4.1 Sulla linearizzazione attorno agli equilibri

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1 ½¾º¼ º¾¼½ Queste note (attualmente, e probabilmente per un bel po ) sono altamente provvisorie e (molto probabilmente) non prive di errori 41 Sulla linearizzazione attorno agli equilibri Come abbiamo già visto, per lo studio qualitativo della dinamica di un sistema bidimensionale tipicamente dobbiamo: 1 determinare i punti di equilibrio; 2 studiare la dinamica del sistema linearizzato Tuttavia la domanda sorge spontanea: la linearizzazione è sempre attendibile? La risposta è no: la parte reale degli autovettori deve essere diversa da zero Vediamo un esempio in cui le cose non funzionano Esercizio 41: Consideriamo il sistema = y +εx(x 2 +y 2 ) ẏ = x+εy(x 2 +y 2 ) L origine è evidentemente un punto di equilibrio e, in un intorno dell origine, il sistema linearizzato è dato da = y ẏ = x e gli autovalori corrispondenti sono λ 1 = i e λ 2 = i Dunque, nell approssimazione lineare, l origine sembrerebbe essere un centro Come già visto nelle note del Prof Giorgilli per lo studio dei punti di centro e di fuoco, è sicuramente conveniente passare alle coordinate polari r 2 = x 2 +y 2 ϑ = arctan y x

2 2 Esercitazione 4 Ricordando che d dt r2 = 2rṙ = 2xẋ+2yẏ, ϑ(1+tan 2 ϑ) = ẏx ẋy x 2 e risolvendo rispetto a r e ϑ otteniamo ṙ = εr 3, ϑ = 1 Concentriamoci sulla dinamica radiale, quella angolare risulta infatti banale L osservazione elementare è che la dinamica dipende fondamentalmente dal solo segno di ε: 1 ε = : centro, l approssimazione lineare coincide con il sistema originale; 2 ε > : fuoco instabile; 3 ε < : fuoco stabile Il parametro ε gioca un ruolo fondamentale nell intorno dell origine, ma non compare nell approssimazione lineare! Il comportamento è quindi simile a quello di un fuoco, ben diverso da quello di un centro ottenuto mediante l approssimazione lineare! Ladinamicaradialeinoltredivergeinuntempofinito,t (perchè?),diconseguenza l angolo ϑ sarà asintotico ad un certo valore limite ϑ + t che dipenderà dalla fase iniziale Possiamo anche risolvere esplicitamente l equazione rt dµ r t µ 3 = ε(t t ) ed otteniamo 1 rt 2 = 1 rt 2 +2ε(t t ), 1 r(t) = 2ε(t t )+1/rt 2 Esercizio 42: Studiare il sistema = y +x(x 2 +y 2 1) ẏ = x+y(x 2 +y 2 1) In particolare studiare le soluzioni stazionarie, periodiche e la loro natura Inoltre stabilire se le soluzioni sono prolungabili e i comportamenti asintotici Anzitutto passiamo alle coordinate polari ed osserviamo che valgono le relazioni r 2 = x 2 +y 2, tanϑ = y x, rṙ = xẋ+yẏ, ϑ(1+tan 2 ϑ) = ẏx ẋy x 2 Utilizzando queste relazioni otteniamo immediatamente ṙ = r(r 2 1), ϑ = 1

3 Osserviamo che r = ed r = 1 sono equilibri (solamente per la dinamica radiale), ma osserviamo che r = è un punto singolare Sostituiamo direttamente x = y = nel sistema originale e verifichiamo che effettivamente l origine(, ) è un punto stazionario (l unico per il sistema completo) L altra soluzione costante, r = 1, in realtà non è una soluzione del sistema di partenza Infatti la soluzione completa è data da r t = 1, ϑ t = ϑ +t, che non è un punto stazionario, bensì una soluzione periodica: il moto è circolare uniforme Il semplice studio del segno di ṙ ci permette di concludere che tutte le orbite con dato iniziale < r < 1 tendono asintoticamente verso l origine nel futuro e verso l orbita periodica r = 1 nel passato Le orbite con dato iniziale al di fuori del cerchio unitario, r > 1, invece avranno un raggio sempre crescente nel futuro e tenderanno asintoticamente all orbita periodica r = 1 nel passato In aggiunta, osservando che per r sufficientemente grande possiamo approssimare ṙ r 3, otteniamo un informazione cruciale: la dinamica radiale, per dati iniziali r > 1 diverge in un tempo finito (che denotiamo con t ) Di conseguenza la dinamica angolare, essendo ϑ = 1, è limitata da ϑ +t Ne concludiamo che le orbite al di fuori del disco unitario divergeranno in tempi finiti (nel futuro) e con un angolo fissato (che dipende dal dato iniziale), avendo come asintoto la retta ϑ = ϑ t Linearizziamo in un intorno dell origine = y x ẏ = x y e troviamo gli autovalori λ = 1±i L origine è dunque un fuoco stabile (attrattore) Integriamo ora l equazione per r ed otteniamo t t ṙ r(r 2 1) = 1 ṙ(s)ds rt r(s)(r 2 (s) 1) = Integrando esplicitamente otteniamo dµ µ(µ 2 1) = t t 1 (r+1)(r 1) log 2 r log (r +1)(r 1) r 2 da cui segue (r+1)(r 1) r 2 = e 2(c+t t ) dove c = 1 2 log (r +1)(r 1) La soluzione è data da r 2 1 r t = 1 e 2(c+t t ) = t t

4 4 Esercitazione 4 Osserviamo che dalla soluzione analitica possiamo ricavare le stesse informazioni ottenute dallo studio puramente qualitativo Ovviamente la conoscenza di una soluzione analitica ci permette di avere informazioni più dettagliate, ma qualitativamente non stiamo aggiungendo informazioni essenziali rispetto a quelle già ottenute Esercizio 43: Studiare il sistema = y(x 2 +y 2 1)+x(x 2 +y 2 1)(x 2 +y 2 2) ẏ = x(x 2 +y 2 1)+y(x 2 +y 2 1)(x 2 +y 2 2) 42 Il sistema Lotka-Volterra Il cosiddetto modello preda-predatore, è rappresentato dal sistema = αx βxy = f1 (x,y), ẏ = γy +δxy = f 2 (x,y) con α, β, γ e δ parametri positivi 421 Calcolo dei punti stazionari I punti stazionari, ie, i punti per i quali vale f 1 (x,y) = f 2 (x,y) =, sono P 1 = (,) (morte totale) e P 2 = (γ/δ,α/β) (vita all equilibrio) 422 Dinamica locale attorno ai punti di equilibrio Anzitutto calcoliamo la matrice Jacobiana ( ) α βy βx J(x,y) = δy γ +δy Segueimmediatamenteche,nell approssimazionelineare,p 1 = (,)èunpuntodi sella,mentrep 2 = (γ/δ,α/β)èuncentrotuttavia,comeabbiamovistoinprecedenza, l approssimazione lineare nel caso del centro non è attendibile Vediamo come sfruttare l esistenza di una costante del moto per mostrare che, in questo caso, anche nel sistema originale (non-lineare), la dinamica in un intorno del punto P 2 è equivalente a quella di un centro 423 Costanti del moto Eliminando il tempo otteniamo che si integra immediatamente Segue che la quantità α βy y dy = γ δx dx, x Φ(x,y) = αlogy βy +γlogx δx

5 è una costante del moto (un integrale primo) L esistenza di una costante è fondamentale per lo studio qualitativo del sistema: le soluzioni devono necessariamente giacere sulle curve di livello della costante del moto Il problema viene quindi essenzialmente ridotto allo studio della costante del moto, ed in particolare alle sue curve di livello In questo caso può essere utile considerare l esponenziale dell integrale primo riportato sopra per studiarne piu facilmente le curve di livello È facile osservare che il punto di equilibrio P 2 è un massimo per la costante del moto e che le curve di livello sono delle curve chiuse (concentriche) attorno al punto di equilibrio: P 2 è un centro non lineare! Le curve di livello sono riportate nel grafico sottostante, dove le frecce sono state ottenute direttamente dalla direzione del campo vettoriale in un punto Abbiamo quindi ottenuto una descrizione qualitativa della dinamica grazie alle curve di livello della funzione Φ(x, y) Per ottenere informazioni quantitative, che giustificano anche il nome di integrale primo, dobbiamo utilizzare il teorema della funziona implicita ed invertire rispetto al valore C che assume Φ(x, y) sulla curva di livello (vedi note del Prof Giorgilli, capitolo 4)