Programma dettagliato del corso di MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Civile

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1 Programma dettagliato del corso di MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Civile Anno Accademico A. Ponno (aggiornato al 30 dicembre 2013)

2 2 Ottobre /10/13 Benvenuto, presentazione del corso e dei suoi contenuti. Descrizione del materiale didattico e delle modalità di esame. 3/10/13 Richiami di geometria dello spazio euclideo. Segmenti orientati, vettori applicati, vettori geometrici. Struttura vettoriale e affine dello spazio dei vettori geometrici. Struttura euclidea: prodotto scalare, norma e concetto di angolo; interpretazione geometrica del prodotto scalare. Basi ortonormali. Prodotto vettoriale, proprietà principali e significato geometrico. Basi orientate e prodotto misto con relativa interpretazione geometrica. Prodotto triplo. 7/10/13 Introduzione e critica dei concetti di punto materiale, massa, sistema di riferimento. Posizione, velocità e accelerazione di un punto materiale che si muove nello spazio. Primo principio della dinamica. Esistenza di infiniti sistemi inerziali. 8/10/13 Secondo principio della dinamica (legge di Newton) e concetto di forza. Terzo principio della dinamica (azione e reazione). Principio di determinismo Newtoniano. Principio di sovrapposizione delle forze. Sistema di punti materiali non isolato: forze interne e forze esterne. Definizione di centro di massa o baricentro di un sistema di punti materiali. Prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali. 10/10/13 Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie (EDO). Esempio: caduta dei gravi in presenza di resistenza dell aria. Struttura di un equazione differenziale, definizione di soluzione e significato fisico di parametri d integrazione e condizioni iniziali. Definizioni preliminari, forma normale, riduzione di un EDO di ordine n ad un sistema di n EDO del primo ordine; esempi. Integrale generale, parametri d integrazione e problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineare del primo ordine: esempio e formula risolutiva. 14/10/13 Enunciato e dimostrazione della prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti. Esempio: moto del centro di massa dei sistemi soggetti a gravità. Definizione di momento angolare (o della quantità di moto) e di momento di una forza; risultanti. 15/10/13 Enunciato e dimostrazione della seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti. Esempio: momento angolare totale dei sistemi soggetti a gravità. Caso dei (sistemi di) corpi rigidi: ruolo delle equazioni cardinali. 17/10/13 LEZIONE SALTATA (missione docente per attività di ricerca) 21/10/13 Introduzione alla statica. Definizione di posizione di equilibrio di un punto materiale (annullamento della forza per velocità nulla). Definizione di configurazione di equilibrio di un sistema di punti materiali (annullamento del sistema di forze per velocità nulle). Equilibrio come soluzione particolare delle equazioni di Newton. Molla ideale e molla reale. Esempio: equilibrio di un punto ancorato a n centri tramite molle ideali. 22/10/13 Calcolo e proprietà delle combinazioni lineari convesse di vettori; implicazioni per il centro di massa. Esercizi di statica per sistemi di masse e molle; molle in serie e molle in parallelo.

3 24/10/13 Curve parametriche in 3D. Vettore tangente e velocità. Regolarità, lunghezza e riparametrizzazione di una curva. Esempi. Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine: un esempio meccanico. EDO lineari a coefficienti costanti, equazione omogenea associata ed equazione caratteristica. 28/10/13 Statica del punto vincolato ad una curva o ad una superficie. Vincoli ideali e vincoli con attrito. Esempi. 29/10/13 Dimostrazione del fatto che, in presenza di attrito statico, le posizioni di equilibrio di un punto vincolato ad una curva formano intervalli attorno alle posizioni di equilibrio ideale. Dinamica del punto vincolato. Attrito dinamico. Esempi. 31/10/13 Schema riassuntivo per le EDO lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: discussione dei diversi casi. Esercizi. 3 Novembre /11/13 Esercizi su statica e dinamica di sistemi di masse e molle. 5/11/13 Dinamometro con punto di sospensione oscillante: battimenti e risonanza. Esercizio su attrito statico e dinamico. 7/11/13 Esercizio su punti materiali vincolati su un asta, collegati da una molla ideale, sotto l azione della forza peso e in assenza di attrito. 11/11/13 Ancora su battimenti e risonanza. Definizione di coppia di forze. Asta ideale e filo ideale; condizioni di equilibrio. Esercizi di statica. 12/11/13 Esercizi di statica con aste, fili ideali e calcolo di reazioni vincolari. Reazione negativa e perdita di appoggio. 14/11/13 Continuazione esercizi su sistema di due punti materiali vincolati su un asta, sotto l azione sia della forza peso che di una forza elastica. Sistema pesante molla-massa-molla-massa appeso al soffitto: equazioni del moto, equilibri e soluzioni del problema di Cauchy. 18/11/13 Introduzione alla cinematica relativa. Passaggio da un sistema di riferimento fisso a uno mobile. Uso delle matrici di rotazione. Moto rototraslatorio generale. Definizione di velocità angolare e asse istantaneo di rotazione. Velocità di trascinamento e velocità relativa. 19/11/13 Derivazione della legge di Newton per un punto materiale osservato in un sistema di riferimento non inerziale. Forze apparenti: forze di inerzia (traslazionale e rotazionale); forza centrifuga e forza di Coriolis. Discussione con esempi. 21/11/13 LEZIONE SALTATA (aula occupata per esami di stato)

4 4 25/11/2013 Effetto della forza di Coriolis su masse in moto sulla superficie terrestre: analisi qualitativa dei cicloni nei due emisferi. Esercizio su forze apparenti: pedana in rotazione uniforme con pallina pesante vincolata a muoversi su una guida radiale, sotto l azione di una molla che la collega al centro della pedana. 26/11/2013 Fine dell esercizio precedente (studio del caso di moto iperbolico) ed esercizi di statica: scala appoggiata al muro e leva (deduzione della legge di Archimede). 28/11/2013 Continuazione studio del sistema pesante molla-massa-molla-massa appeso al soffitto. Impostazione delle equazioni del moto di due masse collegate con tre molle in posizione orizzontale e vincolate a due pareti fisse. Il pendolo semplice come esempio di sistema soggetto a forze apparenti; soluzione del sistema linearizzato. Dicembre /12/13 Sistemi di vettori applicati: risultante, momento risultante e formula di trasposizione del momento (rispetto a spostamento del polo). Sistemi equivalenti - o mutuamente riducibili - di vettori applicati e indipendenza dell equivalenza dal polo. Esempi di riduzione: caso della coppia e caso generale. Sistemi di vettori applicati paralleli. Caso di risultante non nulla: centro del sistema e riduzione a risultante applicata nel centro; esempio del baricentro. 3/12/13-a Richiami sulla dinamica del pendolo linearizzato: isocronismo delle piccole oscillazioni; conservazione dell energia e oscillazioni in regime non lineare: dipendenza del periodo dalla fase iniziale. Risoluzione delle equazioni del moto esercizio impostato e assegnato per casa il 28/11/13: tre molle e due massa tra due pareti fisse. Impostazione delle equazioni del moto per il pendolo molleggiato. 3/12/13-b Teorema sul centro di pressione dei solidi in appoggio ideale: definizioni, enunciato e dimostrazione. 5/12/13 Richiami su pendolo molleggiato e linearizzazione vicino a (0, l 0 ). Sistemi di EDO lineari omogenee 2 2. Esercizio su punto materiale, due molle, una parete fissa e una mobile: equazioni del moto, equilibri, moti, situazione vicino alla risonanza e reazioni vincolari. 9/12/13 Esercizio: gru con carico mobile (condizione di equilibrio, reazioni di appoggio e limite sul carico per utilizzo pieno dell avambraccio). Proprietà distributiva del baricentro (o teorema di composizione): definizioni, enunciato e dimostrazione. 10/12/13-a Definizione di piano e retta di simmetria materiale per un sistema di punti materiali. Appartenenza del baricentro a piani o rette di simmetria materiale: enunciato e dimostrazione. Esempi notevoli. Baricentro di una sfera omogenea con cavità sferica decentrata e vuota al suo interno; baricentro di una lastra circolare con foro circolare decentrato.

5 10/12/13-b Baricentro di una lastra circolare con disomogeneità circolare decentrata. Baricentro di una lastra semi-circolare omegenea e di una corona semi-circolare omogenea. Assegnazione di esercizi. Equilibrio di una bici (o moto) con carico e distribuzione del carico totale sulle ruote. Esercizio su determinazione del baricentro e della condizione di equilibrio di un solido in appoggio con carico applicato. 12/12/13 Cinematica rigida: deduzione dell equazione di Eulero (seconda equazione cardinale nel sistema di riferimento solidale con il corpo), nel caso di dinamica libera o con punto fisso. Definizione di tensore di inerzia del corpo relativo al baricentro e prime proprietà. 16/12/13 Esempio: corpo rigido in caduta libera sotto l azione della sua forza peso; moto del baricentro e rotazione. Proprietà del tensore di inerzia: simmetria e positività. Momento di inerzia del corpo rispetto ad un asse (polo, versore) come forma quadratica associata al tensore di inerzia relativo al polo e calcolata sul versore. Definizione di asse principale di inerzia e di asse centrale. Terna centrale di inerzia. 17/12/13-a Tensori di inerzia e simmetrie. Caratterizzazione degli assi principali di inerzia come rette ortogonali ai piani di simmetria materiale: enunciato e dimostrazione. L intersezione di due piani di simmetria materiale è asse principale di inerzia: solo enunciato. Proprietà dei corpi piani: le rette normali al piano del corpo sono assi principali di inerzia; la somma dei due momenti rispetto agli assi principali appartenenti al piano è uguale al terzo momento. Teorema di Huygens-Steiner (trasposizione del momento di inerzia): enunciato e dimostrazione. Proprietà di composizione (ovvero additività su partizioni) dei momenti di inerzia. 17/12/13-b Applicazioni della teoria. Determinazione degli assi centrali di inerzia e dei tre relativi momenti di inerzia (ovvero del tensore centrale di inerzia) di una lastra circolare omogenea, di una lastra rettangolare, di un parallelepipedo a base rettangolare e di una lastra circolare omogenea con foro circolare decentrato. Illustrazione di soluzione di possibili altri esercizi. 19/12/13 Esercizio di riepilogo: massa vincolata ad un piano rotante attorno ad un asse verticale e ad una molla di estremo l intersezione tra l asse di rotazione e il piano orizzontale: equazioni del moto, equilibri, dinamica. 5