Meccanica razionale per l ingegneria

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1 Meccanica razionale per l ingegneria

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3 Fabio Bagarello Meccanica razionale per l ingegneria McGraw-Hill Milano New York San Francisco Washington D.C. Auckland Bogotá Lisboa London Madrid Mexico City Montreal New Delhi San Juan Singapore Sydney Tokyo Toronto

4 Copyright 2011 The McGraw-Hill Companies, S.r.l. Publishing Group Italia Via Ripamonti, Milano McGraw-Hill A Division of the McGraw-Hill Companies I diritti di traduzione, di riproduzione, di memorizzazione elettronica e di adattamento totale e parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati per tutti i Paesi. Date le caratteristiche intrinseche di Internet, l Editore non è responsabile per eventuali variazioni negli indirizzi e nei contenuti dei siti Internet riportati. Nomi e marchi citati nel testo sono generalmente depositati o registrati dalle rispettive case produttrici. Editor: Paolo Roncoroni Produzione: Donatella Giuliani Realizzazione print on demand: Ilovebooks, Fara Gera d Adda (BG) Stampa: Prontostampa, Fara Gera d Adda (BG) ISBN Printed in Italy

5 2 A mathematician is a device for turning coffee into theorems. P. Erdos

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7 3 Prefazione e ringraziamenti Queste note nascono da una richiesta più o meno esplicita dei miei studenti che, almeno fino ad ora, si sono dovuti accontentare della loro abilità di stenografi. Prossima allo zero. Anni di insegnamento mi hanno concesso di acquisire una certa capacità, che mi auguro non sia puramente immaginaria, di spiegare concetti complessi con un discreto rigore ed una certa tendenza verso la semplicità. In effetti, alcuni concetti di Meccanica non si prestano ad essere semplificati più che ad un certo livello, ma non posso certo ritenermi colpevole di ciò! Spero comunque di avere prodotto un testo la cui lettura abbia un grado di difficoltà quanto meno accettabile. Se l impressione di chi legge non fosse questa, si rassicuri: esistono testi decisamente più complessi, più completi, e probabilmente meno utili per uno studente di ingegneria. Scommettiamo? Date un occhiata al libro di V. I. Arnold, ad esempio. Poi ne riparliamo. Il principio che ho seguito nella compilazione di questo libro è il seguente: melius abundare quam deficere. In altre parole: potendo scegliere se esprimere un certo concetto con 2 o con 200 parole, io ho sempre operato la seconda scelta! La ragione non è che, come si potrebbe pensare, mi manchi del tutto il dono della sintesi, ma piuttosto che ripetere e sviscerare molti (se non tutti) aspetti di quel concetto non può che aiutare lo studente, cui vengono mostrati dettagli altrimenti destinati a rimanere misteriosi... almeno fino all esame! Un breve commento merita la frase di Erdos, che in effetti rappresenta abbastanza bene la categoria dei matematici. Esiste tuttavia una diversa scuola di pensiero, che vale certamente la pena citare qui, e che recita: un matematico è una macchina per trasformare boccali di birra in teoremi,..., spesso sbagliati! Miei cari studenti, ecco cosa siamo noi: macchine, per altro non perfettamente funzionanti! Buona fortuna!! Dedico questo libro a tre persone abilissime a generare nella mia vita un caos splendido: Federico, Giovanna e Grazyna. A che serve la quiete quando posso avere la loro amorevole tempesta?

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9 Indice 1 Cinematica del punto materiale 9 I L osservatore, il tempo e lo spazio II Proprietà differenziali delle curve sghembe III Cinematica del Punto Materiale IV Equivalenza delle Descrizioni V Moti piani VI Moto centrale e formula di Binet VII Moti composti Cinematica dei corpi rigidi 33 I Formula fondamentale dei moti rigidi II Formula di Poisson e proprietà della velocità angolare III Esempi di moti rigidi III.1 Moto rigido traslatorio III.2 Moto rigido rotatorio III.3 Moto rigido polare IV Moto rigido piano V Teorema di Mozzi, moto elicoidale tangente e trinomio invariante VI Angoli di Eulero Moti relativi 57 I Punto materiale II La derivata d dt III Moti rigidi relativi Moti rigidi di contatto 65 I Rotolamento e strisciamento I.1 Contatto puntuale I.2 Contatto lungo una curva Dinamica del punto materiale 73 I Note introduttive II La massa e la legge fondamentale della dinamica III Problema diretto e problema inverso della dinamica

10 6 INDICE IV Dinamica in un sistema di riferimento non inerziale V Dinamica terrestre Vincoli ed attrito 85 I Introduzione II Vincoli propriamente anolonomi III Reazione vincolare ed attrito IV Moto di un punto su una superficie o su una curva Statica del punto materiale 97 8 Qualche esercizio Sistemi Materiali 111 I Baricentro II Proprietà geometriche del baricentro III Momento di inerzia IV Tensore di inerzia V Diagonalizzazione di σ O ed ellissoide di inerzia Vettori applicati 135 I Prime definizioni II Riducibilità ed equivalenza di sistemi III Trinomio invariante IV Ancora riducibilità Quantità cinematiche e vincoli 153 I Ancora vincoli II Quantità di moto, momento della quantità di moto ed energia cinetica III Teorema di König Lavoro e forze conservative 163 I Spostamenti II Lavoro di una forza III Forze conservative IV Lavoro su un sistema rigido V Componenti lagrangiane della sollecitazione Dinamica dei sistemi 179 I Equazioni cardinali II Teorema delle forze vive e teorema della conservazione dell energia III Analisi qualitativa alla Weierstrass IV Forze centrali e potenziali associati Vincoli perfetti 191 I Definizioni ed esempi

11 INDICE 7 15 Dinamica dei corpi rigidi 199 I Corpo rigido con asse fisso II L equilibratura del rotore III Corpo rigido con asse scorrevole IV Corpo rigido con punto fisso Statica dei sistemi materiali 209 I Equazioni cardinali della statica II Teorema dei lavori virtuali III Alcune applicazioni del TLV III.1 Prima applicazione III.2 Seconda applicazione III.3 Terza applicazione III.4 Quarta applicazione III.5 Quinta applicazione III.6 Sesta applicazione IV Conseguenze del TLV V Statica del corpo rigido VI Solido appoggiato su un piano liscio Cenni di dinamica lagrangiana 227 I Equazioni di Lagrange II Simmetrie ed integrali del moto III Un applicazione notevole: la trottola IV Equazioni di Lagrange in presenza di vincoli anolonomi Sulla natura dell equilibrio 241 I Approccio alla Dirichelet II Approccio alla Liapunov Piccole oscillazioni 251 I Sistemi con un gdl II Sistemi con più gdl A Un piccolo formulario 259 I formule trigonometriche II sulle funzioni iperboliche III sviluppi in serie di Taylor IV integrali indefiniti V integrali definiti VI derivate VII limiti VIII geometria analitica e sistemi di coordinate VIII.1 spazio R VIII.2 spazio R

12 8 INDICE VIII.3 coordinate cartesiane (x, y, z) VIII.4 coordinate sferiche (r, θ, ϕ) VIII.5 coordinate cilindriche (r, θ, z) VIII.6 coordinate paraboliche (ξ, η, ϕ) VIII.7 elementi di volume e di superficie IX uguaglianze vettoriali X formulette varie X.1 equazione del secondo grado X.2 equazione del terzo grado x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3 = X.3 decomposizione in fattori di polinomi particolari X.4 regola della mano destra X.5 disequazioni del secondo grado X.6 disequazioni di grado n X.7 inverso di una matrice X.8 proprietà degli esponenziali X.9 proprietà dei logaritmi X.10 cambio di variabili nell integrale X.11 cambio di variabile nella derivazione X.12 sviluppo di Taylor per funzioni di più variabili