collana di istruzione scientifica serie di informatica

Transcript

1 collana di istruzione scientifica serie di informatica

2

3 Carlo Toffalori Flavio Corradini Stefano Leonesi Stefano Mancini Teoria della computabilità e della complessità McGraw-Hill Milano New York San Francisco Washington D.C. Auckland Bogotá Lisboa London Madrid Mexico City Montreal New Delhi San Juan Singapore Sydney Tokyo Toronto

4 Copyright 2005, 2010 The McGraw-Hill Companies, S.r.l. Publishing Group Italia via Ripamonti Milano McGraw-Hill A Division of The McGraw-Hill Companies I diritti di traduzione, di riproduzione, di memorizzazione elet tronica e di adattamento totale e parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati per tutti i Paesi. Date le caratteristiche intrinseche di Internet, l Editore non è responsabile per eventuali variazioni negli indirizzi e nei contenuti dei siti Internet riportati. Nomi e marchi citati nel testo sono generalmente depositati o registrati dalle rispettive case produttrici. Publisher: Paolo Roncoroni Produzione: Donatella Giuliani Impaginazione: a cura degli Autori Grafica di copertina: G & G Realizzazione print on demand: Prontostampa, Fara Gera d Adda (BG) Stampa: I Love Books, Fara Gera d Adda (BG) ISBN Printed in Italy

5 Indice A Teoria della computabilità 1 1 Introduzione Breve preistoria della computabilità Problemi di matematica Un decalogo per i bravi algoritmi Le Macchine di Turing Macchine che calcolano Alfabeti, stringhe, linguaggi La Macchina di Turing Macchine di Turing e linguaggi Macchine di Turing e funzioni Codi che di stringhe Numeri e coppie Numeri e macchine La Tesi di Church-Turing Macchine di Turing a più nastri Macchine di Turing non deterministiche Esercizi Problemi senza Soluzione Diagonalizzare e ridurre Problemi risolubili algoritmicamente La Macchina Universale Il Problema dell Arresto Insiemi decidibili e semidecidibili Un altra funzione non calcolabile Il Decimo Problema di Hilbert I teoremi di Kleene e di Rice Esercizi

6 vi INDICE 4 Funzioni Ricorsive Calcolabilità secondo Church Le funzioni parziali ricorsive Esempi a volontà Church o Turing? Esercizi Calcolabilità e Grammatiche Grammatiche e Automi Linguaggi Grammatiche e Linguaggi La Gerarchia di Chomsky Alberi di Derivazione Linguaggi regolari Linguaggi Liberi dal Contesto Linguaggi Dipendenti dal Contesto Linguaggi e Macchine di Turing Automi di Riconoscimento Esercizi Calcolabilità e Linguaggi di Programmazione Il linguaggio WHILE La Sintassi del Linguaggio WHILE La Semantica dei linguaggi WHILE Funzioni WHILE-Calcolabili Programmi e Macchine di Turing Il Teorema di Kleene per i Programmi Esercizi B Teoria della complessità Complessità Introduzione Come misurare la complessità Un esempio Esercizi Classi di Complessità Temporale La classe È e la Tesi di Edmonds-Cook-Karp La classe ÆÈ Un altra caratterizzazione di ÆÈ: le macchine di Turing non deterministiche Il problema È ÆÈ Problemi ÆÈ-completi Il teorema di Cook-Levin

7 INDICE vii 8.7 Altri problemi ÆÈ-completi È e ÆÈ: qualche commento ulteriore ÓÆÈ e la gerarchia polinomiale Oracoli Tempi esponenziali È ÆÈ nella pratica Esercizi Complessità, Logica e Circuiti Un po di logica Ancora logica: le formule Booleane quanti cate Circuiti Circuiti e complessità Circuiti e ÆÈ-completezza Esercizi Classi di Complessità Spaziale Il parametro spazio ÈËÈ e Ä ÆÈËÈ e ÆÄ Il teorema di Savitch ÆÄ ÓÆÄ ÈËÈ -completezza Esercizi Classi di Complessità Probabilistiche Probabilmente primi Montecarlo o Las Vegas? La classe ÈÈ, e altre variazioni sul tema ÈÈ e ÆÈ Esercizi Contare e Approssimare Soddisfacibilità unica Contare Approssimare Il teorema di Valiant-Vazirani Esercizi Algoritmi Interattivi Artù e Merlino La classe ÁÈ Il teorema di Shamir Un tentativo di conclusione Esercizi

8 viii INDICE C Teoria quantistica della computazione Dal Bit al QuantumBit Nozioni preliminari I postulati della Meccanica Quantistica Qubits versus Bits Esercizi Modelli di Computazione Quantistica Dalla macchina di Turing classica a quella quantistica Macchina di Turing reversibile Macchina di Turing quantistica Classi di complessità quantistiche Porte logiche quantistiche Circuiti quantistici Insiemi universali Aritmetica con circuiti quantistici Esercizi Algoritmi Quantistici Algoritmo di Deutsch-Jozsa Algoritmo di Simon Trasformata di Fourier quantistica Algoritmo di fattorizzazione (Shor) Il caso generale Il problema del sottogruppo nascosto Algoritmo di ricerca (Grover) Interpretazione geometrica I limiti della computazione quantistica Conclusioni Esercizi

9 Il libro introduce e discute due argomenti fondamentali, che hanno accompagnato e anzi preceduto la nascita e lo sviluppo dell Informatica e dei moderni calcolatori : 1) che cosa si può calcolare? 2) che cosa si può calcolare a costi accessibili? L esistenza di problemi che non si possono risolvere in alcun modo, oppure richiedono risorse praticamente indisponibili per la loro soluzione, avvalora l interesse ad approfondire e possibilmente chiarire le due questioni. A esse si aggiunge in modo naturale una terza domanda: 3) può il progresso delle teorie siche intervenire anche sugli aspetti teorici della computazione? Il libro affronta nell ordine i tre argomenti, dedicando a ciascuno una delle sue parti: 1) tratta dapprima la teoria della computabilità, fornisce e confronta varie possibili risposte alla prima domanda, da quelle classiche (macchine di Turing, grammatiche, funzioni ricorsive) ad altre più recenti, legate all evoluzione dei linguaggi di programmazione; 2) considera poi la teoria della complessità computazionale, discute cioè il tema dei costi di una computazione, dei possibili criteri (tempo, memoria, casualità) che li misurano, delle varie classi di problemi che si possono conseguentemente formare e delle relazioni che intercorrono tra queste classi; 3) introduce in ne l argomento relativamente nuovo della computazione quantistica, mostrando come i progressi della meccanica quantistica possano indurre a profonde revisioni e rivisitazioni del concetto di complessità. Le tre parti del libro corrispondono in modo naturale a tre corsi separati e successivi secondo l attuale ordinamento universitario: 1) è argomento per un corso di primo livello in una Laurea Triennale in Informatica, ma interessa anche Matematica e Fisica; 2) fornisce materiale per un corso specialistico di Informatica, o eventualmente per un corso nale della laurea triennale in Informatica, ma, di nuovo, si adatta senza dif coltà a lauree in Matematica e Fisica; 3) è la base per corsi specialistici o di dottorato, ancora in Fisica, Matematica, Informatica. Intersezioni con lauree in Ingegneria Informatica sono anche possibili. Anche i prerequisiti richiesti per le tre parti variano; in particolare le nozioni e gli strumenti di Matematica e Fisica necessari per 3) sono ovviamente superiori a quelli richiesti in precedenza. Gli autori con dano che il loro lavoro possa riuscire di utilità e interesse a quanti vorranno considerarlo.