrica in φ (mg + kr sin φ kr sin φ cos φ = ovvero D altra parte, appare evidente che per cui [ ] sin φ (mg + kr cos φ kr kr (mg + kr = ( mg kr + 1 (mg + kr cos φ > kr e l equazione (38. equivale semplicemente a sin φ =. Ne deriva che i soli equilibri del sistema si hanno per φ = e φ = π, =. (38. > φ R entrambi corrispondenti a s = (1/ sin φ =. Gli equilibri ordinari del sistema risultano pertanto (s, φ = (, e (s, φ = (, π. Stefano Siboni 1975

36 (b Stabiità degli equilibri La stabilità degli equilibri può essere analizzata ricorrendo ai teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale, dal momento che il sistema è scleronomo, posizionale e conservativo. A questo scopo occorre calcolare le derivate parziali seconde del potenziale U: U ss = kr U sφ = kr cos φ U φs = kr cos φ U φφ = 1 kr (mg + krr cos φ + s sin φ, dalle quali si deduce l espressione della matrice hessiana kr kr H U (s, φ = cos φ kr cos φ 1 kr (mg + krr cos φ + s sin φ dei cui autovalori è necessario determinare il segno in tutte le configurazioni di equilibrio. Configurazione (s, φ = (, In questo caso la matrice hessiana del potenziale assume la forma ( kr kr ( / 1 1/ H U (, = kr / 1 = kr mg + kr (mg + krr 1/ kr e presenta determinante positivo e traccia negativa ( mg + kr deth U (, = k R 4 kr 1 4 trh U (, = kr ( 1 + ( mg = k R 4 kr mg + kr kr <. Se ne conclude che gli autovalori della matrice sono entrambi di segno negativo e che la configurazione di equilibrio costituisce pertanto un massimo relativo proprio del potenziale, di cui il teorema di Lagrange-Dirichlet assicura la stabilità secondo Liapunov. Configurazione (s, φ = (, π In questo caso si ha invece ( kr kr ( / 1 1/ H U (, π = kr 1 = kr mg + kr, / (mg + krkr 1/ kr matrice di determinante negativo ( deth U (, π = k R 4 mg + kr kr 1 4 Stefano Siboni 1976 < >

37 e quindi indefinita ossia con autovalori di segno opposto. Il ricorrere di un autovalore positivo implica l instabilità dell equilibrio per l inversione parziale del teorema di Lagrange-Dirichlet. (c Energia cinetica Conviene calcolare l energia cinetica sfruttando la proprietà di additività e quindi determinando separatamente l energia cinetica della corona circolare e del punto materiale, per poi sommare i relativi contributi. Energia cinetica della corona circolare Il momento d inerzia della corona circolare omogenea rispetto all asse Cz si può calcolare usando l additività dei momenti. Per un disco circolare omogeneo di densità σ e raggio r il momento centrale d inerzia rispetto all asse ortogonale al disco vale I = 1 (σπr r = π σr4. Il momento d inerzia della corona è pari alla differenza fra il corrispondente momento del disco completo di raggio R e quello del disco di raggio R/: I D Cz = π σr4 π σ ( R la densità costante essendo data dalla relazione 4 = 15 3 πσr4, σ = m ( R = πr π m πr π = 4 m 4 R 3π R, sicché ICz D = 15 3 π 4 m 3π R R4 = 5 8 mr. La velocità istantanea del baricentro C si ottiene derivando rispetto al tempo il vettore posizione C O = Rs ê 1 + R ê : Ċ = Rṡ ê 1, mentre la condizione di puro rotolamento porge la seguente espressione per la velocità angolare istantanea della corona circolare ω = ṡ ê 3 che si muove ovviamente di moto piano in Oxy. L energia cinetica della corona circolare, che non presenta alcun punto fisso, si ricava allora applicando il teorema di König: T D = m Ċ + 1 ID Cz ω = m R ṡ mr ṡ = mr ṡ. Stefano Siboni 1977