PROGRAMMA DI FISICA MATEMATICA 1

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1 PROGRAMMA DI FISICA MATEMATICA 1 prof. Ettore LASERRA Anno Accademico 2007/2008 Premessa Il presente programma segue, abbastanza fedelmente, il libro di testo vedi [2], che va integrato, ove necessario, con gli appunti [1] e/o con i testi citati nella bibliografia. 1 1 Richiami di teoria dei vettori liberi (vedi [7, Cap.I p.7 37]) Segmenti orientati - vettori e scalari. Prodotto di un numero per un vettore. Somma di un punto e di un vettore. Somma e differenza di vettori. Componente di un vettore secondo una retta orientata. Scomposizione di un vettore nei componenti parallelo e ortogonale a una direzione (decomposizione fondamentale) (vedi [1, p. I.4.1 3]). Prodotto scalare e sue proprietá. Orientamento dello spazio (vedi [1] p. I.6.1 5). Definizione di prodotto vettoriale - Proprietá. Prodotto misto e sue proprietá. Componenti cartesiane di un vettore - Rappresentazione cartesiana. Operazioni sui vettori in forma cartesiana. Osservazione sulla terna di riferimento. Doppio prodotto vettoriale (formule di Grassmann). Identitá di Lagrange (vedi [1] p. I ). Basi reciproche (vedi [1] p. I ). Discussione di una notevole equazione vettoriale. 2 Vettori e punti variabili (vedi [7, Cap.I, 3, p.38 52, senza dimostrazioni] Funzioni vettoriali. Derivata di una funzione vettoriale. Derivata di un punto variabile. Proprietá differenziali di una curva Curve regolari. Versore della tangente a una curva regolare. Piano osculatore e curvatura. Raggio di curvatura - triedro fondamentale - Formule di Frenet. 3 Sistemi Dinamici Richiami sugli spazi affini (vedi [2, Cap.1, p.2 12] o [3, p.1 26] Campi scalari. Campi vettoriali. Forme differenziali. Coordinate generiche (o generali o curvilinee). Matrice jacobiana di una trasformazione di coordinate. Riferimento associato. Esempi: Coordinate polari del piano - Coordinate cilindriche - Coordinate polari sferiche. Curve: Curve parametrizzate - Equazioni parametriche - Interpretazione cinematica - velocitá istantanea. Sistemi dinamici e curve integrali (vedi [2, Cap.1, p.15 38]) o [3, p.34 56] Sistemi dinamici e curve integrali. Flusso. proprietá di gruppo (o di evoluzione). Gruppo di trasformazioni a un parametro. Orbite del campo (linee di flusso). Punti critici. Sistemi non autonomi. Corso di Laurea In Matematica, Facoltà di Scienze MFN, Università di Salerno 1 N.B. : Gli argomenti contrassegnati con (+) sono facoltativi. 1

2 Esempi (vedi [2, Cap.1, p.21 23]) Campo radiale. Caduta dei gravi. L equazione di Weierstrass (vedi [2, Cap.1, p.23 28]) Funzione di Weierstrass. Equazione di Weierstrass. Discussione di Weierstrass. Integrali primi (vedi [2, Cap.1, p.28 38]) Funzione integrale (o integrale primo) di un campo vettoriale. equazione degli integrali primi di un campo vettoriale. Integrali primi locali e globali. Esempi Campo radiale. oscillatore armonico. Sistemi dinamici lineari. Il pendolo semplice. Il sistema dinamico di Lotka Volterra(+). 4 Vettori applicati Momento polare e momento assiale (vedi [7, Cap.II, p.57 68]) Momento di un vettore applicato rispetto a un punto. Momento di un vettore applicato rispetto a una retta orientata. Momento di una retta orientata rispetto a un punto(+); distanza di un punto da una retta(+) (vedi [1] p.v.1.4)(+). Momento risultante di un sistema di vettori applicati rispetto a un punto - Teorema di Varignon - Legge di variazione del momento risultante al variare del polo. Coppie. Momento risultante di un sistema di vettori applicati rispetto a una retta orientata. Invariante scalare di un sistema di vettori applicati. Asse centrale di un sistema di vettori applicati a risultante non nullo. Equivalenza di sistemi di vettori applicati (vedi [7, Cap.II, p.68 73]) Equivalenza di due sistemi di vettori applicati. Equivalenza a zero di un sistema di vettori applicati - Esempio: coppia di braccio nullo. Equivalenza di ogni sistema di vettori applicati a un vettore e a una coppia. Sistemi mutuamenti riducibili(+) (sola definizione). Mutua riducibilitá dei sistemi equivalenti(+) (solo enunciato). Sistemi di vettori paralleli (vedi [7, Cap.II, p.85 90]) Equivalenza di ogni sistema di vettori paralleli ad un vettore o ad una coppia. Asse centrale e centro di un sistema di vettori paralleli. Proprietá del centro di un sistema di vettori paralleli. 5 GEOMETRIA DELLE MASSE Baricentri (vedi [7, Cap.III, p ]) Punto materiale e sistemi di punti materiali. Sistemi continui. Baricentro di un sistema di punti materiali. Baricentro di un sistema continuo (senza dimostrazione). Piani e rette diametrali - piani e rette di simmetria geometrica e materiale) (senza dimostrazioni). Proprietá del baricentro (senza dimostrazioni). Baricentro di un arco omogeneo di circonferenza. 2

3 6 CINEMATICA Cinematica del punto (vedi [2, Cap.2, p.43 67]) e [7, Cap.V, p ]) Rappresentazione vettoriale. Equazioni parametriche del moto. Velocitá scalare. Velocitá vettoriale. Accelerazione scalare. Accelerazione vettoriale. Accelerazione tangenziale e normale Moti composti(sole definizioni) (vedi [7, Cap.V, p ]). Moto periodico. Richiami sugli spazi vettoriali euclidei (vedi [2, Osservazione 1, p.48 49]). Rappresentazione in coordinate generiche (vedi [2, 2.2, p.49 51]) Generalitá. Simboli di Christoffel. Velocitá e accelerazione in coordinate generali. Il tensore metrico(+). Calcolo dei simboli di Christoffel(+) - Calcolo diretto delle componenti dell accelerazione(+). Moti piani ((vedi [2, 2.2.1]); vedi anche [7, Cap.V, 4, p ]) Rappresentazione polare di un moto piano Velocitá radiale e trasversa. Velocitá angolare.velocitá areale. Componente radiale e trasversa della accelerazione vettoriale. Simboli di Christoffel delle coordinate polari piane. Rappresentazione intrinseca Legge oraria. Rappresentazione intrinseca della velocitá. Rappresentazione intrinseca dell accelerazione (formula fondamentale della cinematica del punto o formula di Huyghens). (vedi [2, Osservazione 2, p.61]). Applicazioni (vedi anche [7, Cap.V, 5, p ]) Moto uniforme. Moto uniformmemente vario. Moto circolare. Moto circolare uniforme. Moto armonico. Equazione differenziale dei moti armonici. Spirale logaritmica - Moto armonico smorzato. Velocita areale. Moto elicoidale uniforme. Moti Centrali Moti Centrali. Formule di Binet. Leggi di keplero(+). 6.1 Rotazioni (vedi [2, 2.7, p.79 84] Endomorfismi. Endomorismo trasposto. Endomorfismi ortogonali (Isometrie). Rotazioni e rotazioni improprie. Gruppo ortogonale O(E, g). Gruppo ortogonale speciale SO(E, g). Matrici ortogonali. Autovalori di un endomorfismo ortogonale(+). Rappresentazione esponenziale. Cenni sui quaternioni e rappresentazione quaternionale. 6.2 Cinematica del corpo rigido (vedi [2, Cap.2, p ]) Generalitá sui moti rigidi (vedi [7, Cap.V, 5, p ]) spostamenti e moti rigidi. Punti solidali. Terna solidale. Equazioni generali dei moti rigidi. Atto di Moto. Moti tangenti Moto rigido con un punto fisso Endomorfismi dipendenti da un parametro. Derivata di un endomorfismo dipendente da un parametro. Velocitá angolare come endomorfismo dipendente dal tempo. Forma bilineare corrispondente ad un automorfismo. Velocitá angolare come vettore aggiunto di una forma bilineare antisimmetrica. Formule di Poisson. 3

4 Moto rigido generico Endomorfismi affini. Automorfismi affini (trasformazioni affini). Isometrie affini. Prima formula fondamentale della cinematica rigida. Seconda formula fondamentale della cinematica rigida Atto di moto rigido. Asse di Mozzi. Teorema di Mozzi. Atti di moto particolari Atto di moto traslatorio, atto di moto rotatorio, atto di moto elicoidale. Distribuzione delle accelerazioni Formula delle accelerazioni in un moto rigido. 6.3 Moti relativi (([2, Cap.2, 2.9, p ] vedi anche [7, Cap.VII, p ]) Cambiamenti di riferimento Legame tra le derivate temporali prime e seconde di un vettore variabile rispetto a due riferimenti. Teorema (Principio) dei moti relativi. Teorema di Coriolis. Moti rigidi particolari Moto traslatorio. Moto rigido con un punto fisso (sferico). Moto rigido con un asse fisso (rotatorio). 7 LA MECCANICA DI NEWTON E DI EULER Dinamica del punto libero (vedi [2, 3.1, p ]) Forze posizionali (vedi [7] p ) Definizione - Esempi: attrazione gravitazionale, forza elastica di richiamo, forze centrali. Equazion differenziali del moto di un punto libero (vedi [7, Cap.IX, p ]) Il Primo problema della Dinamica. Il Secondo Problema (o Problema fondamentale) della dinamica. Equilibrio di un punto libero. Equazioni intrinseche. Equazioni del moto di un punto materiale vincolato (vedi [7, Cap. IX, p ]) Vincoli. Reazione vincolare. Equazioni differenziali del moto di un punto vincolato. Equazioni intrinseche per un punto vincolato. Condizione di equilibrio per un punto vincolato. Attrito statico e dinamico (vedi [7, Cap. IX, p ]) Reazioni vincolari esplicabili da una superficie o da una curva su un punto avente velocitá nulla. Condizioni di equilibrio pure - Caso di un punto materiale appoggiato su una superficie o vincolato a rimanere su una superficie o su una curva. Reazioni vincolari esplicabili da una superficie o da una curva su un punto avente velocitá non nulla (sole definizioni). Punto vincolato a rimanere su una curva fissa (vedi vedi [7] Cap.XIII 1, p ) Equazione differenziale del moto di un punto vincolato a rimanere su una curva fissa e priva di attrito. Resistenza passiva e forze di richiamo Moto di un punto soggetto a resistenza viscosa e forza elastica di richiamo. Moti forzati(+). Risonanza (+). 4

5 Equazioni differenziali del moto di un punto materiale rispetto a riferimenti non inerziali (vedi [7, Cap.IX, p ]) Equazione fondamentale della dinamica rispetto a un riferimento qualsiasi. Equilibrio relativo. Forze apparenti nel caso di una terna terrestre - attrazione terrestre e peso(+) (vedi [7] n.17 p ). Equazione fondamentale della meccanica terrestre (vedi [7] n.18 p ). Lavoro di una forza (vedi [7, Cap.IX, p ]) Lavoro elementare di una forza - Condizione affinche una forza derivi da un potenziale (vedi [7, n.20 p ]). Lavoro di una forza in un intervallo finito di tempo (vedi [7] n.21 p ). Grandezze cinetiche fondamentali (vedi [2, 3.2], vedi anche vedi [7, 6, p ]) Teorema della quantiá di moto. Teorema del momento della quantiá di moto. Teorema delle forze vive (vedi [7] n.24 p ). Integrali primi vedi [2, 1, 7]. Integrale primo dell energia vedi [2, 1, 7]. Velocitá di fuga di un missile vedi [1, 7]. Esempio: caduta di un corpo da grande distanza (meteora) [1]. Esempi notevoli (vedi [2, 3.5, p ]) Il moto dei gravi (vedi anche [7, 3 n.17 p ]) - parabola di sicurezza (vedi [5, Chap. 4, 88, p ]). Il pendolo semplice. Moto di un punto in un campo centrale simmetrico. Moto di un punto in un campo newtoniano. Metodo dell energia (vedi [1] oppure vedi [8, p.32 35]). Moto unidimensionale di un punto materiale soggetto all attrazione newtoniana (vedi [1] o [8, p.37 39]). Riferimenti bibliografici [1] Appunti, distribuiti durante il corso. [2] S.BENENTI, Modelli Matematici della Meccanica, Volume I, Celid. [3] S.BENENTI, Calcolo vettoriale negli spazi affini, appunti per il corso di Meccanica Razionale. [4] G.CARICATO, Fondamenti di meccanica newtoniana, Cisu. [5] N.G.CHETAEV Theoretical mechanics, Springer-Verlag. [6] M.FABRIZIO, Elementi di Meccanica Razionale, Zanichelli, Bologna. [7] F.STOPPELLI, Appunti di meccanica razionale, Liguori. [8] K.R.SYMON, Mechanics, Addison Wesley Publishing Company, third edition (1971). N.B. I testi [2, 3, 4, 5, 7] sono reperibili in biblioteca. Gli appunti [3] sono anche liberamente scaricabili dal sito internet dell autore. 5